Hilbert–Kunz 函数

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

在正特征交换代数中, Hilbert–Kunz 函数是通常 Hilbert–Samuel 函数的类似物, 此时我们可以类似地定义 Hilbert–Kunz 重数. Hilbert–Kunz 函数在正特征时的交换代数和代数几何均有应用. Ernst Kunz 最早引入该概念并利用其给出了 Kunz 定理, 即正特征 Noether 局部环 $R$ 的正则性等价于 $R$ 上 Frobenius 同态是平坦同态.

1定义

定义 1.1. $(A,\mathfrak{m},k)$ 是正特征 $p>0$ 的局部环, 设 $I$ 是 $R$ 的一个 $\mathfrak{m}$-准素理想. 对一个 Krull 维数为 $d$ 的有限生成非零 $R$-模 $M$, 定义其关于 $I$ 的 Hilbert–Kunz 函数为取值在所有 $p$ 的幂次 $p^n,n\in \mathbb{N}$ 上的函数$$f(p^n)={\ell }_A(M/I^{[p^n]}M),$$其中 $\ell$ 表示长度, $I^{[p^n]}$ 表示由 $I$ 中所有元素的 $p^n$ 次幂生成的理想. 下面我们用 $q$ 来记 $p^n$. 注意到当 $q$ 充分大时, $f(q)$ 未必是关于变量 $q$ 的多项式, 这是与 Hilbert–Samuel 函数所不同的地方.

2性质

3例子

•	设 $R=(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})[[W,X,Y,Z]]/(W^4+X^4+Y^4+Z^4)$ , 其极大理想为 $\mathfrak{m}$. 设 $q=5^n$ 则 $R$ 关于极大理想 $\mathfrak{m}$ 的 Hilbert–Kunz 函数为$$f(5^n)={\ell }_A(R/{\mathfrak{m}}^{[5^n]})=\frac{168}{61}(5^n{)}^3-\frac{107}{61}(3^n)$$这个例子告诉我们 Hilbert–Kunz 函数并不一定是关于 $q$ 的多项式.

4相关概念

•	Hilbert–Samuel 函数

术语翻译

Hilbert–Kunz 函数 • 英文 Hilbert–Kunz function