Cohen 结构定理

Cohen 结构定理刻画了 Noether 完备局部环的结构.

1定理

定理 1.1. 对特征为 $p>0$ 的域 $k$, 存在绝对非分歧的完备离散赋值环 $C(k)$, 使得 $C(k)$ 的剩余域为 $k$. 这样的环称为 Cohen 环.

若有同构 $\iota :k\simeq k^{\prime }$, 则存在同构 $C(k)\simeq C(k^{\prime })$ 提升 $\iota$. 这样的提升唯一当且仅当 $k$ 完美.

定义 1.2. 设 $(A,\mathfrak{m},k)$ 是完备局部环, 子环 $\Lambda \subset A$ 称为系数环, 如果

1.	$\Lambda$ 为完备局部环.
2.	$\mathfrak{m}\cap \Lambda =p\Lambda$, 且为 $\Lambda$ 的极大理想. 这里 $p$ 是 $k$ 的特征.
3.	典范映射 $\Lambda /p\Lambda \to k$ 为同构.

例 1.3. 有如下几种情形:

1.	$A$ 包含域, 即 $\mathbb{Q}\subset A$ 或 ${\mathbb{F}}_p\subset A$. 则 $A$ 是等特征, $\Lambda$ 为剩余域的一个截面 (的像).
2.	对任何 $n\ge 1$ , 在 $A$ 中都有 $p^n\ne 0$. 则 $\Lambda$ 是一个 Cohen 环 $C(k)$.
3.	存在 $n>1$ 使得在 $A$ 中有 $p^n=0$, $p^{n-1}\ne 0$. 此时 $\Lambda$ 为一 Artin 环.

定理 1.4 (Cohen 结构定理). 设 $(A,\mathfrak{m},k)$ 是完备局部环, 则

•	$A$ 有系数环.
•	若 $\mathfrak{m}$ 有限生成, 则 $A$ 同构于 $\Lambda [[X_1,\dots ,X_n]]$ 的商环, 其中 $\Lambda$ 是域或 Cohen 环.

2证明

引理 2.1. 设 $(A,\mathfrak{m},k)$ 是局部环, 则对于域扩张 $K/k$, 总存在局部环 $(B,\mathfrak{n},K)$ 以及平坦局部同态 $f:A\to B$ 使得 $\mathfrak{m}B=\mathfrak{n}$.

证明. 首先考虑单扩张情形 $K=k(a)$. 若 $a$ 在 $k$ 上超越, 可取 $B=A[X{]}_{\mathfrak{m}[X]}$; 若 $a$ 在 $k$ 上代数, 设其极小多项式为 $F$, 则任取其首一提升 $\tilde{F}$, 令 $B=A[X]/(\tilde{F})$ 即可.

在 $K$ 上赋予良序使得对 $y\in k,x\in K-k$ 有 $y<x$. 对 $x\in K$, 令 $K_x$ 为 $k$ 以及所有 $x^{\prime }\le x$ 所生成的子域. 我们以超穷递归, 对每个 $x$ 构造符合引理要求的环 $B_x$, 使得 $B_x$ 剩余域为 $K_x$, 以及对 $x^{\prime }<x$, 有符合引理要求的局部同态 $B_{x^{\prime }}\to B_x$.

•	若 $x$ 有前继 $x^{\prime }$, 则 $K_x=K_{x^{\prime }}(x)$, 可构造 $B_x/B_{x^{\prime }}$ 如首段.
•	若 $x$ 无前继, 则令 $B_x^{\prime }={\mathrm{colim}}_{x^{\prime }<x}{R}_{x^{\prime }}$, 则 $B_x^{\prime }$ 剩余域为 $K_x^{\prime }={\cup }_{x^{\prime }<x}{K}_{x^{\prime }}$. 因 $K_x=K_x^{\prime }(x)$, 可构造 $B_x/B_x^{\prime }$ 如首段.

$\square$

注 2.2. 使用 Zorn 引理构造似乎更为我们所熟悉, 然而处理集合论问题可能有些麻烦.

设 $k$ 为特征 $p>0$ 的域. 取平坦同态 ${\mathbb{Z}}_p\to R$ 如引理. 设 $\hat{R}$ 为 $R$ 的 $p$-进完备化, 则 $\hat{R}$ 为 Noether 局部环, 在 $p$-进拓扑下完备, 极大理想为 $p\hat{R}$. 因 $p$ 在 $R$ 上正则, 故在 $\hat{R}$ 上也正则, 从而 $\hat{R}$ 为离散赋值环. 换言之, $\hat{R}$ 为一 Cohen 环 $C(k)$.

引理 2.3. 设 $K/k$ 可分, 则 $K/k$ 形式光滑.

证明. 由于形式光滑态射的滤余极限也形式光滑, 只要证明有限生成扩张的情形. 而有限可分扩张是平展的; 纯超越扩张 $k(X_1,\dots ,X_n)/k$ 是多项式环 $k[X_1,\dots ,X_n]$ 的局部化, 故形式光滑.

$\square$

引理 2.4. $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\to C(k)/p^{n}C(k)$ 形式光滑.

证明. 记 $C(k)/p^{n}C(k)=C_n(k)$. 因 ${\mathbb{F}}_p$ 完美, 结论对 $n=1$ 成立. 下面假设结论对 $k<n$ 成立, 有三角$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z}\to$$与 $L_{C_n(k)/(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})}$ 做导出张量积 ${\otimes }_{\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}}^L$ 得$$L_{k/{\mathbb{F}}_p}\to L_{C_n(k)/(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})}\to L_{C_{n-1}(k)/(\mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z})}\to$$因两端复形的同调都集中在 $0$ 处, 中间复形的同调也集中在 $0$ 处.

$\square$

命题 2.5. 设 $(A,\mathfrak{m},k)$ 是完备局部环, 则 $A$ 有系数环.

证明. 若 $k$ 特征为 $0$, 则 $\mathbb{Q}\hookrightarrow A$. 要构造截面 $k\to A$. 为此只需归纳地构造相容的截面 $k\to A/{\mathfrak{m}}^n$, 而这是因为 $k/\mathbb{Q}$ 形式光滑:

若 $k$ 特征为 $p$, 我们来证明存在 $C(k)$ 到 $R$ 的局部同态诱导剩余域的同构; 此同态的像即为所需系数环. 同上, 这是因为 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\to C(k)/p^{n}C(k)$ 形式光滑

$\square$

命题 2.6. 设 $(A,\mathfrak{m},k)$ 为完备 Noether 局部环, 则存在满射 $\Lambda [[X_1,\dots ,X_n]]\to A$, 其中 $\Lambda$ 是系数环或 Cohen 环.

证明. 设 $\mathfrak{m}=(x_1,\dots ,x_n)$, ${\Lambda }^{\prime }$ 是 $A$ 的系数环. 则有自然映射$${\Lambda }^{\prime }[[X_1,\dots ,X_n]]\to A,X_i\mapsto x_i.$$令 $I=(X_1,\dots ,X_n)$, 则两边都是 $I$-进完备的, 因为在模 $I$ 之后是满射, 原来便是满射.

$\square$

3Cohen 环的显式构造

术语翻译

Cohen 结构定理 • 英文 Cohen structure theorem • 法文 théorème de structure de Cohen