n-连通空间

在拓扑学中, $\mathbf{n}$-连通空间是指道路连通且不超过 $n$ 阶的同伦群都平凡的拓扑空间. 直观上说, $n$-连通空间中的所有不超过 $n$ 维的球面都能连续地收缩到一点.

1定义

定义 1.1 ($n$-连通空间). 令 $n$ 为自然数. 设 $X$ 是拓扑空间. 如果

•

$X$ 道路连通,

•	对任意正整数 $k\le n$, $X$ 的 $k$ 阶同伦群 ${\pi }_k(X)$ 平凡.

就称 $X$ 为 $\mathbf{n}$-连通空间.

注 1.2. 根据 Hurewicz 定理, 上述定义中的第二个条件也等价于

•	对任意正整数 $k\le n$, $X$ 的 $k$ 阶同调群 $H_k(X)$ 平凡.

2例子

•	$n$ 维球面 $S^n$ 是 $n-1$-连通空间, 但非 $n$-连通.

•	$0$-连通空间就是道路连通空间, $1$-连通空间就是单连通空间.

3相关概念

•	道路连通空间
•	单连通空间
•	$n$-截断空间

术语翻译

$n$-连通 (形容词) • 英文 $n$-connected • 德文 $n$-zusammenhängend • 法文 $n$-connexe