2. 层论—“连接局部与整体”

注 2.0.1. 本节部分内容有更好的组织方式, 作者稍后时间将会进行重写

层是一种对于几何对象赋予代数结构的手段, 它是将拓扑与代数相结合的一条路径 ¹.
在上一讲中, 我们已然发现 $\mathrm{Spec}A$ 作为拓扑空间仍然具有较大的局限性, 比如对于不同的域 $k,k^{\prime }$, 我们无法对于 $\mathrm{Spec}k$ 与 $\mathrm{Spec}{k}^{\prime }$ 进行区分, 而现在, 我们试着通过层来记录一些代数信息, 对于它们进行区分.
本讲首先讲述拓扑空间上的层 ², 至于景以及景上的层等概念我们暂时留作选读部分.

2.1拓扑空间上的层

预层

在定义层之前, 我们需要定义什么叫做预层, 它并没有给出很多的信息, 它只是一大堆杂乱无章的数据.

定义 2.1.1 ($\mathcal{D}$-值预层). 令 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{D}$ 为范畴, $\mathrm{Open}(X)$ 为 $X$ 上开集构成 (以包含关系作为态射) 的范畴. 则 $X$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层 $\mathcal{F}$ 就是一个函子$$\mathcal{F}:\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$$也即 $\mathrm{Open}(X)$ 到 $\mathcal{D}$ 的一个反变函子. 将全体 $\mathcal{D}$-值预层构成的范畴记为 $\mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$, 特别地, 取 $\mathcal{D}=\mathrm{Set}$ 时记为 $\mathrm{Open}(X{)}^{\wedge }$.

这样的定义有些许的抽象, 但是我们可以将其显式的写出来 ³

定义 2.1.2. 设 $X$ 是拓扑空间, $\mathcal{D}$ 是范畴. 则 $X$ 上取值于 $\mathcal{D}$ 的预层 $\mathcal{F}$ 由以下信息组成:

•	对每个开集 $U\subset X$, 有一个对象$$\mathcal{F}(U)\in \mathcal{D},$$称为 $U$ 上 $\mathcal{F}$ 的所有截面构成的空间.
•	对任两个开集 $U\subset V\subset X$, 有一个 $\mathcal{D}$ 中的态射$${\mathrm{res}}_U^V:\mathcal{F}(V)\to \mathcal{F}(U),$$称为限制映射. 这个映射通常也记为 $(-){|}_U$. 限制映射还满足如下函子性要求: ∘ ${\mathrm{res}}_U^U={\mathrm{id}}_{\mathcal{F}(U)}$. ∘ 对于任意满足 $U\subset V\subset W$ 的开集, 都有 ${\mathrm{res}}_U^W={\mathrm{res}}_U^V\circ {\mathrm{res}}_V^W$.

当 $\mathcal{D}=\mathsf{Set}$ 为集合范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为集合预层; 当 $\mathcal{D}=\mathsf{Ab}$ 为 Abel 群范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为 Abel 预层, 以此类推.

注 2.1.3. $\mathcal{F}(U)$ 有时也写为 $\Gamma (U,\mathcal{F})$, 这种写法有时更利于操作, 可以看做一种算子.

层与其上的构造

接下来我们介绍什么是层, 层是满足 “局部决定整体” 的预层: 对任一开集 $U$ 以及 $U$ 的任一开覆盖, $U$ 的每个截面都能由开覆盖中的小截面拼凑而成; 在每个小开集上选取截面, 若它们相容 (在重叠处吻合), 就能唯一地决定 $U$ 上的截面. 这种性质称为层公理, 首先, 我们在集合的情况下形式地将其写出.

定义 2.1.4 (集合层). 令 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{F}\in \mathrm{Open}(X{)}^{\wedge }$ 为集合预层, $U\in \mathrm{Open}(X)$ 为开集, $(U_i\hookrightarrow U{)}_{i\in I}$ 为开覆盖, 若满足以下条件

1.	(粘接性质) 若对每个 $i\in I$, 给定截面 $s_i\in \mathcal{F}(U_i)$, 使得对任意 $i,j\in I$ 都有 $s_i{\mid }_{U_i\cap U_j}=s_j{\mid }_{U_i\cap U_j}$, 则存在 $s\in \mathcal{F}(U)$ 使得任意 $i\in I$ 都有 $s_i=s{\mid }_{U_i}$.
2.	(唯一性) 给定截面 $s\in \mathcal{F}(U)$ 若对任意 $i\in I$ 都有 $s{\mid }_{U_i}=0$ 则有 $s=0$.

满足以上两条性质的预层 $\mathcal{F}$ 称为 (集合) 层.

注 2.1.5. 当取范畴 $\mathcal{D}$ 为 $\mathrm{Ab},\mathrm{CRing}$ 时得到的层为 Abel 群层和交换环层, 本文主要考虑 Abel 群层的情况.

根据前文的定义, 我们可以将层提炼为更加抽象的公理形式.

定义 2.1.6 ($\mathcal{D}$-值层). 设 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{D}$ 为范畴, 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$. 满足以下条件的预层 $\mathcal{F}$ 被称为是一个层: 对任意开集 $U\subset X$ 以及 $U$ 的任意开覆盖 $(U_i\hookrightarrow U{)}_{i\in I}$ 图表$$\mathcal{F}(U)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{j,k\in I}\mathcal{F}(U_j\cap U_k)$$都是等子图表, 其中

•	左边的箭头将 $\mathcal{F}(U)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i)$.
•	右边上方的箭头将每个 $\mathcal{F}(U_i)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i\cap U_k)$.
•	右边下方的箭头将每个 $\mathcal{F}(U_i)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_j\cap U_i)$.

此图表称为层公理.

接下来举几个层与预层并非层的例子.

例 2.1.7.

1.	设 $X$ 为拓扑空间, 定义其上的连续函数层 $\mathcal{F}$ 为$$\mathcal{F}(U):=\left\{\text{连续函数}U\to \mathbb{R}\right\}$$
2.	取 $X={\mathbb{R}}^n$ 或微分流形时, 定义其上的光滑函数层 $\mathcal{F}$ 为$$\mathcal{F}(U):=\left\{C^{\infty }\text{函数}U\to \mathbb{R}\right\}$$
3.	取 $X$ 为拓扑空间, $A\in \mathrm{Ab}$ 为 Abel 群, 定义 $X$ 上取值于 $A$ 的局部常值层 ${\underline{A}}_X$ 为$${\underline{A}}_X:=\left\{\text{局部常值函数}U\to A\right\}$$此处 $A$ 予以离散拓扑.

注 2.1.8. 此时可以发现对任意 $U\ne \varnothing$ 取 $\mathcal{F}(U)=A$ 时得到的层只是一个预层而不是层 (只需要取 $U\cap V=\varnothing$ 且 $s,t\in A$,$s\in \mathcal{F}(U)$ 而 $t\in \mathcal{F}(V)$ 可知 $s{\mid }_{U\cap V}=t{\mid }_{U\cap V}=0$ 但是 $s\ne t$).

接下来, 阐述一些层上的构造, 首先让我们聚焦于层在一点处的局部信息—茎.

定义 2.1.9 (茎). 设 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{F}$ 为其上的 (预) 层, 给定 $x\in X$, 可以定义 $\mathcal{F}$ 在 $x$ 处的茎$${\mathcal{F}}_x:=\underset{x\in U}{\mathrm{colim}}\mathcal{F}(U)$$更具体的说,${\mathcal{F}}_x$ 中的元素为形如 $(U,s)$ 的等价类, 其中 $U$ 为 $x$ 的某个邻域, $s\in \mathcal{F}(U)$ 为截面, $(U,s)$ 称为芽. 对于两个芽 $(U,s)$, $(V,t)$, 若存在 $W\subset V\cap U$ 为 $x$ 的邻域使得 $s{\mid }_W=t{\mid }_W$, 则称这两个芽等价. 芽 $(U,s)$ 有时也简记为 $s_x$.

注 2.1.10.

•	若 $X$ 具有一组基 $\{U_i\}$ 在有限交下稳定, 则 $X$ 上的任意层都可以唯一地由 $\{\mathcal{F}(U_i)\}$ 所决定. $$\underset{U_i\hookrightarrow U}{\lim }\mathcal{F}(U_i)=\mathcal{F}(U).$$
•	取 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的 (预) 层, $U\subset X$ 为开集, 则 $\mathcal{F}{\mid }_U$ 为 $U$ 上的 (预) 层.
•	取 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的 (预) 层, $U\subset X$ 为开集, $x\in U$ 为一点, 则 $s\in \mathcal{F}(U)$ 可推知 $s_x\in {\mathcal{F}}_x$.
•	若 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的层, 且 $s,t\in \mathcal{F}(U)$, 则 $s=t$ 当且仅当对任意 $x\in U$ 都有 $s_x=t_x$4. 这说明茎记载了层的最局部的信息.

定义了一个数学对象之后, 我们就需要考虑数学对象之间的互动, 因此接下来考虑 (预) 层之间的态射.

定义 2.1.11 ((预) 层间的态射). 设 $X$ 为拓扑空间, 取 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 为 $X$ 上的 (预) 层, 它们间的态射 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 是一族群同态 $\{{\phi }_U:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)\}$ 满足以下的相容性条件: 对于任意的 $V\subset U$ 都有图表交换.

注 2.1.12.

•	若 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 且拓扑空间 $X$ 具有满足注记 2.1.10 所述条件的基, 则 $\phi$ 被 ${\phi }_{U_i}:\mathcal{F}(U_i)\to \mathcal{G}(U_i)$ 所唯一确定.
•	若 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为 (预) 层间的态射, 则对于任意 $x\in X$ 有 ${\phi }_x:{\mathcal{F}}_x\to {\mathcal{G}}_x$ 为相应茎间的态射.

接下来就需要定义何谓层的同构 (这时候我们想需要做一些线性代数的东西, 比如定义层态射的核, 像, 余核).

定义 2.1.13 (核). 设 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 是 $X$ 上层之间的态射, 定义$$\ker \phi (U):=\ker ({\phi }_U:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)).$$称其为层之间态射的核.

容易验证 $\ker \phi$ 也是一个层, 留作习题. 定义了核我们也就可以定义何谓单射 (用同调代数的知识).

定义 2.1.14. 若 $\ker \phi =0$ 则称 $\phi$ 为单态射.

层化

⁵但是在构造像的时候我们就遇到了问题. 最初遇到的节点是在复分析上.

例 2.1.15. 考虑 $X={\mathbb{C}}^{\times }=\mathbb{C}\setminus \{0\}$, 赋予其经典拓扑 (或称解析拓扑) 得到 $X^{\mathrm{an}}$. 考虑以下层

•	${\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}(U):=\{\text{全纯函数}:U\to \mathbb{C}\}$ 为 Abel 群层 (加法层).
•	${\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }(U):=\{\text{可逆全纯函数}U\to ({\mathbb{C}}^{\times },\times )\}$ 也是 Abel 群层 (乘法层).

取指数映射$$\exp :{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}\to {\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }$$对于 $U\subset X$ 有$$\begin{array}{rl}{\exp }_U:{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}(U)& \to {\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }(U)\\ s& \mapsto e^s\end{array}$$很显然它是一个层之间的态射. 但是考虑函数 ${\mathrm{id}}_X$, 它是一个可逆的全纯函数, 但是我们无法在整体上对其取对数, 因此 ${\mathrm{id}}_X\notin \mathrm{im}({\exp }_X:{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}(X)\to {\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }(X))$, 但是取 $x\in X$ 的足够小的开邻域 $U$ 有 ${\mathrm{id}}_X{\mid }_U\in \mathrm{im}({\exp }_U)$. 因此层间态射的像不能直接定义为像构成的预层.

因此, 我们需要寻求一个工具, 将预层变成层, 但最大限度上不改变预层所具有的局部性质, 特别地, 我们不希望改变茎, 只希望把预层变得可以粘接. 回忆前文所提到的一系列例子, 发现最容易的生成一个层的方法是考虑函数层, 因此, 我们对于原本预层理所有的信息进行修改, 制造出一个函数层 (当然还需要满足一些相容性公理), 这一步骤我们就叫做层化.

定义-命题 2.1.16. 设 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{F}$ 为其上的预层, 定义其层化 ${\mathcal{F}}^{+}$ 为 $X$ 上的预层, 对 $U\subset X$ 有$${\mathcal{F}}^{+}(U):=\left\{s:U\to \coprod _{x\in U}{\mathcal{F}}_x\right\}$$且 $s\in {\mathcal{F}}^{+}(U)$ 满足以下相容条件

•	任意 $x\in U$ 都有 $s(x)\in {\mathcal{F}}_x$.
•	任意 $x\in U$ 存在 $x$ 的邻域 $V\subset U$, $t\in \mathcal{F}(V)$ 使得 $\forall y\in V$ 都有 $s(y)=t_y$.6

如此定义的 ${\mathcal{F}}^{+}$ 是层且具有预层间的典范态射 $\mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{+}$ 此外还满足:

1.	对任意 $x\in X$ 都有 ${\mathcal{F}}_x={\mathcal{F}}_x^{+}$.
2.	若 $\mathcal{F}$ 是一个层, 则 $\mathcal{F}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{F}}^{+}$.
3.	(泛性质) 对任意 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为预层间的态射, 且 $\mathcal{G}$ 为层, 此时由交换图表

证明.

证明. ${\mathcal{F}}^{+}$ 具有显然的层结构, 并且设典范态射为 $\theta :\mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{+}$, 由其满足的公理容易看出典范态射诱导茎上的同构 ${\theta }_x:{\mathcal{F}}_x\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{F}}_x^{+}$. 对于任意 $s\in {\mathcal{F}}^{+}(U)$, 都存在 $(U_i\hookrightarrow U)$ 为开覆盖且 $t_i\in \mathcal{F}(U_i)$ 使得 $s{\mid }_{U_i}=\theta (t_i)$. 对于每个 $x\in U_i\cap U_j$, 都有$$t_{i,x}=s(x)=t_{j,x}$$令 $U_x$ 为 $x$ 在 $U_i\cap U_j$ 中的开邻域, 且使得 $t_i{\mid }_{U_x}=t_j{\mid }_{U_x}$. 则 $U_x$ 在 $x$ 取遍 $U_i\cap U_j$ 时构成了 $U_i\cap U_j$ 的一个开覆盖, 并且由预层间态射定义可知 $\phi (t_i){\mid }_{U_x}=\phi (t_j){\mid }_{U_x}$. 由于 $\mathcal{G}$ 是一个层, 因此可以粘接得到 $\phi (t_i){\mid }_{U_i\cap U_j}=\phi (t_j){\mid }_{U_i\cap U_j}$. 而 $(U_i\hookrightarrow U)$ 为 $U$ 的开覆盖, 因此就粘接得到 $\mathcal{G}(U)$ 中的截面 $\tilde{\phi }(s)$ 使得 $\tilde{\phi }(s){\mid }_{U_i}=\phi (t_i)$. 不难发现这个截面在每一点 $x\in U$ 的芽为$$\tilde{\phi }(s{)}_x={\phi }_x(s(x))$$此处 ${\phi }_x:{\mathcal{F}}_x\to {\mathcal{G}}_x$ 为 $\phi$ 所诱导的茎间的态射, 这样就得到 ${\mathcal{F}}^{+}\to \mathcal{G}$ 的态射.

$\square$

注 2.1.17. 取层化这一步骤实际上给出了一个由预层范畴 $\mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 到层范畴 $\mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 的函子, 它是层范畴到预层范畴的嵌入函子的左伴随, 即$$(-{)}^{+}:\mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})\leftrightarrows \mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D}):\iota$$

例 2.1.18. 当取注记 2.1.8 所描述的预层 $\mathcal{F}$ 时, 所得到的 ${\mathcal{F}}^{+}$ 就是局部常值层.

因此, 我们可以通过层化把先前的像构成的预层变成层, 因此得到定义.

定义 2.1.19. 令 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层之间的态射. 则 $\phi$ 的像 $\mathrm{im}\phi$ 定义为预层 $(U\mapsto \mathrm{im}({\phi }_U))$ 的层化.
同理, 定义其 $\mathrm{coker}\phi$ 为预层 $(U\mapsto \mathrm{coker}({\phi }_U))$ 的层化.

由于 ${\mathcal{F}}_x^{+}={\mathcal{F}}_x$ 不难发现$$\begin{array}{rl}(\ker \phi {)}_x& \simeq \ker {\phi }_x\\ (\mathrm{im}\phi {)}_x& \simeq \mathrm{im}{\phi }_x\\ (\mathrm{coker}\phi {)}_x& \simeq \mathrm{coker}{\phi }_x\end{array}$$有了像的概念就可以定义满态射的概念, 即

定义 2.1.20. 设 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 为拓扑空间 $X$ 上的层,$\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 则若 $\mathrm{im}\phi \simeq \mathcal{G}$ 则称 $\phi$ 为满射.

命题 2.1.21. 设 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 为拓扑空间 $X$ 上的层,$\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 则以下三个条件等价

1.	$\phi$ 为单射/满射,
2.	对于每个 $x\in X$ 都有 ${\phi }_x$ 为单射/满射.

特别地, 若 $\phi$ 为单射时还等价于对于任意开子集 $U\subset X$ 都有 ${\phi }_U$ 为单射.

证明.

证明. 当 $\phi$ 为单射时, 有 $\ker \phi =0$, 因此此时 $\ker {\phi }_x=0$ 是显然的, 若有 $\ker {\phi }_x=0$ 根据注记 2.1.10 可知对应的层为单射.
当 $\phi$ 为满射时, 由定义可知 $\mathrm{im}\phi \simeq \mathcal{G}$, 因此 $\mathrm{im}{\phi }_x=(\mathrm{im}\phi {)}_x\simeq {\mathcal{G}}_x$ 因此可知 ${\phi }_x$ 为满射. 而后证明反向情况, 若 ${\phi }_x$ 均为满射可以得出 $(\mathrm{im}\phi {)}_x$ 为同构, 从而粘接得到对应层为满射.
接下来证明 $\phi$ 为单射当且仅当 ${\phi }_U$ 为单射, 由于 $\ker$ 定义可知 $\ker ({\phi }_U)=0$, 因此得到 ${\phi }_U$ 为单射, 另一方面, 若 ${\phi }_U$ 为单射, 由定义立知 $\phi$ 为单射.

$\square$

注 2.1.22. 回到前文的那个例子, 取 ${\underline{\mathbb{Z}}}_{X^{\mathrm{an}}}$ 为取值在整数的局部常值层, 则发现前文的映射其实为短正合列$$0\to {\underline{\mathbb{Z}}}_{X^{\mathrm{an}}}\stackrel{2\pi i}{\to }{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}\stackrel{\exp }{\to }{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }\to 1$$的一部分. (由于 ${\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times }$ 为乘法群层, 因此后面的 $1$ 其实为乘法幺元). 但是考虑算子 $\Gamma (X,-)$ 时$$0\to \Gamma (X,{\underline{\mathbb{Z}}}_{X^{\mathrm{an}}})\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}})\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\times })\to 1$$右半部分不再正合 (原因为前文例子).

层与 Abel 范畴

此外, 我们可以探讨层范畴 $\mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 何时是一个 Abel 范畴. 首先我们来说明预层上的情况.

命题 2.1.23. 设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 对于任意范畴 $I$, 函子范畴 ${\mathcal{A}}^I$ 是 Abel 范畴, 特别地, 取 $I=\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}$ 时可知预层范畴是一个 Abel 范畴.

在证明这一点之前我们先对于函子范畴 ${\mathcal{C}}^J$ 以及函子的保返生进行一些探讨.

定义 2.1.24. 给定 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 和函子 $\alpha :I\to \mathcal{C}$, 考虑锥范畴的函子 $(\alpha /\Delta )\to (F\alpha /\Delta )$.

•	称 $F$ 保此 $\mathrm{colim}$, 如果 $(\alpha /\Delta )\to (F\alpha /\Delta )$ 映始对象 (若存在) 为始对象.
•	称 $F$ 返此 $\mathrm{colim}$, 如果仅 $(\alpha /\Delta )$ 的始对象 (若存在) 才能被映为 $(F\alpha /\Delta )$ 的始对象.
•	称 $F$ 生此 $\mathrm{colim}$, 如果 ∘ 若 $\mathrm{colim}F\alpha$ 存在则 $\mathrm{colim}\alpha$ 存在; ∘ $F$ 保此 $\mathrm{colim}$, 返此 $\mathrm{colim}$. 对 $\lim$ 有相应的概念, 以 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 与 ${\mathcal{D}}^{\mathrm{op}}$ 代替 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 可以相互过渡.

定义 2.1.25. 设 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子, 若对任意态射 $f\in \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$, $f$ 为同构当且仅当 $Ff$ 为同构, 则称 $F$ 是保守的.

•

设 $J$ 为集合, $J$ 份 $\mathcal{C}$ 的积 ${\mathcal{C}}^J$ 定义为: $\mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^J)=\mathrm{Ob}(\mathcal{C}{)}^J$, $\mathrm{Mor}({\mathcal{C}}^J)=\mathrm{Mor}(\mathcal{C}{)}^J$, 对于每个 $j\in J$ 都有自明的投射函子 $p_j:{\mathcal{C}}^J\to \mathcal{C}$. 给定范畴 $I$ 和函子 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$, 若对每个 $j$ 都存在 $\mathrm{colim}(p_j\alpha )$, 则 $\mathrm{colim}\alpha$ 也存在, 其构造方式为 “逐点” 地取极限 $\mathrm{colim}\alpha =(\mathrm{colim}(p_j\alpha ){)}_{j\in J}$.

•

设 $J$ 为范畴, 对之可以考虑函子范畴 ${\mathcal{C}}^J$. 对每个 $j\in \mathrm{Ob}J$ 都有求值函子 ${\mathrm{ev}}_j:{\mathcal{C}}^J\to \mathcal{C}$, 映对象 $F$ 为 $Fj$, 映态射 $\phi =({\phi }_{j^{\prime }}{)}_{j^{\prime }\in \mathrm{Ob}J}$ 为 ${\phi }_j$. 稍后考虑形如 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$ 的函子及其 $\mathrm{colim}$; 注意到 $\alpha$ 可以视同函子 $I\times J\to \mathcal{C}$, 取值写作 $\alpha (i,j)$.

命题 2.1.26. 设 $J$ 与 $\mathcal{C}$ 为范畴.

1.	忘却函子 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^J\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{Ob}J}$ 生 $\mathrm{colim}$ 和 $\lim$.
2.	设 $I$ 为范畴, 而且所有始于 $I$ 的函子在 $\mathcal{C}$ 中皆有 $\mathrm{colim}$(或 $\lim$), 则所有形如 $I\to {\mathcal{C}}^J$ 的函子在 ${\mathcal{C}}^J$ 中也有 $\mathrm{colim}$(或 $\lim$).
3.	承上, 对每个 $j\in \mathrm{Ob}J$, 求值函子 ${\mathrm{ev}}_j:{\mathcal{C}}^J\to \mathcal{C}$ 保这些 $I$ 给出的 $\mathrm{colim}$(或 $\lim$); 换言之, ${\mathcal{C}}^J$ 中的极限也是逐点定义的.

证明.

证明. 考虑 $\mathrm{colim}$ 情形即可.

1.	选定 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$, 假设 $\mathrm{colim}F\alpha$ 存在, 由锥$$\left((X(j){)}_{j\in \mathrm{Ob}J},({\iota }_i=({\iota }_{i,j}{)}_{j\in \mathrm{Ob}J}{)}_{i\in \mathrm{Ob}I}\right)$$给出, 其中 ${\iota }_{i,j}:\alpha (i,j)\to X(j)$. 我们希望可以对其进行提升以得到 ${\mathcal{C}}^J$ 中的锥, 使之给出 $\mathrm{colim}\alpha$. 首先观察对所有 $j$ 都必有 $X(j)=\mathrm{colim}\alpha (-,j)$. 对于所有态射 $j\to j^{\prime }$, 极限的函子性给出唯一态射 $X(j\to j^{\prime }):X(j)\to X(j^{\prime })$ 使得下图交换依此将 $j\mapsto X(j)$ 提升为 $X:J\to \mathcal{C}$, 提升 ${\iota }_i:\alpha (i,-)\to X$ 为 ${\mathcal{C}}^J$ 的态射. 不难验证 $(X,({\iota }_i{)}_i)\in \mathrm{Ob}(\alpha /\Delta )$, 以下验证其为始对象. 由于 $\mathcal{F}$ 保守, 因此自然返 $\mathrm{colim}$. 给定 $(L,(f_i{)}_i)\in \mathrm{Ob}(\alpha /\Delta )$, 由 $\mathrm{colim}\mathcal{F}\alpha$ 的泛性质可以给出唯一的态射 $\phi =({\phi }_j{)}_j:\mathcal{F}X\to \mathcal{F}L$, 使得下图的三角部分对于所有 $(i,j)$ 交换: 若能说明方块对所有 $j\to j^{\prime }$ 都交换, 则 $\phi$ 升级为 $L\to X$. 外框的交换性是已知的, 从而$${\phi }_{j^{\prime }}X(j\to j^{\prime }){\iota }_{i,j}=L(j\to j^{\prime })f_{i,j}=L(j\to j^{\prime }){\phi }_j{\iota }_{i,j}$$对所有 $i$ 都成立; 始自 $X(j)$ 的态射由它和所有的 ${\iota }_{i,j}$ 的合成所确定, 故方块交换.
2.	考虑函子 $\alpha :I\to {\mathcal{C}}^J$ 可知 $\mathcal{F}\alpha :I\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{Ob}J}$ 具有 $\mathrm{colim}$, 它是逐点定义的. 而后用 1. 即可.
3.	由构造直接推知.

$\square$

命题2.1.23的证明.

命题 2.1.23 的证明. 逐点构造出 ${\mathcal{A}}^I$ 的有限积/余积, 核/余核. 态射的像/余像即可; 由于 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, 因此典范态射 $\mathrm{coim}\to \mathrm{im}$ 是严格态射.

$\square$

可以得知取值在 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的层范畴 $\mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{A})$ 是 Abel 范畴, 但它并不是 $\mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{A})$ 的 Abel 子范畴. 在后文我们将给出在景上的证明.
现在我们可以定义出层的同构

定义 2.1.27. 设 $\mathcal{F},\mathcal{G}\in \mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{A})$ 其中 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, 且 $f:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间的态射, 则若 $f$ 即单又满, 则 $f$ 为同构.

注 2.1.28. 根据命题 2.1.21 可知层间态射 $f$ 是否为同构完全由其限制在茎上确定.

前推层与拉回层

接下来说明两个关于层的操作, 分别称为前推层和拉回层, 它可以帮助我们去变换不同的拓扑空间.
现在考虑 $f:X\to Y$ 为拓扑空间之间的连续映射, 我们想定义出两种操作, 一种是把 $X$ 上的层推到 $Y$ 上, 而另一种是把 $Y$ 上的层拉回到 $X$ 上, 这样才方便我们比较不同拓扑空间上的层.

定义 2.1.29 (前推预层). 设 $X,Y$ 为拓扑空间,$\mathcal{D}$ 为完备且余完备的范畴, $\mathcal{F}\in \mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 为 $\mathcal{D}$-值预层, $f:X\to Y$ 为连续映射, 可以得到其对应的连续函子 $\mathrm{Open}(Y)\to \mathrm{Open}(X)$, 它把 $U\in \mathrm{Open}(Y)$ 映为 $f^{-1}(U)\in \mathrm{Open}(X)$, 此处将连续函子视同函子 $K:\mathrm{Open}(Y{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}$. 称 $K^{\ast }:\mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})\to \mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})$ 为 $\mathcal{D}$-值预层范畴的前推函子它将预层 $\mathcal{F}\in \mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})$ 映为 $Y$ 上的预层$$K^{\ast }\mathcal{F}:V\mapsto \mathcal{F}(f^{-1}V)$$此时 $K^{\ast }\mathcal{F}$ 一般记为 $f_{\ast }\mathcal{F}$ 称为 $\mathcal{F}$ 关于 $f$ 的前推预层.

不难发现前推预层的定义可以毫无困难地延拓到层的情况上, 此时称为前推层. 既然有前推, 我们还希望定义一个拉回的操作, 定义它的方式是 Kan 扩张 (但是显然 Kan 延拓这个名字更为贴切, 本文使用 Kan 延拓这一术语), 首先我们在预层上定义它.

定义 2.1.30 (拉回预层). 设 $X,Y$ 为拓扑空间,$\mathcal{D}$ 为完备且余完备的范畴, $f:X\to Y$ 为连续映射, 可以得到函子 $K:\mathrm{Open}(Y{)}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}$. 设 $\mathcal{G}\in \mathrm{PSh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})$ 为 $Y$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层, 而后考虑 $\mathcal{G}$ 沿 $K$ 的左 Kan 延拓, 以 2-胞腔图解为称 ${\mathrm{Lan}}_K\mathcal{G}$ 为 $\mathcal{G}$ 沿 $f$ 的拉回预层, 在代数几何语境下称为逆像, 简记为 $f^{-1}\mathcal{G}$⁷, 在非代数几何的语境下记为 $f^{\ast }\mathcal{G}$. 具体写出即为$$f^{-1}\mathcal{G}:U\mapsto \underset{V\in \mathrm{Open}(Y),U\hookrightarrow f^{-1}V}{\mathrm{colim}}\mathcal{G}(V)$$这是因为$$U\hookrightarrow f^{-1}V\stackrel{\text{对应}}{\leftrightarrow }\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}}\text{的态射}K(V)\to U.$$

在上文中取 $\mathcal{G}\in \mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})$, 再对 $f^{-1}\mathcal{G}$ 进行层化得到的层称为 $\mathcal{G}$ 对 $f$ 的拉回层.

命题 2.1.31. 前推层为拉回层的右伴随, 即$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(X),\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Sh}(\mathrm{Open}(Y),\mathcal{D})}(\mathcal{G},f_{\ast }\mathcal{F})$$

证明. 由 Kan 扩张即知预层上的伴随关系, 同理即可得到层上的情况.

$\square$

由于 $\mathrm{Ab}$ 为完备且余完备范畴, 因此取 $\mathcal{D}=\mathrm{Ab}$ 即可得到 Abel 群层上的情况, 接下来我们所讨论的主题仍然是 Abel 群层的情况.

注 2.1.32.

•	一般情况下 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{f(x)}\ne {\mathcal{F}}_x$, 比如说考虑 $f$ 为常值映射时不成立. 但是存在典范同态 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{f(x)}\to {\mathcal{F}}_x$, 对于 $f(x)\in V$,$s\in \mathcal{F}(f^{-1}(V))$ 有 $x\in f^{-1}(V)$, 因此可取 $s_x\in {\mathcal{F}}_x$, 只需要验证这些操作不依赖于芽的选取即可, 这是简单的.
•	拉回层中层化一步骤是必要的, 比如说取 $f(x)=y$ 为常值映射, 任取非空开集 $U$ 得到 $f^{-1}\mathcal{G}(U)=\underset{y\in V}{\mathrm{colim}}(\mathcal{G}(V))$, 于是得到常值预层, 需要进行层化.
•	$(f^{-1}\mathcal{G}{)}_x={\mathcal{G}}_{f(x)}$.
•	若 $\iota :Z\to X$ 为子空间的嵌入映射, $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的层, 可以定义 $\mathcal{F}{\mid }_Z:={\iota }^{-1}\mathcal{F}$. 这是限制在开集上的推广.

层的粘合

(待撰写)

习题

约定. 若不加说明, 习题中选定层为 Abel 群层, 且拓扑空间为 $X$.

练习 2.1.33. 证明层间态射构成的序列 $\cdots \to {\mathcal{F}}^{i-1}\stackrel{{\phi }^{i-1}}{\to }{\mathcal{F}}^i\stackrel{{\phi }^i}{\to }{\mathcal{F}}^{i+1}\to \cdots$ 是正合的当且仅当对于每个 $P\in X$ 都有对应的茎上的 Abel 群构成的序列是正合的.

练习 2.1.34. 对于 Abel 群层 $\mathcal{F}$, 其子层 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 为对于任意 $U\subset X$ 都有 ${\mathcal{F}}^{\prime }(U)\subset \mathcal{F}(U)$ , 并且限制映射来源于 $\mathcal{F}$ 的限制映射的层.

1.	令 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为预层间的态射且 $\phi (U):\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)$ 对于每个 $U$ 均为单射. 试说明其诱导出的态射 ${\phi }^{+}:{\mathcal{F}}^{+}\to {\mathcal{G}}^{+}$ 也是单射.
2.	利用上一点说明若 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为层间态射, 则 $\mathrm{im}(\phi )$ 可以自然视为 $\mathcal{G}$ 的子层.

练习 2.1.35. 给定任意开子集 $U\subset X$, 说明函子 $\Gamma (U,-):\mathrm{Sh}(X)\to \mathsf{Ab}$ 为 左正合函子. 它不一定是正合的.

练习 2.1.36 (松层). 令 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{F}$ 为其上的 Abel 群层, 若对于 $V\subset U$ 为开子集, 限制映射 $\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V)$ 为满射, 则称 $X$ 是松 (flasque) 的

1.	证明不可约空间上的常值层是松层.
2.	若 $0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0$ 为层的正合列, 且若 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 是松层, 则对于任意开集 $U$, 序列 $0\to {\mathcal{F}}^{\prime }(U)\to \mathcal{F}(U)\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }(U)\to 0$ 为 Abel 群的正合列.
3.	若 $0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0$ 为层的正合列, 且若 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 和 $\mathcal{F}$ 是松层, 则 ${\mathcal{F}}^{\prime \prime }$ 是松的.
4.	若 $f:X\to Y$ 为连续映射, 且 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的松层则 $f_{\ast }\mathcal{F}$ 为 $Y$ 上的松层.

2.2景与层, 意象 (*)

注 2.2.1. 本部分内容为选读, 建议读者在接触了概形态射性质后再回来阅读.

景

首先, 我们发现拓扑空间 $X$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层不过是范畴 $\mathrm{Open}(X)$ 到 $\mathcal{D}$ 的反变函子, 其预层范畴也不过是函子范畴 $\mathrm{Fun}(\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}},\mathcal{D})$, 我们可以很自然地将这个定义推广到一般的范畴上, 因为预层本身只是一个反变函子.

定义 2.2.2 (范畴上的预层). 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 上取值于 $\mathcal{D}$ 的预层就是一个函子$$\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$$也即 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的一个反变函子. $\mathcal{D}$-值预层所构成的范畴记为 $\mathrm{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, 特别地, 当 $\mathcal{D}$ 取集合范畴 $\mathrm{Set}$ 时, 所得到的预层范畴简记为 ${\mathcal{C}}^{\wedge }$.

但是拓扑空间上的层的定义 (定义 2.1.6) 有赖于拓扑空间中的信息, 接下来我们观察它具体依赖于哪些拓扑空间中的信息, 而后将其推广到一般的范畴上.
不难发现, 拓扑空间上的层的定义只依赖于等子图表$$\mathcal{F}(U)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{j,k\in I}\mathcal{F}(U_j\cap U_k)$$也就是说它只于覆盖有关, 在推广层的定义时我们应当把覆盖的定义一同进行推广. 首先对于覆盖进行一些观察, 设 $U\subset X$ 为开集,$(U_i\to U)$ 为 $U$ 的任意一族覆盖, 则

自身作为覆盖	$U$ 自己就是 $U$ 的覆盖.
覆盖可以进行加细	取定覆盖 $(U_i\to U)$ 并且对每个 $i$ 都有 $(U_{ij}\to U_i)$ 为 $U_i$ 的覆盖, 则 $(U_{ij}\to U{)}_{ij}$ 为 $U$ 的覆盖.
原像作为覆盖	取定拓扑空间 $W$ 以及连续映射 $f:W\to U$, 则 $(f^{-1}(U_i)\to W)$ 构成 $W$ 的覆盖.

而在范畴 $\mathcal{C}$ 中, 一个覆盖就是一族态射 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$(不强制要求为单), 利用范畴论的哲学原理, 我们利用同构来代替严格等式, 即同构可以作为覆盖, 并且利用态射复合来描述加细, 即覆盖的复合可以作为覆盖, 这样我们只剩下处理原像作为覆盖一条. 但是回忆到在同调代数中对于子对象的原像具有如下定义

定义 2.2.3 (子对象的像和原像). 设 $\mathcal{C}$ 为使得所论拉回与像皆存在的范畴, $f:X\to Y$ 为态射, 有子对象 $X^{\prime }\hookrightarrow X,Y^{\prime }\hookrightarrow Y$, 记$$f^{-1}(Y^{\prime }):=X\underset{Y}{\times }{Y}^{\prime },f(X^{\prime }):=\mathrm{im}\left[X^{\prime }\hookrightarrow X\stackrel{f}{\to }Y\right]$$它们分别是 $X$ 和 $Y$ 的子对象. 这给出双向保序映射 ${\mathrm{Sub}}_X\underset{f(-)}{\stackrel{f^{-1}(-)}{\leftrightarrows }}{\mathrm{Sub}}_Y$, 其中 $({\mathrm{Sub}}_X,\subset )$ 为子对象.

当我们将一族态射 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 视为覆盖时, 每个 $U_i$ 都可以通过 $U_i\to U$ 视为 $U$ 的子对象, 因此可以顺理成章的将原像的定义推广至指定了覆盖的一般范畴上. 这一推广我们称为景.

定义 2.2.4 (覆盖定义景). 景是二元组 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 是由形如下式的元素构成的类: $$\{U_i\to U{\}}_{i\in I},U_i,U\in \mathrm{Ob}\mathcal{C},$$其中 $I$ 是集合, $U_i$, $U$ 是 $\mathcal{C}中对象$. 满足下述条件:

•	对同构 $V\to U$, $\{V\to U\}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

•	如果 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 且对每个 $i\in I$, 有 $\{U_{ij}\to U_i{\}}_{j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 那么 $\{U_{ij}\to U{\}}_{i\in I,j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

•	对 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 以及任意映射 $V\to U$, 有纤维积 $U_i{\times }_{U}V$ 存在, 且 $\{U_i{\times }_{U}V\to V{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

在不引起歧义的情况下, 将此二元组简记为 $\mathcal{C}$.

注 2.2.5. 由以上讨论, 我们将 $\mathcal{C}$ 中对象称为开集, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 中元素称为覆盖.

这样我们就将拓扑空间推广到了具有足够的极限 (即定义中极限均存在) 的范畴上 (但这只是基于层论的推广, 而且并没有到达尽头, 我们还可以再做一次推广, 即为意象).
但是这个定义还不够广, 对于不存在足够极限的范畴我们不能谈论景这一概念, 这个时候就需要引入筛来代替纤维积作为原像.

定义-命题 2.2.6 (筛). 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $S\in \mathcal{C}$ 为对象, 以下条件等价:

1.	$\mathcal{U}$ 为 Yoneda 函子 $h_S$8的子函子.
2.	$\mathcal{U}$ 是俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/S}$9的全子范畴 $\mathcal{D}$, 使得对俯范畴中的任意态射 $Y\to X$, $X\in \mathcal{D}$ 都有 $Y\in \mathcal{D}$.

此时称 $\mathcal{U}$ 为 $S$ 上的筛 (sieve).

注 2.2.7. 在不产生歧义的情况下, 也写 $\mathcal{U}$ 为 $U$.

证明. 不难发现 $\mathcal{U}\subset h_S$ 对应于全子范畴$$\{f:X\to S:f\in \mathcal{U}(X)\subset h_S(X)\}.$$若 $f\in \mathcal{U}(X)$(即 $X\in \mathcal{D}$) 则对于俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/S}$ 中的态射 $g:Y\to X$, 因 $\mathcal{U}$ 为函子 $f\circ g\in \mathcal{U}(Y)$(即 $Y\in \mathcal{D}$). 反向的验证也是容易的, 因此两定义等价.

$\square$

注 2.2.8 (筛的直观). 在现实生活中, 筛是一种能把大的东西挡住, 让小的东西通过的一种工具. 现在, 想象 $\mathcal{U}$ 中的元素为可以 “通过”$U$ 的箭头. 若 $X\stackrel{f}{\to }S$ 可以通过则 $Y\stackrel{g}{\to }X\stackrel{f}{\to }S$ 比 $X\stackrel{f}{\to }S$ 更小, 因此可以通过 $\mathcal{U}$, 即 $f\circ g\in \mathcal{U}$(如左图所示). 而 $h_S$ 的元素不一定能通过 $\mathcal{U}$(如右图所示).

例 2.2.9 (覆盖产生筛). 设 $X$ 为拓扑空间,$\{U_i{\}}_{i\in I}$ 为开集 $V$ 的一个开覆盖. 那么$$\{W\hookrightarrow V:\exists i\in I,W\hookrightarrow U_i\},$$构成 $\mathrm{Open}(X)$ 中 $V$ 上的一个筛. 直观上看每个 $U_i$ 都是筛上的一个 “洞”, 比它小的对象均能 “通过” 筛.

通过这一点直观, 可以试着利用覆盖产生的筛来推广拓扑空间, 即构造出景.

定义 2.2.10 (用筛定义的景). 一个景 ${\mathcal{C}}_{\mathcal{T}}$ 是二元组 $(\mathcal{C},\mathcal{T})$, 其中 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\mathcal{T}$ 对每个 $S\in \mathcal{C}$ 指定一族筛 (称为 $S$ 的覆盖筛), 满足下述条件:

1.	(同构作为筛) $h_S\in \mathcal{T}(S)$.
2.	(在基变换下不变) 对所有的 $f:T\to S$, 若存在 $\mathcal{U}\in \mathcal{T}(S)$, 则其沿着 $S$ 的拉回 $f^{\ast }\mathcal{U}\in \mathcal{T}(T)$.
3.	(筛的复合仍为筛) $\mathcal{V}\in \mathcal{T}(S)$, $\mathcal{U}\subset h_S$ 满足对任意 $\mathcal{V}$ 中 $g:T\to S$, 都有 $g^{\ast }\mathcal{U}\in \mathcal{T}(T)$, 则 $\mathcal{U}\in \mathcal{T}(S)$.

拉回定义为 $f^{\ast }\mathcal{U}:=\mathcal{U}\underset{h_S}{\times }{h}_T=\{X\to T:X\to T\stackrel{f}{\to }S\in \mathcal{U}\}$.

注 2.2.11. 此时也称 ${\mathcal{C}}_{\mathcal{T}}$ 是带有 Grothendieck 拓扑的范畴.

注 2.2.12 (覆盖生成覆盖筛). 令 $(f_i:U_i\to S)$ 为一族 $\mathcal{C}$ 中的态射.
$U\subset h_S$ 定义为包含 $f_i$ 的最小的筛, 即 ${\bigcup }_i\mathrm{im}(h_{U_i}\to h_S)$, 其中每个 $\mathrm{im}(h_{U_i}\to h_S)$ 为 $\{f_i\circ g:\forall T\in \mathcal{C},T\stackrel{g}{\to }{U}_i\}$. 特别地,$h_S$ 被 ${\mathrm{id}}_S$ 所生成. 在这个意义下用覆盖定义的景 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$ 与用筛定义的景 ${\mathcal{C}}_{\mathcal{T}}$ 是一致的.

在给出覆盖筛定义后, 可以给出局部满以及局部同构概念.

定义 2.2.13 (局部满/单/同构态射). 设 $\mathcal{C}$ 为景

1.	${\mathcal{C}}^{\wedge }$ 的态射 $A\to U$ 若具有如下定义的 $U$ 上的筛 $S_A$ $$(V\to U)\in S_A\iff (V\to U)\text{可分解为}V\to A\to U$$为覆盖筛, 则称这个态射是局部满的.
2.	${\mathcal{C}}^{\wedge }$ 的态射 $A\to B$ 若对于任意 $V\in \mathcal{C}$ 以及任意态射 $V\to B$, 有 $A\underset{B}{\times }V\to V$ 为局部满的则称 $A\to B$ 局部满态射.
3.	若 $A\to A\underset{B}{\times }A$ 是局部满的, 则称 $u:A\to B$ 为局部单的.
4.	若 $u:A\to B$ 局部单且局部满则称 $u$ 是局部同构.

在平展上同调中, 所使用的景基本为使用覆盖所定义的. 接下来考虑一些景的例子.

例 2.2.14.

1.	令 $\mathcal{C}$ 为范畴,$\mathcal{T}(S)=\{h_S\}$, 称为混沌景, 记为 ${\mathcal{C}}_{\mathrm{chaos}}$, 此时其上所有的预层都是层.
2.	$(X,\mathcal{T})$ 为拓扑空间, 取 $\mathcal{C}=\mathrm{Open}(X)$, 覆盖取为 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$ 满足 $U={\bigcup }_i{U}_i$.
3.	$G$ 为一个群, $\mathcal{C}=G\text{-}\mathsf{Set}$, 覆盖取为 $(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$ 满足 $X={\bigcup }_i{f}_i(U_i)$.
4.	$S$ 为一个概形, 取 $\mathcal{C}={\mathrm{Sch}}_{/S}$. 若 $(\mathcal{P})$ 为某个态射性质, 使得 $(\mathcal{P})$ 是 1. 所有的同构保持 $(\mathcal{P})$. 2. 在基变换下稳定. 3. 在复合下稳定. 比如说 $\text{开浸入}\subset \text{平展}\subset \text{光滑}\subset \text{fppf:忠实平坦局部有限展示态射}$. 则覆盖 $(f_i:T_i\to T{)}_{i\in I}$ 使得 $f_i$ 满足 $(\mathcal{P})$ 且 $|T|={\bigcup }_{i\in I}{f}_i(|T_i|)$($|\cdot |$ 表示底拓扑空间) 定义了一个景$$\mathcal{T}\in \{\text{Zariski},\text{平展},\text{光滑},\text{fppf}\},$$$\mathcal{T}$-覆盖定义了 $({\mathrm{Sch}}_{/S}{)}_{\mathcal{T}}$.

注 2.2.15 (概形上的各种景). 接续上例的 4., 在此处给出定义 (均设 $X$ 为概形). 有时也说概形上的各种景就是各种拓扑.

1.	Zariski 景 定义 2.2.16 (Zariski 景). 1. $X$ 上的大 Zariski 景 ${\mathrm{Sch}}_{/X,\mathrm{Zariski}}$ 定义为俯范畴 ${\mathrm{Sch}}_{/X}$, 其中覆盖为 $(f_i:U_i\to U{)}_{i\in I}$, 其中诸 $f_i$ 为开浸入, 且 ${⨆}_{i\in I}{U}_i\to U$ 为满射. 2. $X$ 上的小 Zariski 景 $X_{\mathrm{Zariski}}$ 为大 Zariski 景 ${\mathrm{Sch}}_{/X,\mathrm{Zariski}}$ 中由所有开浸入 $U\to X$ 构成的全子范畴, 开覆盖的定义同上.
2.	Nisnevich 景, 这是一种介于 Zariski 景和平展景之间的景, 主要用于母题同伦论, 在此只做略微介绍 定义 2.2.17 (Nisnevich 覆盖). 称一族概形态射 $(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$ 为 Nisnevich 覆盖, 若其满足以下条件: 1. 诸 $f_i$ 为平展态射. 2. 对每个点 $x\in X$, 存在 $i\in I$ 以及 $u\in U_i$ 使得 $f_i(u)=x$, 且 $f_i$ 诱导 $u,x$ 在剩余域的同构. 1. $X$ 上的大 Nisnevich 景 ${\mathrm{Sch}}_{/X,\mathrm{Nis}}$ 定义为俯范畴 ${\mathrm{Sch}}_{/X}$, 其中覆盖为 Nisnevich 覆盖. 2. $X$ 上的小 Nisnevich 景 $X_{\mathrm{Nis}}$ 定义为 $X$ 上平展的概形所构成的范畴, 其中覆盖为 Nisnevich 覆盖.
3.	平展景, 将 Zariski 景的定义中开浸入改成平展态射即可, 大平展景记为 ${\mathrm{Sch}}_{/X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$, 小平展景记为 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$.
4.	光滑景, 将 Zariski 景定义中开浸入改成光滑态射即可, 大光滑景记为 ${\mathrm{Sch}}_{/X,\mathrm{smo}}$, 小光滑景记为 $X_{\mathrm{smo}}$.
5.	fppf 景 10 定义 2.2.18 (大 fppf 景). $X$ 上的大 fppf 景为 ∘ 对象: 所有局部有限展示态射 $Y\to X$. ∘ 态射: 与 $X$-概形相容的态射. ∘ 覆盖为以下两类覆盖的复合 ▪ Zariski 拓扑下的覆盖 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ ▪ 平坦, 满, 有限展示态射 $V\to U$. $X$ 上的小 fppf 景, 简称 fppf 景为由所有平坦, 有限展示态射构成的子景, 记为 $X_{\mathrm{fppf}}$.

这些景由粗到细排列为: $$\text{Zariski景}\subset \text{Nisnevich景}\subset \text{平展景}\subset \text{光滑景}\subset \text{fppf景}\subset \text{fpqc景(见后文)}.$$小景经常被设想为拓扑空间的类似物, 而大景一般被视为给定一个拓扑空间, 其上的拓扑空间与连续映射构成的范畴的类似物.

引理 2.2.19 (有限性约化). 对于 $\mathcal{T}\in \{\text{Zariski},\text{Nisnevich},\text{平展},\text{光滑},\text{fppf}\}$, $T\in {\mathrm{Sch}}_{/S}$ 仿射,$(f_i:T_i\to T{)}_{i\in I}$ 是一个 $\mathcal{T}$-覆盖. 则存在一个 (有限)$\mathcal{T}$-覆盖 $(U_j\to T{)}_{1\le j\le m}$ 使得每个 $U_j$ 在某个 $T_i$ 下都是仿射开的.

证明. 由于包含关系, 只需要证明 fppf 的情况.
根据 [StacksProject][021P] 可知平坦且局部有限展示态射是泛开的即 $f_i$ 是开的, 因此取 $(U_{ik}\to T_i{)}_k$ 为 $T_i$ 的仿射开覆盖, 可知 $f_i(U_{ik}$ 在 $T_i$ 中是开的. 因此 $T={\bigcup }_{ik}{f}_i(U_{ik})$, 由拟紧性可以取出有限子覆盖 $T={\bigcup }_{j=1}^m{f}_{i_j}(U_j)$.

$\square$

因此当底概形 (指 $T$) 是仿射的时候, 任意覆盖总是可以加细成有限个覆盖. 但是对于一般的平坦态射却不一定成立, 所以接下来考虑满足这些性质的平坦态射, 即 fpqc 态射:

定义 2.2.20 (fpqc 态射). ¹¹令 $T\in {\mathrm{Sch}}_{/S}$, $T$ 的一个 fpqc 覆盖是一族态射 $(f_i:T_i\to T{)}_{i\in I}$ 满足

1.	每个 $f_i$ 都是平坦的, $|T|={\bigcup }_i{f}_i(|T_i|)$.
2.	对于 $T$ 的任意一个仿射开集 $U$, 存在 $i_1,\cdots ,i_m\in I$ 以及仿射开集 $U_j\subset T_{i_j}$ 使得 $U={\bigcup }_{j=1}^m{f}_{i_j}(U_j)$(这等价于说,$⨆f_i:⨆T_i\to T$, 是平坦, 满射, 拟紧的).

我们下面说明 fpqc 态射也给出景.

定义-命题 2.2.21 (fpqc 景). fpqc 态射定义了一个景 ${\mathrm{Sch}}_{/S,\mathrm{fpqc}}$

证明. 依照定义 2.2.4 的方式进行逐步验证即可.

1.	同构显然构成覆盖.
2.	假定 $(f_i:T_i\to T)$ 是 fpqc 覆盖, 任给 $S$-态射 $T^{\prime }\to T$. 现在证明基变换后仍是 fpqc 覆盖. 由于都是局部性质, 因此只需要取 $U^{\prime }\subset T^{\prime }$ 为仿射开集使得存在 $U\subset T$ 为仿射开集, $U^{\prime }\to U$. 则存在 $i_1,\cdots ,i_m\in I$, $U_j\in T_{i_j}$ 为仿射开集使得对任意 $1\le j\le m$ 都有 $U={\bigcup }_j{f}_{i_j}(U_j)$. 此时 $U^{\prime }$, $U$, $U_j$ 均为仿射开集, 因此 $U^{\prime }\underset{U}{\times }{U}_j\subset T^{\prime }\underset{T}{\times }{T}_{i_j}$ 为仿射开集, 沿第一个分量投影得到 ${\bigcup }_j{\mathbf{pr}}_1(U^{\prime }\underset{U}{\times }{U}_j)=U^{\prime }$ 而 $T^{\prime }$ 可以被这样的 $U^{\prime }$ 所覆盖, 此外由于基变换保持平坦性, 因此 $(T^{\prime }\underset{T}{\times }{T}_i\to T^{\prime }{)}_{i\in I}$ 是 fpqc 覆盖.
3.	假定 $(f_i:T_i\to T{)}_{i\in I}$ 是 fpqc 覆盖且对于每个 $i\in I$ 都有 $(f_{ij}:T_{ij}\to T_i{)}_{j\in J}$. 令 $U\subset T$ 为仿射开集, 存在 $i_1,\cdots ,i_m\in I$ 以及仿射开集 $U_k\subset T_{i_k}$ 使得 $U={\bigcup }_{k\in I}{f}_{i_k}(U_k)$ 而 $U_k$ 可以写为 $U_{kh}\subset T_{i_k{j}_h}$ 的像的并集, 因此 $U={\bigcup }_{k,h}{f}_{i_k{j}_h}(U_{kh})$, 并且由于复合保持平坦性, 因此 $(T_{ij}\to T{)}_{i\in I}$ 是 fpqc 覆盖.

$\square$

例 2.2.22 (单个箭头给出的 fpqc 覆盖). $(f:T^{\prime }\to T)$ 为 fpqc 覆盖当且仅当其平坦仿射拟紧.

此外, 概形上还有 Pro-平展景, 这将是外篇某一节的主题, 在此讲述其定义.

定义 2.2.23 (Pro-平展景).

1.	概形间的态射 $f:Y\to X$ 若平坦且 ${\Delta }_f:Y\to Y\underset{X}{\times }Y$ 也是平坦的, 则称其为弱平展的.
2.	由弱平展 $X$-概形配上 fpqc 覆盖构成的景称为 pro-平展景.

脚注

1.	^ 另一条路径自然是拓扑代数理论.
2.	^ 我们将会使用更为抽象的语言去描述它以便于读者观察我们该如何对其进行推广.
3.	^ 抄的预层的代码.
4.	^ 一个方向是显然的, 另一个方向利用层公理粘接即可.
5.	^ 你猜我为什么写一半换节.
6.	^ 我们希望我们定义的函数在很小很小的局部是由原来的预层所给出的.
7.	^ 在模层情况下拉回为 $f^{\ast }\mathcal{G}$, 为避免冲突使用 $f^{-1}\mathcal{G}$
8.	^ 见 [李文威卷一]$\S$2.5, 定理 2.5.1
9.	^ [李文威卷一] 中逗号范畴中 $(\mathrm{id}/S)$ 的情况
10.	^ 源于法语:fidèlement plat de présentation finie
11.	^ 源于法语:fidèlement plat et quasi-compact