完全环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $p$ 为一固定素数.

完全环 (也称完美环) 指的是 Frobenius 映射是双射的 ${\mathbb{F}}_p$-代数.

1定义

定义 1.1. 称 ${\mathbb{F}}_p$-代数 $R$ 为完全环, 意思是其 Frobenius 同态是双射, 换言之对任一 $r\in R$, 存在唯一 $s\in R$ 使得 $s^p=r$.

注 1.2. 一些地方也把 $\mathbb{Q}$-代数全都称为完全环, 但这里不这么定义.

定义 1.3. 设 $R$ 为 ${\mathbb{F}}_p$-代数, $A$ 为 $R$-代数. 称 $A$ 为完全 $\mathbf{R}$-代数, 意思是其相对 Frobenius 是双射, 即 $A{\otimes }_{R,\mathrm{Frob}}R=A$.

2性质

命题 2.1. 完全环都既约.

定理 2.2. $R$ 是完全环, $A,B$ 是 $R$-代数, 也都是完全环. 则对 $i>0$, $${\mathrm{Tor}}_i^R(A,B)=0.$$

定理 2.3. $R$ 是 ${\mathbb{F}}_p$-代数, $A$ 是完全 $R$-代数, 则余切复形 $L_{A/R}=0$. 特别地, $A$ 在 $R$ 上形式平展.

以下命题说明完全环与万有同胚和 h 拓扑联系紧密.

命题 2.4. ${\mathbb{F}}_p$-代数 $R$ 为完全环当且仅当其绝对弱正规, 即

•	对 $x,y\in R$, 如 $x^3=y^2$, 则存在唯一 $a\in R$ 使得 $x=a^2$, $y=a^3$.
•	对 $x,y\in R$ 和素数 $\ell$, 如 ${\ell }^{\ell }x=y^{\ell }$, 则存在唯一 $a\in R$ 使得 $x=a^{\ell }$, $y=\ell a$.

命题 2.5. 设 $R$ 是完全环, $X$ 是概形, $X\to \mathrm{Spec}R$ 是万有同胚. 则 $X=\mathrm{Spec}R$.

完全化

有两个典范的把环变得完全的方法.

定理 2.6. 完全环的范畴到 ${\mathbb{F}}_p$-代数范畴的含入有两边伴随, 分别由 $R\mapsto {\lim }_{\mathrm{Frob}}R$ 与 $R\mapsto {\mathrm{colim}}_{\mathrm{Frob}}R$ 给出, 称为极限完全化与余极限完全化, 记作 $R^{\text{perf}}$ 与 $R_{\text{perf}}$.

命题 2.7. 对 ${\mathbb{F}}_p$-代数 $R$, 自然映射 $R\to R_{\text{perf}}$ 在谱上是万有同胚, 且是万有同胚中终止者.

注 2.8. 但 $R^{\text{perf}}\to R$ 没有道理是万有同胚. 取 $R={\mathbb{F}}_p[x]$, 则 $R^{\text{perf}}={\mathbb{F}}_p$.

3例子

•	${\mathbb{F}}_p$ 是完全环. 更一般地, 有限域都完全.
•	${\mathbb{F}}_p[x^{p^{-\infty }}]={\bigcup }_{n=0}^{\infty }{\mathbb{F}}_p[x^{p^{-n}}]$ 显然是完全环. 也可把 $x$ 换成任意个变量. 注意这不是 Noether 环. 其实不是域的完全环都不是 Noether 环, 因为只要元素 $a$ 不可逆, 就有理想升链$$(a)\subset (a^{1/p})\subset (a^{1/p^2})\subset \cdots$$

4相关概念

•	完全域
•	半完全环
•	Kunz 定理
•	特征 $p$ Riemann–Hilbert 对应

术语翻译

完全环 • 英文 perfect ring • 德文 vollkommener Ring • 法文 anneau parfait • 拉丁文 anellus perfectus • 古希腊文 τέλειος δακτύλιος