3. 概形初探

本节将从给出 $\mathrm{Spec}A$ 上结构层的构造, 而后得到仿射概形的定义.(至于概形部分等具体写完再看放在哪里比较好).

3.1回顾代数簇理论

仿射代数簇

我们回顾一下仿射代数簇的情况, 首先回忆一下定义.

定义 3.1.1. 设 $k=\bar{k}$ 是代数闭域. $k$ 上的仿射代数簇是形如下式的仿射空间子集: $$V=\{x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{A}}_k^n\mid f_1(x)=\cdots =f_m(x)=0\}$$其中 $f_1,\dots ,f_m\in k[x_1,\dots ,x_n]$ 为 $n$ 元多项式.

此时有$$\{\text{不可约仿射代数集}\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }\{\text{整有限生成 }k\text{-代数}\}$$将对应的环记为 $k[V]$, 由此我们可以知道几何的结构可以对应出代数的信息, 在接触了足够多的仿射代数簇后会发现所有的信息都在 $k[V]$ 里. 我们可以把这些信息进行打包, 由此就引入了—结构层 ${\mathcal{O}}_V$, 在仿射代数簇语境下所言结构层为正则函数层, 所谓正则函数就是有理且在定义域上非 $0$ 的函数.
对于 $U\subset V$ 为开集, 定义$${\mathcal{O}}_V:U\mapsto {\mathcal{O}}_V(U):=\{\text{正则函数}U\to k\}$$

事实 3.1.2.

•	${\mathcal{O}}_V(V)=k[V]$.
•	取 $f\in k[V]$ 且 $f\ne 0$, 可以生成仿射开集 $D(f):=\{x\in {\mathbb{A}}_k^n:f(x)\ne 0\}$, 可以得知 ${\mathcal{O}}_V(D(f))=k[V{]}_f$.
•	给定 $x\in V$, 可以定义在 $x$ 处的茎为 $({\mathcal{O}}_V{)}_x=k[V][\{f^{-1}:f(x)\ne 0\}]$ 为局部环, 令 ${\mathfrak{m}}_x$ 为 $x$ 所对应的极大理想 (即在 $x$ 点处取 $0$ 的所有函数生成的理想), 则 $({\mathcal{O}}_V{)}_x/{\mathfrak{m}}_x\simeq k$.

可以发现以上事实实际上都是从环 $k[V]$ 中读出来的, 它包含了所有的信息, 但是使用层可以把所有的信息打包好.

粘接仿射部分

定义 3.1.3 (预簇). 取定代数闭域 $k$, $k$ 上的预簇是一个二元组 $(X,{\mathcal{O}}_X)$, 其中 $X$ 是一个连通的拓扑空间, 而 ${\mathcal{O}}_X$ 为 $k$-代数层. 使得存在 $X$ 的有限开覆盖 $\{U_i\}$ 使得 $(U_i,{\mathcal{O}}_X{\mid }_{U_i})\simeq (V_i,{\mathcal{O}}_{V_i})$, 其中 $(V_i,{\mathcal{O}}_{V_i})$ 为仿射代数簇, 此处 “$\simeq$” 具有两重含义, 首先作为拓扑空间 $U_i\simeq V_i$ 为同胚, 而后作为层 ${\mathcal{O}}_X{\mid }_{U_i}$ 与 ${\mathcal{O}}_{V_i}$ 是同构的.

通过预簇我们就可以去定义代数簇, 真正的代数簇与预簇之间的区别在于代数簇会排除一些 “坏” 的情况.

分离性

我们通过分离性 ¹来排除诸如带有两个原点的仿射直线这种比较 “差” 的东西. 回忆到在拓扑空间 $X$ 是 Hausdorff 空间等价于对角线 $\Delta$ 在 $X\times X$ 中是闭的. 而后我们模仿这个定义在代数几何中 (不是 Hausdorff 的情况下) 定义分离性 (模拟 Hausdorff). 这需要给 $X\times X$ 一个代数预簇的结构但是需要注意的是粘接出来的结构不是乘积拓扑 (我们在古典代数几何中已经知道 ${\mathbb{A}}_k^2\not\simeq {\mathbb{A}}_k^1\times {\mathbb{A}}_k^1$) 因此还需要进行一些改造, 在纤维积 (可能在后一讲中会提到) 后我们就可以得到$${\mathbb{A}}_A^n\underset{A}{\times }{\mathbb{A}}_A^m\simeq {\mathbb{A}}_A^{n+m}$$这是因为对偶到环范畴上纤维积对应为推出, 而环范畴上的推出实为张量积, 利用代数张量积的性质即知, 对代数簇也是一样的道理, 但是具体描绘比较复杂. 这使得我们可以把分离性推广到代数簇上.
考古就先考到这里, 接下来我们回到正题.

3.2仿射概形

$\mathrm{Spec}A$ 上的结构层

现在我们回到 $\mathrm{Spec}A$, 在背景故事里我们絮絮叨叨说了那么多, 现在我们想在 $\mathrm{Spec}A$ 上对我们的絮絮叨叨进行推广, 那么首先就应该在 $\mathrm{Spec}A$ 上构造结构层 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$.

目标. 构造 $\mathrm{Spec}A$ 的结构层 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$, 在没有歧义的情况下也写成 $\mathcal{O}$.

根据 序章.1 中知识我们可以猜想我们希望得到什么样的东西.

目标 (所需求的结构层).

•	整体截面上:$\mathcal{O}(\mathrm{Spec}A)=\Gamma (\mathrm{Spec}A,\mathcal{O})=A$.
•	任意 $A$ 中元素 $f$, 考虑主开集 $D(f)$, 希望得到 $\mathcal{O}(D(f))$ 为局部化 $A_f$, 特别地取 $f=1$ 时得到上一点.
•	对于 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$, 希望得到在 $\mathfrak{p}$ 处的茎 ${\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}$ 是局部化 $A_{\mathfrak{p}}$.

注 3.2.1. 接下来我们尝试理解一下最后一条所蕴含的直观:
取 $A=k[V]$, $k=\bar{k}$ 为代数闭域,

•	对于 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ , 我们希望将其理解为 “$V(\mathfrak{p})\subset V$ 的一般点”,
•	此时 $A_{\mathfrak{p}}$ 即为 “ $\{V\text{ 上在}V(\mathfrak{p})\text{中大部分点上有定义的有理函数}\}$ ”2,
•	极大理想 $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ 为在 $V(\mathfrak{p})$ 上全取 $0$ 的函数,
•	$\kappa (\mathfrak{p})=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ 为 “$\{V(\mathfrak{p})\text{ 上所有的有理函数}\}$”.

现在我们就需要造出满足这些性质的层, 事实上这并不困难, 因为第二条性质以及 $D(f)$ 作为拓扑基已经告诉我们该如何去构造这个层, 接下来我们只需要取验证其满足层公理即可, 但是这样造起来比较麻烦, 我们寻求一个更整洁的方式 ³.

定义 3.2.2. 定义结构层 $\mathcal{O}$ 如下: $U\mapsto \mathcal{O}(U):=\{\text{函数 }s:U\to {\coprod }_{\mathfrak{p}\in U}{A}_{\mathfrak{p}}\}$ 满足

1.	(在每一点处落在茎内) 对于任意 $\mathfrak{p}\in U$, 都有 $s(\mathfrak{p})\in A_{\mathfrak{p}}$,
2.	($s$ 局部上是 $A$ 中两个元素的商) 对于任意 $\mathfrak{p}\in U$, 存在 $V\subset U$ , $\mathfrak{p}\in V$, 以及 $a,f\in A$ 使得任意 ${\mathfrak{p}}^{\prime }\in V$ , $f\notin {\mathfrak{p}}^{\prime }$ 都有 $s({\mathfrak{p}}^{\prime })=\frac{a}{f}\in A_{{\mathfrak{p}}^{\prime }}$.

不难发现这就是层化, 由命题 2.1.16 可知其确实为层. 接下来我们需要说明它确实是我们想要得到的层, 当然在此之前, 我们进行一些准备工作:

命题 3.2.3. 对于 $f,g\in A$, $D(g)\subset D(f)$ 当且仅当 $g\in \sqrt{(f)}$.

证明. $D(g)\subset D(f)$ 相当于说 $V(f)\subset V(g)$. 此时根据注记 1.2.4 可知 $\sqrt{(g)}\subset \sqrt{(f)}$ 即 $g\in \sqrt{(f)}$.

$\square$

不妨设 $g^n=bf$ 则可以给出映射$${\rho }_{fg}:A_f\to A_g,a{f}^{-n}\mapsto a{b}^n{g}^{-mn}.$$而后就可以验证相容性.

定理 3.2.4. 对于任意 $f\in A$, 存在同构 ${\phi }_f:A_f\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{O}(D(f))$, 使得对于 $g\in \sqrt{(f)}$ 有以下图表交换

证明.

证明. 首先定义 ${\phi }_f$ 如下$$\begin{array}{rl}{A}_f& \to \mathcal{O}(D(f))\\ a{f}^{-n}& \mapsto \left[s:D(f)\stackrel{\mathfrak{p}\mapsto a{f}^{-n}}{\to }\coprod _{\mathfrak{p}\in D(f)}{A}_{\mathfrak{p}}\right]\end{array}$$而后关于交换性的验证是显然的. 接下来证明 ${\phi }_f$ 是同构,

•

首先证明其为单射, 若 ${\phi }_f(a{f}^{-n})=0$, 即对于任意 $\mathfrak{p}\in D(f)$, 都有 $a{f}^{-n}$ 在 $A_{\mathfrak{p}}$ 中为 $0$. 即存在 $h\notin \mathfrak{p}$ 使得在 $A$ 中有 $h\cdot a=0$. 对于任意 $\mathfrak{p}\in D(f)$, 有 $I=\mathrm{Ann}(a)\not\subset \mathfrak{p}$. 而这相当于说 $V(I)\cap D(f)=\varnothing$. 从而 $V(I)\subset V(f)$, 即 $\sqrt{(f)}\subset \sqrt{I}$ , 即 $f^k\in \sqrt{I}$. $f^k\cdot a=0$. 从而在 $A_f$ 中有 $a{f}^{-n}=0$, 即为单射.

•

现在来证明满射, 对于任意截面 $s\in \mathcal{O}(D(f))$, 由 $\mathcal{O}$ 为层, 可取 $D(f)$ 的开覆盖 $\{V_i{\}}_{i\in I}$ 使得 $s{\mid }_{V_i}$ 可以被视为 $\frac{a_i}{g_i}$ , 其中 $a_i$, $g_i\in A$ 且对于任意 $\mathfrak{p}\in V_i$, $g_i\notin \mathfrak{p}$. 现在假设 $V_i=D(f_i)$, 此时 $D(f_i)\subset D(g_i)$, 即 $f_i^m=c\cdot g_i$, $m\ge 0$ 且 $c\in A$. 由此 $\frac{a_i}{g_i}=\frac{c{a}_i}{f_i^m}$. 替换 $a_i=c{a}_i$, $f_i=f_i^m$. 此时 $\{D(f_i)\}$ 覆盖了 $D(f)$, 且$$s{\mid }_{D(f_i)}=\frac{a_i}{f_i},a_i\in A.$$由于 $D(f)$ 拟紧, 因此可以取有限子覆盖, 下设 $\{D(f_i)\}$ 为有限集. 考虑 ${\phi }_{f_i{f}_j}:A_{f_i{f}_j}\to \mathcal{O}(D(f_i{f}_j))$, 此时若 ${\psi }_{f_i{f}_j}\left(\frac{a_i}{f_i}\right)={\psi }_{f_i{f}_j}\left(\frac{a_j}{f_j}\right)$ 均为 $s{\mid }_{D(f_i{f}_j)}$. 由 ${\phi }_{f_i{f}_j}$ 单可知在 $A_{f_i{f}_j}$ 中 $\frac{a_i}{f_i}=\frac{a_j}{f_j}$. 即存在 $m>0$ 使得在 $A$ 中 $(f_i{f}_j{)}^m(a_i{f}_j-a_j{f}_i)=0$. 而后对于任意 $i$ 替换 $f_i=f_i^{m+1}$ , $a_i=a_i{f}_i^m$, 得到$$a_i{f}_j-a_j{f}_i=0,\forall i,j.$$由于 $\{D(f_i)\}$ 为 $D(f)$ 的覆盖, 此时存在 $n$ 使得 $f^n={\sum }_{i\in I}{b}_i{f}_i$, 令 $a={\sum }_i{b}_i{a}_i$ 即可得到 $a{f}_j={\sum }_i{b}_i{a}_i{f}_j={\sum }_i{b}_i{a}_j{f}_i=a_j{f}^n$. 从而得到$$a{f}^{-n}=\frac{a_j}{f_j},\forall j.$$因此得知 ${\phi }_f=s$.

$\square$

若令 $f=1$ , 得到 $A\simeq \mathcal{O}(\mathrm{Spec}A)$.

注 3.2.5. 有了 $\mathcal{O}$ 后, 我们就可以区分 $\mathrm{Spec}k$ 与 $\mathrm{Spec}{k}^{\prime }$ 其中 $k\ne k^{\prime }$ 以及 $\mathrm{Spec}k[t]/(t^2)$.

命题 3.2.6. 对于 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$, 都有同构 $A_{\mathfrak{p}}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}$.

证明. 只需要说明$$\underset{f\notin \mathfrak{p}}{\mathrm{colim}}{A}_f\stackrel{\sim }{\to }{A}_{\mathfrak{p}}$$为同构. 满射是显然的, 接下来说明单射, 若 $a{f}^{-n}$ 在 $A_{\mathfrak{p}}$ 中为 $0$. 即存在 $g\notin \mathfrak{p}$ 使得 $g\cdot a=0$ , 而后考虑 $A_g$, 可知 $a{f}^{-n}$ 在 $A_g$ 中为 $0$.

$\square$

由此, 我们得到了 $\mathrm{Spec}A$ 的全部信息.

仿射概形

在第一节的时候我们说过, 代数几何的基本结构就是 $\mathrm{Spec}A$, 但是一般来说, 我们需要取其同构类, 我们需要说明什么东西与 $(\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$ 同构. 由此引出局部环化空间概念.

定义 3.2.7 (局部环化空间). 称有序对 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 为局部环化空间, 若满足以下条件:

•	$X$ 为拓扑空间, ${\mathcal{O}}_X$ 为 $X$ 上的交换环层.
•	对任何 $x\in X$, 茎 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 是局部环.

去掉局部环条件所得到的结构叫做环化空间. 此外, 一般把 $\kappa (x):={\mathcal{O}}_{X,x}/{\mathfrak{m}}_x$ 为剩余域.

例 3.2.8. $(\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$ 为局部环化空间. 而后再举几个具体例子.

•	$\eta =(0)\in \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$, 有 ${\mathbb{Z}}_{(0)}=\mathbb{Q}$, 即 $\kappa (\eta )=\mathbb{Q}$. 对于 $(p)\in \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ , 有 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 为局部环, 其极大理想为 $p{\mathbb{Z}}_{(p)}$, 剩余域 $\kappa ((p))=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
•	$\eta =(0)\in \mathrm{Spec}k[t]$, 则 $\kappa (\eta )=k(t)$. 对于不可约多项式 $(p)\in \mathrm{Spec}k[t]$, $\kappa ((p))=k[t]/(p)$, 这是 $k$ 的有限扩张.
•	更一般的, 对于 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$, 有 $\kappa (\mathfrak{p})=\mathrm{Frac}(A/\mathfrak{p})$. 若 $A$ 为整环, 令 $\eta =(0)\in \mathrm{Spec}A$ , 则 $\kappa (\eta )=\mathrm{Frac}(A)$.

而后来定义局部环化空间之间的态射

定义 3.2.9 (局部环化空间态射). 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 与 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 为局部环化空间. 则其间的局部环化空间态射是指环化空间态射 $(f,f^{♯})$, 满足以下条件:

•	$f:X\to Y$ 为拓扑空间之间的连续映射.
•	$f^{♯}:{\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$ 是 $Y$ 上交换环层之间的态射, 此外根据 $f^{-1}⊣f_{\ast }$ 可知这相当于 $X$ 上交换环层之间的态射 $f^{♯}:f^{-1}{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$.
•	对任何 $x\in X$, 环层态射 $f^{♯}:f^{-1}{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$ 诱导的茎的映射 $(f^{♯}{)}_x:{\mathcal{O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$ 是局部环间的局部同态, 即满足$$(f^{♯}{)}_x({\mathfrak{m}}_{Y,f(x)})\subseteq {\mathfrak{m}}_{X,x},$$其中 ${\mathfrak{m}}_{Y,f(x)}\subseteq {\mathcal{O}}_{Y,f(x)}$ 和 ${\mathfrak{m}}_{X,x}\subseteq {\mathcal{O}}_{X,x}$ 为各自的极大理想.

同样地, 若只有前两条性质则称为环化空间之间的态射. 而后可以定义局部环化空间之间的同构, 即作为拓扑空间同胚且其上层同构 (或者用茎来验证, 即在茎上同构).
现在, 来定义仿射概形.

定义 3.2.10 (仿射概形). 称局部环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 为仿射概形, 若存在交换环 $A$, 使得 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 同构于 $A$ 的素谱 $(\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$. 在不引起歧义的情况下, 我们有时候会省略结构层 ${\mathcal{O}}_X$. 仿射概形所构成的范畴记为 $\mathsf{AffSch}$.

在仿射概形语境下, 我们可以重新定义出代数簇概念:

定义 3.2.11 (概形意义下的代数簇). 设 $k$ 为域, 域 $k$ 上的仿射代数簇 $X$ 是同构于 $(\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$ 的仿射概形. 其中 $A$ 是域 $k$ 上的有限生成 $k$-代数.

注 3.2.12. 有些时候会要求 $A$ 为整环.

例 3.2.13. 对于 $D(f)\subset \mathrm{Spec}A$, $(D(f),{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}{\mid }_{D(f)})$ 同构于 $(\mathrm{Spec}{A}_f,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}{A}_f})$ 为仿射概形.

定理 3.2.14. 给定任意环同态 $\phi :A\to B$, 具有对应仿射概形之间的态射 $(f,f^{♯}):(\mathrm{Spec}B,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}B})\to (\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$. 更进一步, 这定义出函子$$\mathrm{Spec}:{\mathsf{CRing}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{AffSch}$$给定局部环化空间之间的态射 $(f,f^{♯}):(X,{\mathcal{O}}_X)\to (Y,{\mathcal{O}}_Y)$, 通过取整体截面可以得到 ⁴$$\mathcal{O}((f,f^{♯})):=f_Y^{♯}:\Gamma (Y,{\mathcal{O}}_Y)={\mathcal{O}}_Y(Y)\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)=(f_{\ast }\mathcal{O}(X))(Y)={\mathcal{O}}_X(X).$$这给出局部环化空间范畴到 $\mathsf{CRing}$ 的函子. 将 $\mathcal{O}$ 限制在 $\mathsf{AffSch}$ 上, 得到$$\mathcal{O}:{\mathsf{AffSch}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CRing}.$$函子 $\mathrm{Spec}$ 与 $\mathcal{O}$ 互为逆函子, 这给出范畴等价 ${\mathsf{CRing}}^{\mathrm{op}}\simeq \mathsf{AffSch}$.

证明.

证明. 函子 $\mathrm{Spec}$ 依定义即为本质满的. 接下来只需要验证全忠实性, 即对于任意 $A,B$, 有以下互逆的双射由仿射概形以及 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$ 的定义可知 $\mathcal{O}\circ \mathrm{Spec}=\mathrm{id}$. 现在令 $(f,f^{♯}):(\mathrm{Spec}B,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}B})\to (\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$ 为仿射概形之间的态射, 令 $\phi :=\mathcal{O}((f,f^{♯}))$ , 我们来说明 $\mathrm{Spec}\phi =(f,f^{♯})$. 若 $\mathfrak{p}$ 为 $B$ 中的素理想, 则 $f(\mathfrak{p})$ 为 $A$ 中的素理想. $f_{\mathfrak{p}}^{♯}$ 为唯一使得下述图表交换的环同态这说明 ${\phi }^{-1}(\mathfrak{p})\subset f(\mathfrak{p})$. 由于 $f_{\mathfrak{p}}^{♯}$ 为局部环之间的局部同态, 有$$f_{\mathfrak{p}}^{♯}(f(\mathfrak{p}))\subset \mathfrak{p}.$$即 ${\phi }^{-1}(\mathfrak{p})=f(\mathfrak{p})$, 即在拓扑空间层面上 $\mathrm{Spec}\phi =f$.
而后, 由于 $(\mathrm{Spec}\phi {)}_{\mathfrak{p}}^{♯}$ 也可以使得上图交换, 因此对于任意 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}B$, $(\mathrm{Spec}\phi {)}_{\mathfrak{p}}^{♯}=f_{\mathfrak{p}}^{♯}$. 根据注 2.1.28 可知 $(\mathrm{Spec}\phi {)}^{♯}=f^{♯}$.

$\square$

注 3.2.15.

•	该定理说明仿射概形的一切信息都来源于环, 层不过是一个良好的分类器.
•	取定同构 $\epsilon :\mathcal{O}\circ \mathrm{Spec}\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{id}$ 以及 $\eta :\mathrm{id}\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Spec}\circ \mathcal{O}$, 由 [李文威卷一] 中定理 2.6.12 可知我们可以给出伴随 $\mathcal{O}⊣\mathrm{Spec}$.

间奏: 代数-几何对偶

经过前文的一些观察, 可以给出一些更基本的观念. 即我们可以得到以下伴随:$$(\mathcal{O}⊣\mathrm{Spec}):\{\text{几何对象}\}\leftrightarrows \{\text{代数对象}\}$$其中

•	$\mathcal{O}$ 将空间映为其函数环, 给出几何对象到代数对象的对应.
•	$\mathrm{Spec}$ 将代数对象映到它的谱, 给出代数对象到几何对象的对应.

这一观点称为代数-几何对偶 (或 Isbell 对偶) 以下粗略地列举一些对应关系.

	代数对象	几何对象
一般理论	环	空间
	环同态	空间态射
	投射模	向量丛
	商环	闭子空间
	张量积	积空间
	局部化	邻域
代数几何	交换环	仿射概形
	分次环	射影态射
	域	单点空间
	平坦同态	平坦族
	平展覆叠	覆叠空间
	交换 Hopf 代数	群概形

对于 Isbell 对偶的进一步讨论离题万里, 感兴趣的读者可以查阅 nLab.

3.3概形

直至目前为止, 我们已经研究过了代数几何中的基本构件— $\mathrm{Spec}A$. 现在我们把它粘起来

定义 3.3.1 (概形). 概形是局部环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$, 满足下述条件:

•	存在 $X$ 的一组开覆盖 (称为仿射开覆盖) $(U_i{)}_{i\in I}$, 使此局部环化空间在每个 $U_i$ 上的限制 $(U_i,{\mathcal{O}}_X{|}_{U_i})$ 同构于某个交换环 $A_i$ 的素谱 $(\mathrm{Spec}{A}_i,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}{A}_i})$.

在不引起歧义时, 常将概形 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 简记为 $X$.

仿射概形所对应的开子集, 称为仿射开集. 特别地, 主开集也是仿射开集. 也可以立即得到概形之间态射的定义

定义 3.3.2 (概形态射). 概形 $X,Y$ 之间的概形态射 $f:X\to Y$ 就是局部环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 到 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 的态射.

喜报. 现在可以真正的开始学习代数几何了 ⁵.

定义-命题 3.3.3.

1.	令 $X$ 为概形, 且 $U\subset X$ 为开子集, 则局部环空间 $(U,{\mathcal{O}}_X{\mid }_U)$ 为概形. 称这样的 $U$ 为 $X$ 的开子概形. 此外若 $U$ 同时为仿射概形, 则称 $U$ 为 $X$ 的仿射开子概形.
2.	若 $X$ 为概形, 则仿射开子概形为拓扑基.

注 3.3.4.

•	现代的概形定义中, 不需要任何 “好” 的性质, 比如不可约, 有限性, 拟紧, 拟分离等, 我们将这些东西视为性质.
•	令 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 为概形, $U\subset X$ 为开子集, 则 $(U,{\mathcal{O}}_X{\mid }_U)$ 也为概形 (仿射开集作为拓扑基). 比方说考虑 $\mathrm{Spec}B=U\subset X=\mathrm{Spec}A$, 以及 $f\in A$, 则 $U\cap D(f)=D(g)\subset \mathrm{Spec}B$, 其中 $g=\mathcal{O}(i)(f)$, 其中 $i:U\hookrightarrow X$ 为包含态射.
•	给定概形 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 以及 $U\subset X$ 为开集, 取 $f\in {\mathcal{O}}_X(U)$ , 称该截面为 $U$ 上的正则函数. 对于 $x\in U$, 可以取 $f(x)=\mathrm{im}(f_x)\in {\mathcal{O}}_{X,x}/{\mathfrak{m}}_x=\kappa (x)$, 即 $f_x$ 在剩余域下的像. 比方说取 $X=\mathrm{Spec}\mathbb{R}[t]$, $x=(t^2+1)$, $f=t$, 则 $f(x)=\sqrt{-1}\in \mathbb{R}[t]/(t^2+1)\simeq \mathbb{C}$.
•	仿射概形中的开集不一定是仿射的, 比如考虑 $X={\mathbb{A}}_k^2=\mathrm{Spec}k[t_1,t_2]$, $U=X\setminus \{(0,0)\}$ 容易发现这不是仿射开集, 因为计算其整体截面得到 ${\mathcal{O}}_X(U)=k[t_1,t_2]$.

${\mathbb{A}}^2\setminus \{(0,0)\}$的整体截面计算.

${\mathbb{A}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 的整体截面计算. 记 $A=k[t_1,t_2]$, 不难发现 $U={\mathbb{A}}^2\setminus \{(0,0)\}=D(t_1)\cup D(t_2)$, 因此 ${\mathcal{O}}_X(U)$ 即为 $D(t_1)$ 与 $D(t_2)$ 上都有定义的函数全体.
首先不难发现 $A_{t_1}=k[t_1,t_2,1/t_1]$ 以及 $A_{t_2}=k[t_1,t_2,1/t_2]$, 我们只需要计算 $A_{t_1}\cap A_{t_2}$ 即可. 由于 $A$ 为整环, 因此可以嵌入进 $A_{t_1}$ 和 $A_{t_2}$ 中, 并且两者都可以嵌入进 $A_{t_1{t}_2}$ 中 (即 $k(t_1,t_2)=\mathrm{Frac}(A)$).
因此在 $A_{t_1{t}_2}$ 中计算得到 $A_{t_1}\cap A_{t_2}=A$. 从而$$\Gamma (U,{\mathcal{O}}_X)=k[t_1,t_2].$$

$\square$

此外, 概形可以由小态射粘接而成 ⁶, 即

命题 3.3.5 (态射的粘接). 令 $X,Y$ 为局部环空间. 对于开集 $U\subset X$, 令 $\mathrm{Hom}(U,Y)$ 为局部环空间之间的态射 $(U,{\mathcal{O}}_X{\mid }_U)\to (Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 所构成的集合. 则 $U\mapsto \mathrm{Hom}(U,Y)$ 为 $X$ 上的集合层. 换言之: 若 $X={\bigcup }_i{U}_i$ 为开覆盖, 一族态射 $U_i\to Y$ 可以粘成态射 $X\to Y$ 当且仅当它们限制在 $U_i\cap U_j$ 上是一致的, 且态射 $X\to Y$ 由此唯一确定.

证明. 留作习题.

$\square$

我们知道由于概形具有仿射开覆盖 ${\bigcup }_i\mathrm{Spec}{A}_i$, 而在环范畴中, 有始对象 $\mathbb{Z}$, 因此可以得到 $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 为 $\mathsf{AffSch}$ 的终对象, 再粘接得到以下推论:

推论 3.3.6. 令 $X$ 为局部环空间, 则存在唯一的态射 $X\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$, 特别地, $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 为概形范畴的终对象.

概形的粘接

我们可以对于概形进行粘接, 但是在粘接的时候我们需要考虑一些信息, 称这些信息为粘接信息 (gluing datum). 本节只讲述概形上的粘接道理, 这方面更一般的道理可以看第 36 章.

定义 3.3.7 (粘接信息). 粘接信息由以下信息组成:

•	指标集 $I$,
•	对于每个 $i\in I$ , 都对应于一个概形 $U_i$,
•	对于每个 $i,j\in I$, 都对应于开子集 $U_{ij}\subset U_i$(视为开子概形),
•	对于每个 $i,j\in I$, 都有概形同构 ${\phi }_{ji}:U_{ij}\to U_{ji}$.

使得

1.	对于每个 $i\in I$ 都有 $U_{ii}=U_i$,
2.	满足上圈条件 (或者说 cocycle condition), 即对于 $i,j,k\in I$ 在 $U_{ij}\cap U_{ik}$ 上有 ${\phi }_{kj}\circ {\phi }_{ji}={\phi }_{ki}$

为使得上圈条件中复合是有意义的, 我们一般假设 ${\phi }_{ji}(U_{ij}\cap U_{ik})\subset U_{jk}$. 对于 $i=j=k$ 的时候, 这无非是在说 ${\phi }_{ii}={\mathrm{id}}_{U_i}$, 若只要求 $i=k$, 那么可以得到 ${\phi }_{ij}^{-1}={\phi }_{ji}$, 因此 ${\phi }_{ji}$ 为同构 $U_{ij}\cap U_{ik}\stackrel{\sim }{\to }{U}_{ji}\cap U_{jk}$.
事实上, 对于集合, 拓扑空间或者局部环空间, 我们都可以定义粘合信息. 而且在每一种情况之中, 我们都可以通过粘合信息对于范畴中的对象 $U_i$ 进行粘合以此构建出在我们所关心的范畴中的一个新对象, 它满足我们将在后文提到的泛性质. 首先我们给出概形上的情况.

命题 3.3.8. 令 $\left((U_i{)}_{i\in I},(U_{ij}{)}_{i,j\in I},({\phi }_{ij}{)}_{i,j\in I}\right)$ 为概形的粘接信息. 则存在概形 $X$ 以及一族态射 ${\phi }_i:U_i\to X$ 使得

•	对于每个 $i$, ${\psi }_i:U_i\to X$ 给出 $U_i$ 到 $X$ 的开子概形的同构,
•	对于 $i,j\in I$, 在 $U_{ij}$ 上 ${\psi }_j\circ {\phi }_{ji}={\psi }_i$,
•	$X={\bigcup }_i{\psi }_i(U_i)$,
•	对于 $i,j\in I$ 有 ${\psi }_i(U_i)\cap {\psi }_j(U_j)={\psi }_i(U_{ij})={\psi }_j(U_{ij})$.

此外, $X$ 连同态射 ${\psi }_i$ 在同构意义上是唯一确定的.

上述命题所粘合出的概形 $X$ 具有以下泛性质: 对于任意 $i\in I$, 任意满足以上条件的概形 $T$(取 ${\xi }_i:U_i\to T$), 都存在唯一态射 $\xi :X\to T$ 使得 $\xi \circ {\psi }_i={\xi }_i$.

证明.

证明. 我们从三个角度开始证明:

集合角度.	首先, 我们应当先构建出 $X$ 所对应的集合, 考虑无交并 ${\coprod }_{i\in I}{U}_i$, 在其上定义如下关系 $\sim$ 对于 $x_i\in U_{ij}$, $x_j\in U_{ji}$, $x_i\sim x_j$ 当且仅当 $x_j={\phi }_{ji}(x_i)$. 不难发现上圈条件保证 $\sim$ 确实为等价关系. 令$$X=\coprod _{i\in I}{U}_i/\sim .$$不难发现自然映射 $U_i\to X$ 为单射, 且 ${\psi }_i(U_{ij})={\psi }_i(U_i)\cap {\psi }_j(U_j)$.
拓扑空间角度.	给 $X$ 配备上对应的商拓扑, 由商拓扑定义可知这是使得 $({\psi }_i{)}_{i\in I}$ 连续的最细的拓扑, 因此 $U\subset X$ 为开集当且仅当对于每个 $i\in I$ 都有 ${\psi }_i^{-1}(U)\subset U_i$ 为开集. 特别地, ${\psi }_i(U_i)$ 以及 ${\psi }_i(U_{ij})$ 为 $X$ 中的开集.
层角度.	最后我们来构建 $X$ 上的结构层, 这相当于在粘接 $U_i$ 上的结构层, 先将它们都推到 $X$ 上, 即我们事实上在粘接 $({\psi }_i{)}_{\ast }{\mathcal{O}}_{U_i}$ . 对于开集 $U\subset X$, 不妨假设其在某个 $U_i$ 内, 此时取 ${\mathcal{O}}_X(U):=({\psi }_i{)}_{\ast }{\mathcal{O}}_{U_i}(U)={\mathcal{O}}_{U_i}({\psi }_i^{-1}(U))$ 即可, 接下来我们看 $U\subset {\psi }_i(U_i)\cap {\psi }_i(U_j)$ 的情况. 由粘接信息定义我们可以得知 ${\phi }_{ji}$ 为概形同构, 因此自然为层同构, 因此 $({\phi }_{ji}{)}_{\ast }{\mathcal{O}}_{U_i}{\mid }_{U_{ij}}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_{U_j}{\mid }_{U_{ji}}$ 为同构, 而后由于 ${\phi }_{ij}({\psi }_i^{-1}(U))={\psi }_j^{-1}(U)$ 可知 ${\mathcal{O}}_{U_i}({\psi }_i^{-1}(U))$ 与 ${\mathcal{O}}_{U_j}({\psi }_j^{-1}(U))$ 是同构的, 因此 ${\mathcal{O}}_X$ 无关于 $i$ 的选择, 并且可以很轻松地定义出限制映射, 不难发现由此得到了 $X$ 上的结构层, 由于 $U_i$ 均为局部环空间, 因此 $X$ 也为局部环空间. 最后验证 $X$ 确实为概形, 这要求我们找出其仿射开覆盖, 由于 $U_i$ 均为概形, 因此可以取其仿射开覆盖, 并且 $U_i$ 的仿射开子概形 $V$ 的像 ${\psi }_i(V)$ 为仿射概形, 从而 $X$ 也具有仿射开覆盖, 即 $X$ 为概形.

$\square$

练习 3.3.9. 试构建仿射概形的无交并与概形的无交并.

射影概形

本节后半段的目标是讲述一个重要例子—射影概形.
环 $S={⨁}_{n\ge 0}{S}_n$ 称为 分次环, 是指每个 $S_n$ 均为 Abel 群, ${⨁}_{n\ge 0}{S}_n$ 为 Abel 群的直和, 并且$$S_n\cdot S_m\subset S_{m+n},\forall n,m\ge 0$$$S_n$ 中的元素称为次数为 $n$ 的齐次元, 即若 $f\in S_n$ 则称其度为 $n$ , 记为 $\mathrm{deg}(f)=n$.

例 3.3.10. 设 $A$ 为环, 则多项式环 $S=A[t_1,\cdots ,t_n]$ 为分次环, 其中 $S_m$ 定义为 $m$ 次齐次多项式构成的加法子群.

分次理想意谓 $A$ 中形如 $I={⨁}_{n\ge 0}(I\cap S_i)$ 的理想. 这等价于说是齐次元所生成的理想. 不难发现此时 $S/I$ 也为分次环, $(S/I{)}_n=S_n/(I\cap S_n)$. 对于一般的理想 $I$, 定义其齐次化 $I^h$ 为 $I^h:={⨁}_{n\ge 0}(I\cap S_i)$.

符号说明. 对于次数严格大于 $0$ 的部分, 记为 $S_{+}$, 即 $S_{+}:={⨁}_{n>0}{S}_n$.

现在我们可以定义 $\mathrm{Proj}S$.

定义 3.3.11. 定义 $\mathrm{Proj}S:=\{S\text{ 中不包含 }{S}_{+}的齐次素理想\}$.

例 3.3.12. ${\mathbb{P}}_k^n:=\mathrm{Proj}k[x_1,\cdots ,x_n]$, 在此处 $\mathrm{Proj}$ 中关于不包含 $S_{+}$ 意谓 “$0\notin {\mathbb{P}}_k^n$”, 此处原点所对应的极大理想为 $S_{+}$.

目标. 我们将定义出概形 $(\mathrm{Proj}S,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Proj}S})$, 它包含以下资料:

•	$\mathrm{Proj}S$ 作为拓扑空间, 即其上的 Zariski 拓扑.
•	结构层 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Proj}S}$ 该如何拼接.

我们一步步来实现这些目标

$\mathrm{Proj}S$ 上的 Zariski 拓扑

有着前文的 Zariski 拓扑打底, 我们可以在 $\mathrm{Proj}S$ 上定义出 Zariski 闭集.
对于分次理想 $I\subset S$, 定义 $V_{+}(I):=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Proj}S:I\subset \mathfrak{p}\}$.

定义 3.3.13.

•	$V_{+}(S_{+})=\varnothing$,
•	$V_{+}(\{0\})=\mathrm{Proj}S$,
•	对于分次理想 $I$, ${\bigcap }_{\lambda }{V}_{+}(I_{\lambda })=V_{+}({\sum }_{\lambda }{I}_{\lambda })$,
•	对于分次理想 $I_1,I_2$, $V(I_1{I}_2)=V(I_1)\cup V(I_2)$.

因此对于分次理想 $I$, $V_{+}(I)$ 作为闭集构建了 $\mathrm{Proj}S$ 上的拓扑. 对于 $S$ 中的理想 $I$, 记 $I^h={⨁}_{n\ge 0}(I\cap S_n)$ 为其齐次化. 于是 $I$ 齐次当且仅当 $I=I^h$.

这样我们就得到 $\mathrm{Proj}S$ 上的 Zariski 拓扑.

命题 3.3.14. 设 $I$, $J$ 为 $S$ 中的分次理想, 则下述性质成立:

1.	若 $I\in \mathrm{Spec}S$ 则 $I^h\in \mathrm{Proj}S$.
2.	$I,J$ 齐次时, $V_{+}(I)\subset V_{+}(J)$ 当且仅当 $J\cap S_{+}\subset \sqrt{I}$.
3.	$\mathrm{Proj}S=\varnothing$ 当且仅当 $S_{+}$ 内均为幂零元.

证明.

证明.

1.	对于 $ab\in I^h$, 不妨设 $a,b\notin I^h$. 设齐次分解 $a={\sum }_{i=0}^n{a}_i$, $b={\sum }_{i=0}^m{b}_j$; 有 $a_d,b_d\in S_d$. 不断去掉 $I^h$ 中的项可设最高次项 $a_n,b_m\notin I^h$. 因 $ab\in I^h$, 因此 $a_n{b}_m\in I^h$, 而由于 $I$ 为素理想, 且 $I^h={⨁}_{n\ge 0}(I\cap S_n)\subset I$, 从而 $a_n$ 或 $b_m$ 在 $I$ 中, 而由定义可知 $a_n\in S_n$ 且 $b_m\in S_m$ 产生矛盾.
2.	若 $J\cap S_{+}\subset \sqrt{I}$ 时 $\mathfrak{p}\in V_{+}(\sqrt{I})$ 推知 $J{S}_{+}\subset \mathfrak{p}$ 因为 $S_{+}\not\subset \mathfrak{p}$, 故 $J\subset \mathfrak{p}$. 反过来 $V_{+}(I)\subset V_{+}(J)$ 时对 $\mathfrak{p}\in V(I)$ 有 ${\mathfrak{p}}^h$ 素且 $I\subset {\mathfrak{p}}^h$ 不含 $B_{+}$, 则 ${\mathfrak{p}}^h\in V_{+}(J)$ 从而 $J\cap B_{+}\subset {\mathfrak{p}}^h\subset \mathfrak{p}$. ${\mathfrak{p}}^h$ 含 $S_{+}$ 时此式成立.
3.	$\mathrm{Proj}S=\varnothing$ 等价于 $V_{+}(0)\subset V_{+}(S_{+})$ 从而等价于 $S_{+}\subset \sqrt{0}$.

$\square$

接下来我们定义主开集, 当然这个时候我们需要考虑齐次元素 $f$, 定义$$D_{+}(f):=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Proj}S:f\notin \mathfrak{p}\}$$事实上 $\{D_{+}(f):\mathrm{deg}f>0\}$ 构成拓扑基 (当然首先说明 $\{D_{+}(f)\}$ 构成拓扑基, 而后假定 $S_{+}=(f_i)$(不一定有限), 几何来看 $\mathrm{Proj}S={\bigcup }_{i}D(f_i)$, 此时对于任意 $f$ 都有 $D_{+}(f)={\bigcup }_{i}D(f{f}_i)$)

注 3.3.15.

•	(命题 3.3.14 的转译)$\mathrm{Proj}S$ 上的拓扑实际上由 $\mathrm{Spec}S$ 所诱导, 这是因为对于 $f\in S$ 可以做齐次分解 $f={\sum }_{i=0}^d{f}_i$ 其中 $f_i\in S_i$, 此时考虑 $V(f)\cap \mathrm{Proj}S={\bigcap }_{i=0}^d{V}_{+}(f_i)$. 且 $D(f)\cap \mathrm{Proj}S={\bigcup }_{i=1}^d{D}_{+}(f)$.
•	若 $S$ 作为 $S_0$-代数被次数为 $1$ 的元素所生成 (比如 $S=A[x_0,\cdots ,x_n]$ 其中每个元素 $f$ 都有 $\mathrm{deg}f=1$) 则 $\{D(f):\mathrm{deg}f=1\}$ 为 $\mathrm{Proj}S$ 的覆盖, 这与前文的说法是一致的.

结构层

现在我们来考虑结构层, 我们可以大概设想 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Proj}S}$ 该长什么样, 它如何由一些仿射概形拼接而成.

1.	对于齐次元素 $f\in S$, 我们希望 $\mathcal{O}(D_{+}(f))=S_{(f)}$, 其中 $S_{(f)}\subset S_f$ 中次数为 $0$ 的全体元素构成的子环, 即$$S_{(f)}:=\{a{f}^{-N}\in S_f:N\ge 0,a\text{齐次},\mathrm{deg}a=N\mathrm{deg}f\}.$$
2.	对于 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Proj}(S)$, ${\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}=S_{(\mathfrak{p})}\subseteq T^{-1}S$, 其中 $T=\{S\setminus \mathfrak{p}\text{中的齐次元素}\}$.

不难发现上述步骤的目的是将每个 $D_{+}(f)$ 实现为仿射概形, 最终使用仿射概形 $D_{+}(f)$ 覆盖 $\mathrm{Proj}(S)$.

注 3.3.16. 注意到在目标 $\mathrm{Spec}A$ 上的结构层 中我们还有个整体截面上的条件. 但是, 事实上, $\mathcal{O}(\mathrm{Proj}(S))\ne S$, 比如 ${\mathbb{P}}_k^1=\mathrm{Proj}k[t_0,t_1]$, $\mathcal{O}({\mathbb{P}}_k^1)=k$. 因此此时使用整体截面得到的不是整个 $S$ 的信息. 我们稍后将使用更复杂的方法从 $\mathrm{Proj}(S)$ 中取出 $S$.

接下来我们说清楚这些东西, 不过这样不可避免的需要引入一些代数的东西.

引理 3.3.17. 若 $S$ 为分次环, $f\in S$ 为齐次元素且 $\mathrm{deg}(f)>0$.

1.	$u_f:D_{+}(f)\to \mathrm{Spec}{S}_{(f)},\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}{S}_f\cap S_{(f)}$ (即在 $S_f$ 中生成 $\mathfrak{p}$ 的素理想, 并交上次数为 $0$ 的点) 为双射, 事实上, 这个映射是由子环的嵌入 $S_{(f)}\hookrightarrow S_f$ 所诱导的.
2.	对于 $\mathrm{deg}(g)>0$ 的齐次元素 $g\in S$, 且 $D_{+}(g)\subseteq D_{+}(f)$, 则存在典范限制态射 $S_{(f)}\to S_{(g)}$.

事实上 $u_f:D_{+}(f)\to \mathrm{Spec}{S}_{(f)}$ 可以视为将齐次坐标转化为非齐次坐标的过程.

证明.

证明.

1.

$u_f$ 是良定的, 这是因为若 $f\notin \mathfrak{p}$, 则 $\mathfrak{p}{S}_f$ 也为素理想, 从而 $\mathfrak{p}{S}_f\cap S_{(f)}$ 亦是如此. 接下来证明双射. 首先证明满, 对于 $\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}{S}_{(f)}$, 考虑 $\mathfrak{q}{S}_f\subseteq S_f$, 因为 $\mathfrak{q}$ 中的元素都是零次的, 因此 $\mathfrak{q}{S}_f$ 自动齐次. 此外, $\sqrt{\mathfrak{q}{S}_f}$ 也是齐次理想. 记局部化态射为 $\rho :S\to S_f$, 不难发现其保次数, 令 $\mathfrak{p}:={\rho }^{-1}(\sqrt{\mathfrak{q}{S}_f})$, 可知其也为齐次理想. 且 $f\notin \mathfrak{p}$. 最后, 我们来说明 $\mathfrak{p}$ 是素理想. 这只需说明 $\sqrt{\mathfrak{q}{S}_f}$ 为素理想. 对于使得 $ab\in \sqrt{\mathfrak{q}{S}_f}$ 的齐次元素 $a,b\in S_f$, 这相当于说存在 $m\ge 0$ 使得 $a^m{b}^m\in \mathfrak{q}{S}_f$. 但是此时 $\mathrm{deg}{a}^m{b}^m$ 不一定为 $0$, 从而考虑 $(a^r{f}^{-\mathrm{deg}a}{)}^m(b^r{f}^{-\mathrm{deg}b}{)}^m\in \mathfrak{q}{S}_f\cap S_{(f)}=\mathfrak{q}$. 而由于 $\mathfrak{q}$ 为素理想, 因此 $a^r{f}^{-\mathrm{deg}a}\in \mathfrak{q}$ 或 $b^r{f}^{-\mathrm{deg}b}\in \mathfrak{q}$. 从而 $a^r\in \mathfrak{q}{S}_f$ 或 $b^r\in \mathfrak{q}{S}_f$. 另一方面, $u_f(\mathfrak{p})=\sqrt{\mathfrak{q}{S}_f}\cap S_{(f)}$. 接下来说明 $u_f(\mathfrak{p})=\mathfrak{q}$. 取 $x\in u_f(\mathfrak{p})$ 有 $x^m\in \mathfrak{q}{S}_f\cap S_{(f)}=\mathfrak{q}$. 现在我们来证明单射, 对于 $\mathfrak{p},{\mathfrak{p}}^{\prime }\in D_{+}(f)$. 断言 ${\mathfrak{p}}^{\prime }\subset \mathfrak{p}$ 当且仅当 $u_f({\mathfrak{p}}^{\prime })\subset u_f(\mathfrak{p})$. 左推右是显然的, 接下来证明右推左. 若 $u_f({\mathfrak{p}}^{\prime })\subset u_f(\mathfrak{p})$, 对于任意 $x\in {\mathfrak{p}}^{\prime }$, 有 $x^r{p}^{-\mathrm{deg}(x)}\in u_f({\mathfrak{p}}^{\prime })\in u_f(\mathfrak{p})\subset \mathfrak{p}{S}_f$. 从而 $x^r\in \mathfrak{p}{S}_f\cap S=\mathfrak{p}$. 从而 $x\in \mathfrak{p}$.

2.

若 $D_{+}(g)\subset D_{+}(f)$, 则 $g^n=bf$, 其中 $b\in S$ 为齐次元. 由此可以定义环同态$$S_{(f)}\to S_{(g)},a{f}^{-n}\mapsto a{b}^n{g}^{-mn}$$

$\square$

注 3.3.18. 上述证明的麻烦之处在于 $\mathrm{deg}(f)$ 不一定为 $1$, 因此我们总是需要取 $r$ 次, 若 $\mathrm{deg}(f)=1$, 那么一切都将变得非常简单. 此时 $u_f^{-1}:\mathrm{Spec}{S}_{(f)}\to D_{+}(f),\mathfrak{q}\mapsto \mathfrak{p}={⨁}_d\mathfrak{p}d$, 其中 $\mathfrak{p}d:=\{x\in S_d:\frac{x}{f^d}\in \mathfrak{q}\}$. 根据写在证明之前的讨论, 这实际上是将非齐次写为齐次的过程.

现在我们可以处理一些拓扑上的东西.

定义-定理 3.3.19. 令 $S$ 为分次环, $f\in S$ 为齐次元且 $\mathrm{deg}(f)>0$. 则

1.	$u_f:D_{+}(f)\to \mathrm{Spec}{S}_{(f)}$ 为同胚. 且若 $f,g\in S$ 为次数大于 $0$ 使得 $D_{+}(g)\subset D_{+}(f)$ 的齐次元. 则$$D_{+}(g)\mathrm{Spec}{S}_{(g)}{D}_{+}(f)\mathrm{Spec}{S}_{(g)}.u_g\text{包含}\text{由}{S}_{(f)}\to S_{(g)}\text{所诱导的态射}{u}_f$$
2.	根据前文讨论, $u_f$ 可以给 $D_{+}(f)$ 配上层结构 ${\mathcal{O}}_{D_{+}(f)}$ 使得$$(D_{+}(f),{\mathcal{O}}_{D_{+}(f)})\simeq (\mathrm{Spec}{S}_{(f)},{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}{S}_{(f)}})$$从而根据命题 3.3.8 可知 $\{{\mathcal{O}}_{D_{+}(f)}\}$ 可以粘接出 $\mathcal{O}={\mathcal{O}}_{\mathrm{Proj}(S)}$. 使得 $(\mathrm{Proj}(S),\mathcal{O})$ 为概形.
3.	对于任意 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Proj}(S)$ 都有 ${\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}$.

证明.

证明.

1.	让 $\mathrm{Proj}(S)$ 带上 $\mathrm{Spec}S$ 的子空间拓扑. 则 $u_f$ 为 $\mathrm{Spec}{S}_f\to \mathrm{Spec}{S}_{(f)}$ 在 $D_{+}(f)\subset D(f)\subset \mathrm{Spec}{S}_f$ 上的限制自然连续. 只需证明其为双射且为闭映射, 而在引理 3.3.17 中已然说明双射, 只需说明其为闭映射即可. 而在引理 3.3.17 的证明的断言 $\mathfrak{p}\in D_{+}(f)$ 以及 $I\subset \mathfrak{p}$ 有 $u_f(I)\subset u_f(\mathfrak{p})$ 中完全没有用到 $I$ 为素理想的条件, 因此这一弱化版本断言也自动成立. 从而自动为闭.
2.	显然.

$\square$

3.4习题

练习 3.4.1. 令 $p$ 为素数, 且 ${\mathbb{F}}_p$ 为 $p$ 元域, 令 $i_{(p)}:\mathrm{Spec}{\mathbb{F}}_p\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 为典范态射. 则对于概形 $X$, 以下条件等价:

1.	对于任意开子集 $U\subseteq X$, 环 $\Gamma (U,{\mathcal{O}}_X)$ 特征为 $p$.
2.	环 $\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 特征 $p$.
3.	概形态射 $X\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 可以分解为 $X\to \mathrm{Spec}{\mathbb{F}}_p\stackrel{i_{(p)}}{\to }\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$.

称满足以上条件的概形为特征 $\mathbf{p}$ 概形. 若 $X\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 穿过 $\mathrm{Spec}\text{Q}$, 则称为特征 $0$ 概形.

练习 3.4.2 (Frobenius 态射). 令 $p$ 为素数, 且 $X$ 为特征 $p$ 概形. 则存在唯一的态射 ${\mathrm{Frob}}_X=(f,f^{♭}):XtoX$ 使得对于每个开集 $U\subseteq X$ 都有 $f^{♭}$ 由环同态 $\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)\to \Gamma (U,{\mathcal{O}}_X),a\mapsto a^p$ 给出. ${\mathrm{Frob}}_X$ 称为绝对 Frobenius 态射.
试给出使得 ${\mathrm{Fr}}_X$ 在整体截面环 $\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 上为同构, 而自身并非同构的概形 $X$.

脚注

1.	^ 在法语里 Separated = Hausdorff
2.	^ 这使用代数簇语言描述起来是很麻烦的, 但是概形语言之下却很便利.
3.	^ 旨在把层定义为函数, 回忆定义-命题 2.1.16.
4.	^ 对于这一符号更为合适的说明应该是 $\mathcal{O}:X\mapsto \mathcal{O}(X)$ 为整体截面函子.
5.	^ Yeah!!!
6.	^ 粘接是层的基本性质, 因此考虑粘接之时自然在考虑层.