Pfaff 式

在线性代数中, Pfaff 式是一种对交错阵定义的函数. 给定交错阵 $A$, 其 Pfaff 式 $\mathrm{pf}(A)$ 是个标量, 其平方是 $A$ 的行列式: $\mathrm{pf}(A{)}^2=\det (A)$.

1定义

定义 1.1 (Pfaff 式). 设 $R$ 是交换环, $n$ 是自然数, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 交错阵, 即满足 $a_{i,i}=0$, 且 $a_{i,j}+a_{j,i}=0$.

则 $A$ 的 Pfaff 式定义为$$\mathrm{pf}(A)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0,\\ 0,& n=1,\\ \sum _{j=2}^n(-1{)}^j{a}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j)),& n\ge 2,\end{array}$$其中, $A(1,j|1,j)$ 是删去 $A$ 的第 $1$、$j$ 行与第 $1$、$j$ 列后, 其余元素按原次序作成的 $(n-2)\times (n-2)$ 矩阵.

2性质

以下固定交换环 $R$.

我们可直接地以数学归纳法证定理 2.1 到定理 2.9:

定理 2.1. 奇数阶交错阵的 Pfaff 式为 $0$.

定理 2.2. 设 $A$ 是 $2m$ 阶交错阵. 设 $x\in R$. 则 $\mathrm{pf}(xA)=x^m\mathrm{pf}(A)$. 特别地, $A^{\mathrm{t}}=(-1)A$ 的 Pfaff 式是 $(-1{)}^m\mathrm{pf}(A)$, 其中, $A^{\mathrm{t}}$ 是 $A$ 的转置.

定理 2.3. 设 $A=(a_{i,j})$ 是 $2m$ 阶交错阵. 则$$\mathrm{pf}(A)=\sum _{\begin{array}{c}\sigma \in {\mathfrak{S}}_{2m}\\ \sigma (2i-1)<\sigma (2i),i=1,\dots ,m\\ \sigma (1)<\sigma (3)<\cdots <\sigma (2m-1)\end{array}}(-1{)}^{\sigma }\prod _{1\le \ell \le m}{a}_{\sigma (2\ell -1),\sigma (2\ell )},$$其中, ${\mathfrak{S}}_{2m}$ 是 $2m$ 元置换群, 且 $(-1{)}^{\sigma }$ 是 $\sigma$ 的符号 (偶置换为 $1$; 奇置换为 $-1$).

注 2.4. 可以证明, $$\sum _{\tau \in {\mathfrak{S}}_{2m}}(-1{)}^{\tau }\prod _{1\le \ell \le m}{a}_{\tau (2\ell -1),\tau (2\ell )}=2^{m}m!\sum _{\begin{array}{c}\sigma \in {\mathfrak{S}}_{2m}\\ \sigma (2i-1)<\sigma (2i),i=1,\dots ,m\\ \sigma (1)<\sigma (3)<\cdots <\sigma (2m-1)\end{array}}(-1{)}^{\sigma }\prod _{1\le \ell \le m}{a}_{\sigma (2\ell -1),\sigma (2\ell )}.$$于是, 若 $2^{m}m!$ 是 $R$ 的可逆元, 则$$\mathrm{pf}(A)=\frac{1}{2^{m}m!}\sum _{\tau \in {\mathfrak{S}}_{2m}}(-1{)}^{\tau }\prod _{1\le \ell \le m}{a}_{\tau (2\ell -1),\tau (2\ell )}.$$

定理 2.5. 设 $A$, $B$ 是 $n$, $t$ 阶交错阵. 则$$\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right]=\mathrm{pf}(A)\mathrm{pf}(D).$$

定理 2.6. 设 $A$ 是 $m$ 阶阵. 则$$\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cc}0& A\\ -A^{\mathrm{t}}& 0\end{array}\right]=(-1{)}^{m(m-1)/2}\det (A).$$

定理 2.7. 设$$B=\left[\begin{array}{ccccccc}0& b_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ -b_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& b_2& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -b_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& b_m\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -b_m& 0\end{array}\right].$$则 $\mathrm{pf}(B)=b_1{b}_2\dots b_m$, 且 $\det (B)=b_1^2{b}_2^2\dots b_m^2=(\mathrm{pf}(B){)}^2$.

定理 2.8. 设 $A=(a_{i,j})$, $B=(b_{i,j})$, $C=(c_{i,j})$ 是三个 $n$ 阶交错阵. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$, $t$ 是数. 设 $a_{i,j}=b_{i,j}=c_{i,j}$, 对任何不等于 $q$, 且不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$; 设 $c_{i,j}=s{a}_{i,j}+t{b}_{i,j}$, 若 $i=q$ 或 $j=q$. 则$$\mathrm{pf}(C)=s\mathrm{pf}(A)+t\mathrm{pf}(B).$$由此 (取 $B=A$, 且 $t=0$), 若我们乘交错阵 $A$ 的列 $q$ 的元与行 $q$ 的元以 $s$, 得交错阵 $D$, 则 $D$ 的 Pfaff 式等于 $A$ 的 Pfaff 式的 $s$ 倍.

定理 2.9. 设 $A$ 是 $n$ 阶交错阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $B$. 设交换 $B$ 的行 $p$, $q$, 且不改变其他的行, 得阵 $C$. 则 $C$ 是交错阵, 且 $C$ 的 Pfaff 式等于 $A$ 的 Pfaff 式的相反数.

由上面的定理, 我们可证:

定理 2.10. 设 $A$ 是 $n$ 阶交错阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设 $A$ 的列 $p$, $q$ 相等 (于是, $A$ 的行 $p$, $q$ 也相等). 则 $A$ 的 Pfaff 式为 $0$.

定理 2.11. 设 $A$ 是 $n$ 阶交错阵. 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ ($p\ne q$), 且不改变其他的列, 得 $n$ 阶阵 $B$. 加 $B$ 的行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$, 且不改变其他的行, 得 $n$ 阶阵 $C$. 则 $C$ 是交错阵, 且 $C$ 的 Pfaff 式等于 $A$ 的 Pfaff 式.

定理 2.12. 设 $A$ 是 $n$ 阶交错阵. 则$$\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2.$$

定理 2.13. 设 $A$ 是 $n$ 阶交错阵. 设 $P$ 是 $n$ 阶阵. 则$$\mathrm{pf}(P^{\mathrm{t}}AP)=\mathrm{pf}(A)\det (P).$$

定理 2.14. 设 $A=(a_{i,j})$ 是 $n$ 阶交错阵 ($n>2$). 设 $i$ 是不超过 $n$ 的正整数. 则$$\mathrm{pf}(A)=\sum _{\begin{array}{c}1\le j\le n\\ j\ne i\end{array}}(-1{)}^{i-1+j+\rho (i,j)}{a}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j)),$$其中, $$\rho (i,j)=\{\begin{array}{ll}0,& i<j;\\ 1,& i\ge j.\end{array}$$类似地, 若 $j$ 是不超过 $n$ 的正整数, 则$$\mathrm{pf}(A)=\sum _{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ i\ne j\end{array}}(-1{)}^{i-1+j+\rho (i,j)}{a}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j)).$$

3参考文献

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讲义: 行列式入门

4相关概念

术语翻译

Pfaff 式 • 英文 pfaffian • 世界语 pfafo