导出完备

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $\mathsf{D}(A)$ 表示环 $A$ 的模范畴的导出范畴, 在现代观点下即 $A$ 视为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环在谱范畴中的模范畴.

导出完备是交换代数中的重要概念, 是完备模在导出范畴的正确推广. 导出完备性、导出完备化的同调代数表现比朴素的完备性、完备化好得多.

1定义

定义 1.1 (导出完备). $A$ 是环, $a$ 是其元素, $I$ 是其理想, $M\in \mathsf{D}(A)$.

•	称 $M$ 为导出 $\mathbf{a}$-完备, 指的是$${\mathrm{RHom}}_A(A[1/a],M)=0.$$
•	称 $M$ 为导出 $\mathbf{I}$-完备, 指对每个 $i\in I$, $M$ 都为导出 $i$-完备.

$\mathsf{D}(A)$ 中所有导出 $I$-完备的复形组成的满子范畴记作 ${\mathsf{D}}_{I\text{-comp}}(A)$ 或 ${\mathsf{D}}_I^{\wedge }(A)$. 它显然是三角范畴 (或稳定 $\infty$-范畴, 如把 $\mathsf{D}(A)$ 视为稳定 $\infty$-范畴).

注 1.2. 无歧义时, 常把 “导出完备” 简称为 “完备”.

注 1.3. 定义 1.1 的形式比较奇怪. 它的直观是这样的:

•	导出范畴中 “$M/a^{n}M$” 的合理定义只有映射锥 $\mathrm{cofib}(a^n:M\to M)$.
•	从而 “$a$-完备” 理应定义成 $M={\lim }_n\mathrm{cofib}(a^n:M\to M)$, 由图表$$\cdots MM\cdots MMaa{a}^{2}a11$$这等价于$$\lim (\cdots \stackrel{a}{\to }M\stackrel{a}{\to }M)=0.$$
•	导出 $1$-范畴中没有序列极限, 但这个 “极限” 理应等于$${\mathrm{RHom}}_A(\text{“}\mathrm{colim}(A\stackrel{a}{\to }A\stackrel{a}{\to }\cdots )\text{”},M),$$也就是 ${\mathrm{RHom}}_A(A[1/a],M)$, 这个在导出 $1$-范畴中良定义.

熟悉导出 $\infty$-范畴的读者大可直接采用更自然的定义$$M=\underset{n}{\lim }\mathrm{cofib}(a^n:M\to M).$$

定义 1.4 (导出完备化). 下面将会看到, 含入函子 ${\mathsf{D}}_{I\text{-comp}}(A)\to \mathsf{D}(A)$ 有左伴随. 该左伴随称为导出完备化, 记作 $(-{)}_I^{\wedge }$.

2相关概念

•	挠复形
•	挠–完备等价

术语翻译

导出完备 • 英文 derived completeness