36. 层论—“下降”

本节来讲述何谓下降.

36.1粘接性的本质

一切起源于我们想对于由筛所定义的景 (定义 2.2.10) 来定义层这一概念. 为在由筛所定义的景 $(\mathcal{C},J)$ 上给出层的定义, 我们先倒退回拓扑空间的情况, 先令 $X$ 为拓扑空间, 先试着在这上面定义出由筛所定义出的层. 考虑 $U_1,U_2\subseteq X$ 为开集, 由于拓扑空间是位象, 因此拉回图表同样也是推出图表, 由于我们需要在筛上定义出层, 因此需要将上述图表转化到预层范畴中去, 即考虑 Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\to \mathrm{Fun}(\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),X\mapsto h_X$, 得到图表但是此时需要注意到一个问题: Yoneda 函子保极限但不一定保余极限. 因此上述图表是拉回而非推出. 现在考虑推出 $y(U_1)\bigsqcup _{y(U_1\cap U_2)}y(U_2)$, 由推出以及 Yoneda 嵌入的定义我们可以知道这是 $y(U_1)$ 和 $y(U_2)$ 的信息沿着 $y(U_1\cap U_2)$ 进行粘接后的结果. 那么对于预层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Fun}(\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$, $\mathrm{Hom}(y(U_1)\bigsqcup _{y(U_1\cap U_2)}y(U_2),\mathcal{F})$ 给出 $\mathcal{F}(U_1)$ 与 $\mathcal{F}(U_2)$ 在 $\mathcal{F}(U_1\cap U_2)$ 中进行粘接后的信息. 那么该如何看出这一点呢? 考虑 $\mathbf{U}=y(U_1)\bigsqcup y(U_2)$, 那么上述图表可以转化为不难发现此时 $\mathbf{U}\underset{y(V)}{\times }\mathbf{U}$ 即为 $y(U_1)\underset{y(V)}{\times }y(U_2)\simeq y(U_1\cap U_2)$. 那么刚刚的推出事实上转化为该图表的余极限, 即余等子, 记为 $\mathrm{Sieve}(U_1,U_2)$. 那么根据 Yoneda 引理, 考虑预层 $\mathcal{F}$, 有$$\mathrm{Hom}(\mathrm{Sieve}(U_1,U_2),\mathcal{F})\simeq \ker \left(\mathcal{F}(U_1)\times \mathcal{F}(U_2)\mathcal{F}(U_1\cap U_2)\right)$$因此若 $\mathcal{F}$ 为层, 则 $\mathrm{Hom}(\mathrm{Sieve}(U_1,U_2),\mathcal{F})\simeq \mathrm{Hom}(y(V),\mathcal{F})\simeq \mathcal{F}(V)$. 这说明 $\mathrm{Sieve}(U_1,U_2)$ 确实给出了粘接性. 而可以沿着 $U_1,U_2$ 粘接为 $V$ 的预层 $\mathcal{F}$ 其实就是在说其视角下 (即 $\mathrm{Hom}(-,\mathcal{F})$ 下) 图表既是拉回又是推出. 不难发现我们可以考虑多个对象的交, 即 $U_1\cap U_2\cap U_3$, $U_1\cap U_2\cap U_3\cap U_4$, $\cdots$, 那么对于覆盖 $(U_i\to X{)}_{i\in I}$, 令 $U={\coprod }_{i\in I}{U}_i$, 则可以给出一串序列$$\check{C}(U\to X)=(\cdots U\underset{X}{\times }U\underset{X}{\times }UU\underset{X}{\times }UU).$$我们将这一串序列称为 Čech 脉. 它当然可以推广到一般的范畴上, 因此得到定义

定义 36.1.1 (Čech 脉). 在具有拉回的范畴 $\mathcal{C}$ 中, 态射 $U\to X$ 的 Čech 脉定义为 $\mathcal{C}$ 的单纯对象$$\check{C}(U\to X)=(\cdots U\underset{X}{\times }U\underset{X}{\times }UU\underset{X}{\times }UU).$$

不难发现在前文中我们考虑的是预层范畴 $\mathrm{Fun}(\mathrm{Open}(X{)}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 在态射 $\mathbf{U}\to y(V)$ 的 Čech 脉. 不妨将拉回视为交, 因此 Čech 脉相当于在说从 $1$ 个对象的交 (即自身) 到任意多个对象的交. 而在 $1$-范畴上, 只需考虑其 $1$-截断就完全足够. 在高阶范畴中, 就需要考虑更多的交, 比如说在 $2$-范畴中, 就需要考虑 $U\underset{X}{\times }U\underset{X}{\times }U$, 这将在后文叠的定义中进行详细介绍. 至于考虑整个 Čech 脉, 就是在定义 $(\infty ,1)$-范畴上的层的时候用到.

下降信息

言归正传, 我们现在来考虑如何在筛定义出的景上定义层这一概念, 这套操作在高阶范畴上也是一样的. 我们先从筛上定义出粘接性, 此时我们将粘接性称为下降. 我们不妨进行如下比喻: 将范畴 $\mathcal{C}$ 比作群岛而将 $\mathsf{Set}$ 视为太空, 预层 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 就是天空上的云. 而在对于没有足够极限的范畴, 如果我们想在其上定义出覆盖这一概念, 就需要将其放在云层之中—即预层范畴中. 那么此时筛就相当于一些乌云. 接下来我们揭示下降是什么, 或者说在满足什么条件下预层 $\mathcal{F}$ 可以沿着某个筛进行粘接. 对于 $U\in \mathcal{C}$, 利用筛的定义 (定义 2.2.6) 的第二条将筛 $\mathcal{U}$ 视为俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/U}$ 的全子范畴. 根据前文讨论, 我们知道 $\mathcal{F}(U)\simeq \mathrm{Hom}(\underset{V\in {\mathcal{U}}^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}y(V),\mathcal{F})$ 时 $\mathcal{F}$ 可以沿着筛中的全体态射进行粘接, 从而 “下降” 到 $U$ 上 (类比降雨). 因此将粘接性称为下降. 因而其满足的条件就被称为下降信息, 为方便书写, 我们直接写为 Yoneda 引理处理过后的版本:

定义 36.1.2 (下降). 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\mathcal{D}$ 为完备范畴, $U\in \mathcal{C}$ 为对象, $\mathcal{F}$ 为 $\mathcal{D}$-值预层. 将筛 $\mathcal{U}$ 视为俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/U}$ 的全子范畴. 则

1.	预层 $\mathcal{F}$ 关于筛 $\mathcal{U}$ 的下降信息是指极限$$\mathrm{Desc}(\mathcal{U},\mathcal{F}):=\underset{V\in {\mathcal{U}}^{\mathrm{op}}}{\lim }\mathcal{F}(V).$$
2.	称预层 $\mathcal{F}$ 可沿着筛 $\mathcal{U}$ 下降是指有同构$$\mathcal{F}(U)\simeq \mathrm{Desc}(\mathcal{U},\mathcal{F}).$$
3.	称 $\mathcal{F}$ 关于筛 $\mathcal{U}$ 满足万有下降是指对于任意 $\mathcal{U}$ 的拉回均可沿其下降.

由此不难归结出层条件:

定义 36.1.3 (层). 令 $(\mathcal{C},J)$ 为由筛定义的景, 则其上预层 $\mathcal{F}$ 被称为层是指其对于任意覆盖筛均可下降.

不难给出由覆盖所定义的景上的层条件:

定义 36.1.4. 设 $\mathcal{C}$ 是由覆盖定义的景, $\mathcal{D}$ 是范畴, 设 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{C}$ 上的取值于 $\mathcal{D}$ 的预层. 满足如下条件的预层 $\mathcal{F}$ 被称为层: 对任意对象 $U\in \mathcal{C}$, 以及 $U$ 的任意覆盖 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$, 图表$$\mathcal{F}(U)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{j,k\in I}\mathcal{F}(U_j\underset{U}{\times }{U}_k)$$都是等子图表, 其中

•	左边的箭头将 $\mathcal{F}(U)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i)$.
•	右边上方的箭头由投影 $U_i\underset{U}{\times }{U}_k\to U_i$ 诱导.
•	右边下方的箭头由投影 $U_j\underset{U}{\times }{U}_i\to U_i$ 诱导.

此图表称为层公理.

练习 36.1.5. 请读者验证上述两套定义是等价的.

至于更多的讨论我们放在 $\infty$-范畴之上.

36.2$\infty$-层

本节我们来定义 $\infty$-层. $\infty$-层不过是对于全体覆盖都满足下降条件的 $\infty$-预层. 因此我们先来定义 $\infty$-预层.

$\infty$-预层

我们知道预层实际上是反变函子 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$. 在 $\infty$-范畴语境下, $\mathsf{Set}$ 应当被替换为其生象化 $\mathsf{Ani}$ (换句话说, 在高阶范畴论下, 原本的集合都应该被替换为生象). 换句话说, 我们应当定义预层 $\infty$-范畴为以下单纯集

定义 36.2.1. 令 $S$ 为单纯集, 称 $S$ 的 (生象值) 预层 $\infty$-范畴为 $\mathrm{PSh}(S)$ 为 $\infty$-范畴 $\mathrm{Fun}(S,\mathsf{Ani})$.

我们将在第 36 章给出一个关于 $\mathrm{PSh}(S)$ 的观察, 即将 $S$ 视为基张成的可表现 $\infty$-范畴. 不过这并非本章的主题.

$\infty$-景

现在来定义 $\infty$-范畴中景的概念, 首先来定义 $\infty$-范畴中的筛概念.

定义 36.2.2. 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, $U\in \mathcal{C}$ 为对象.

1.	$U$ 上的筛是指全子范畴 $\mathcal{U}\subseteq {\mathcal{C}}_{/U}$, 使得对于任意 $U$ 上的态射 $V^{\prime }\to V$ 若 $V\in \mathcal{U}$ 则 $V^{\prime }\in \mathcal{U}$.
2.	令 $f:U^{\prime }\to U$ 为 $\mathcal{C}$ 中的态射且 $\mathcal{U}$ 为 $U$ 上的筛. 拉回 $f^{\ast }\mathcal{U}$ 是 $U^{\prime }$ 上由使得 $f\circ g\in \mathcal{U}$ 的 $g:V\to U^{\prime \prime }$ 所张成的 ${\mathcal{C}}_{/U^{\prime }}$ 的全子范畴.

在 $\infty$-范畴中的下降信息无非是定义 36.1.2 中将筛改为 $\infty$-范畴中的情况, 然后极限也修改为 $\infty$-范畴中的极限. 那么我们现在可以给出态射所生成的筛.

定义 36.2.3 (态射生成筛). 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. 则

1.	令 $(U_i\to U{)}_i$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族态射, 则由 $({\mathbf{U}}_{\mathbf{i}}\to \mathbf{U}{)}_{\mathbf{i}}$ 所生成的筛是指由全体穿过某个 $U_i$ 的态射 $V\to U$ 所构成的筛 $\mathcal{U}$.
2.	称筛 $\mathcal{U}$ 是小的是指其包含小 $\infty$-范畴的共尾态射. 称其为万有小的是指关于 $\mathcal{U}$ 的拉回是小的. 称其为小生成的实值其由小态射族 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$ 所生成.

现在我们来研究沿筛的下降, 首先给出其与 Čech 脉之间的关联, 为此需要做一些记号上的处理.

定义 36.2.4. 对于集合 $I$, 定义 ${\mathbb{\Delta }}_I$ 为以下 1-范畴: 对象为二元组 $([n],i_{\bullet }\in I^{n+1})$¹. 态射 $([n],i_{\bullet })\to ([m],j_{\bullet })$ 定义为对于任意 $k\in [n]$ 都有 $i_k=j_{\alpha (k)}$ 的 $\alpha :[n]\to [m]$.

引理 36.2.5. 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴且 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$ 为 $\mathcal{C}$ 中生成 $U$ 上筛 $\mathcal{U}$ 的态射. 若以下提及的任意纤维积 $U_{i_0}\underset{U}{\times }\cdots \underset{U}{\times }{U}_{i_n}$ 都在 $\mathcal{C}$ 中, 则

1.	存在 $\infty$-范畴之间的函子 ${\mathbb{\Delta }}_I\to \mathcal{U}$ 将 $([n],i_{\bullet })$ 映为 $U_{i_0}\underset{U}{\times }\cdots \underset{U}{\times }{U}_{i_n}$.
2.	令 $\mathcal{D}$ 为 ${\mathbb{\Delta }}_I$-值完备的 $\infty$-范畴 (即以其为图表的极限都存在). 则对于任意预层 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$, 下降信息都可以表为$$\mathsf{Desc}(\mathcal{U},\mathcal{F})=\underset{([n],i_{\bullet })\in {\mathbb{\Delta }}_I}{\lim }\mathcal{F}(U_{i_0}\underset{U}{\times }\cdots \underset{U}{\times }{U}_{i_n})$$

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

因此若 $\mathcal{C}$ 具有拉回, 则小生成的筛自动是泛小的.
下一则引理将告诉我们若筛由单射 $U_i\hookrightarrow U$ 所生成, 那么 $U_{i_0}\underset{U}{\times }\cdots \underset{U}{\times }{U}_{i_n}$ 只和集合 $\{i_0,\cdots ,i_n\}$ 有关, 即相同指数的重数可以被忽略.

引理 36.2.6. 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 而 $(U_i\hookrightarrow U{)}_{i\in I}$ 为生成 $U$ 上筛 $\mathcal{U}$ 的单射. 并且假设与引理 36.2.5 一致. 则

1.	令 $P_I$ 为 $I$ 的全体非空子集以包含构成的偏序集, 则存在 $\infty$-范畴之间的函子 ${\mathcal{P}}_I^{\mathrm{op}}\to \mathcal{U}$ 将 $J\subset I$ 映为 $U_J:={\prod }_{j\in J}^{/U}{U}_j$.
2.	令 $\mathcal{D}$ 为 $P_I$-值完备的 $\infty$-范畴, 则对于任意预层 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$, 都有$$\mathsf{Desc}(\mathcal{U},\mathcal{F})=\underset{J\in P_I}{\lim }\mathcal{F}(U_J).$$

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

这样固然很好, 但事实上我们很难去描述预层 $\mathcal{F}$ 沿 $U$ 上筛 $\mathcal{U}$ 的下降信息. 然而我们可以将 $\mathcal{U}$ 拆分为一些性质良好的态射所生成的筛.

引理 36.2.7. 令 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴, $U\in \mathcal{C}$ 为对象且 $\mathcal{U},{\mathcal{U}}^{\prime }$ 为 $U$ 上满足以下条件的筛:

1.	$\mathcal{F}$ 沿 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 可下降, 并且对于任意 $\mathcal{U}$ 中态射 $f:U^{\prime }\to U$, $\mathcal{F}$ 沿 $f^{\ast }{\mathcal{U}}^{\prime }$ 可下降.
2.	对于任意 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 中的态射 $f:U^{\prime }\to U$, $\mathcal{F}$ 都可以沿 $f^{\ast }\mathcal{U}$ 可下降.

则 $\mathcal{F}$ 沿 $\mathcal{U}$ 可下降.

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

可以得到以下推论

推论 36.2.8. 令 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴, $U\in \mathcal{C}$ 为对象且 $\mathcal{U}$ 为 $U$ 上的筛.

1.	若存在 $U$ 上的子筛 ${\mathcal{U}}^{\prime }\subseteq \mathcal{U}$ 使得 $\mathcal{F}$ 可沿 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 万有下降则 $\mathcal{F}$ 可沿 $\mathcal{U}$ 万有下降.
2.	若存在 $U$ 上的筛 $\mathcal{U}\subseteq {\mathcal{U}}^{\prime }$ 使得 $\mathcal{F}$ 可沿 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 下降, 并且对于任意 $f\in {\mathcal{U}}^{\prime }$ 都有 $\mathcal{F}$ 可沿 $f^{\ast }\mathcal{U}$ 万有下降, 则 $\mathcal{F}$ 可沿 $\mathcal{U}$ 下降.

最后来介绍 $\infty$-景, 根据前文的准备, 此时可以直接定义

定义 36.2.9 ($\infty$-景). $\infty$-景是指二元组 $(\mathcal{C},J)$, 其中 $J$ 为一族选定的筛, 称作覆盖筛, 满足以下条件:

自身作为覆盖	对应任意 $U\in \mathcal{C}$, 筛 ${\mathcal{C}}_{/U}$ 为覆盖筛.
在基变换下不变	拉回保持覆盖筛.
覆盖的复合仍为覆盖	令 $U\in \mathcal{C}$ 为对象, $\mathcal{U},{\mathcal{U}}^{\prime }$ 为 $U$ 上的筛, 若 $\mathcal{U}$ 为覆盖筛且对于任意 $\mathcal{U}$ 中态射 $f:V\to U$ 都有 $f^{\ast }{\mathcal{U}}^{\prime }$ 为覆盖筛则 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 为覆盖筛.

$\infty$-层

现在我们来介绍 $\infty$-层, 此时其定义已经呼之欲出.

定义 36.2.10 ($\infty$-层). 令 $(\mathcal{C},J)$ 为 $\infty$-景, 且 $\mathcal{D}$ 为完备 $\infty$-范畴. 称 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{D}$-值 $\infty$-层是指 $\mathcal{F}$ 可沿 $J$ 中任一覆盖筛进行下降. 记$$\mathrm{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})\subseteq \mathrm{PSh}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathcal{D})$$为由 $\mathcal{D}$-值层所生成的全子范畴. 对于生象层的情况简写为 $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$.

根据最初的讨论, 不难发现 $\infty$-层也可以改写为如下形式, 记 $\mathrm{sieve}(\mathcal{U})=\underset{V\in {\mathcal{U}}^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}y(V)$, 此处 $y$ 为 $\infty$-范畴的 Yoneda 嵌入 (其实没有差别). 此时我们有典范态射 $\mathrm{sieve}(\mathcal{U})\to U$. 那么 $\infty$-景 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{D}$-值层不过是对于任意覆盖筛 $\mathcal{U}$, 使得典范态射$$\mathrm{Hom}(y(U),\mathcal{F})\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Hom}(\mathrm{sieve}(\mathcal{U}),\mathcal{F})$$为同构的预层 $\mathcal{F}$. 此时即将 $\mathcal{F}$ 视为 $S$-局部对象, 其中 $S=\{\mathrm{sieve}(\mathcal{U})\to U\}$. 因此 $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ 应当为拓扑局部化, 在 [HTT, Proposition 6.2.2.7.] 表明确实如此. 因此可以得到推论

推论 36.2.11 (层化). 令 $\mathcal{C}$ 为景而 $\mathcal{D}$ 为可表现完备 $\infty$-范畴, 则 $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ 可表现并且为自反子范畴, 即有伴随该嵌入的伴随称为层化.

定义 36.2.12. 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-景, 则 Yoneda 嵌入复合上层化给出函子$$\mathcal{C}\to \mathrm{Sh}(\mathcal{C}),U\mapsto y(U{)}^{♯}.$$此时称 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ 是可表的, 是指存在 $C\in \mathcal{C}$ 使得 $\mathcal{F}$ 落在其本质像内.

典范拓扑

在某些景上, 可表函子可以构成层, 比如

命题 36.2.13. 对于大景 $\mathsf{Top}$, 其上可表函子构成层.

在概形上事实上也有这种巧合:

定理 36.2.14 (Grothendieck). 对于大 fpqc 景 ${\mathrm{Sch}}_{/S}$, 其上可表函子构成层.

这一定理的证明依赖诸多引理, 我们留待后文证明. 这给出一种新的拓扑

定义 36.2.15 (次典范拓扑). 范畴 $\mathcal{C}$ 上的拓扑 $\mathcal{T}$ 称为是次典范的是指 $\mathcal{C}$ 中的可表函子都是层. 带有这样的拓扑的 $\mathcal{C}$ 称为次典范景

那么典范拓扑是什么就显而易见了, 即为使得全体可表函子为层的最细的拓扑.

超完备层

36.3$\infty$-范畴的下降

不难发现在定义 36.1.1 中我们将 Čech 脉刻画为单纯对象, 而引理 36.2.5 相当于在说我们可以将沿某个筛的下降刻画为在该 Čech 脉上的极限, 因此这诱使我们将其推广到一般的单纯对象上, 并给出形式的下降定义.

定义 36.3.1 (整体化). 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 给定其余单纯对象 $X^{\bullet }:\mathbb{\Delta }\to \mathcal{C}$. 称 $X^{\bullet }$ 的整体化为 $X^{\bullet }$ 的极限, 记为$$\mathrm{tot}(X):=\underset{[n]\in \mathbb{\Delta }}{\lim }{X}^n$$

Barr-Beck 定理

注 36.3.2. 涉及单子的部分详见第 29 章.

定义 36.3.3. 定义 ${\mathbb{\Delta }}_{-\infty }$ 为如下范畴:

•	对象, $n\ge -1$.
•	${\mathrm{Hom}}_{{\Delta }_{-\infty }}([m],[n])$ 为使得 $\alpha (-\infty )=-\infty$ 的保序态射 $\alpha :[m]\cup \{-\infty \}\to [n]\cup \{-\infty \}$.

因此可将增广单形集 ${\mathbb{\Delta }}_{+}$ 视为 ${\mathbb{\Delta }}_{-\infty }$ 的宽子范畴, 则 $\alpha :[m]\cup \{-\infty \}\to [n]\cup \{-\infty \}$ 为 ${\mathbb{\Delta }}_{+}$ 中的态射当且仅当 ${\alpha }^{-1}(-\infty )=\{-\infty \}$.

定义 36.3.4 (分裂单纯对象). 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. 称增广单纯对象 $U:({\mathbb{\Delta }}_{+}{)}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 是分裂的是指 $U$ 可以延拓到 ${\mathbb{\Delta }}_{\infty }$ 上. 称单纯对象 $U:(\mathbb{\Delta }{)}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 是分裂的是指其能够延拓到 ${\mathbb{\Delta }}_{+}$ 上. 给定函子 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$, 称 $\mathcal{D}$ 上的 (增广) 单纯对象 $U$ 是 $\mathbf{G}$-分裂的是指 $G\circ U$ 在 $\mathcal{C}$ 上分裂.

注 36.3.5. 不难发现, 如果我们将上述定义改为余单纯对象, 那么 $X:{\mathbb{\Delta }}_{-\infty }\to \mathcal{C}$ 是分裂的相当于在说 $\mathrm{tot}(X{\mid }_{\mathbb{\Delta }})\simeq X^{-1}$.

定理 36.3.6 ($\infty$-范畴版本的 Barr-Beck 定理). 令 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴之间的函子, 并且具有左伴随 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 则以下条件等价:

$(a)$	伴随对 $(F,G)$ 是单子的.
$(b)$	存在幺半 $\infty$-范畴 (定义 29.1.12) ${\mathcal{E}}^{\otimes }$ 以及其在 $\mathcal{C}$ 上的左作用, 对于代数对象 $A\in \mathsf{Alg}(\mathcal{E})$ 存在等价 $G^{\prime }:\mathcal{D}\simeq {\mathsf{LM}}_A(\mathcal{C})$ 使得 $G$ 同构于 $G^{\prime }$ 复合上遗忘函子 ${\mathsf{LM}}_A(\mathcal{C})\to \mathcal{C}$.
$(c)$	函子 $G$ 满足以下条件: 1. 函子 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 是保守的. 2. $\mathcal{D}$ 中的单纯对象 $V$ 是分裂的. 从而 $V$ 在 $\mathcal{D}$ 中有余极限, 并且 $G$ 保余极限.

证明. [HA, Theorem 4.7.3.5]

$\square$

以下给出其主要应用.

下降与 Barr-Chevalley 条件

本节给出 $\infty$-范畴的下降与 Beck-Chevealley 条件:

定理 36.3.7. 令 ${\mathcal{C}}^{\bullet }:\mathbb{\Delta }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为满足以下条件的余单纯对象:

(*)	对于任意 $\mathbb{\Delta }$ 中态射 $\alpha :[m]\to [n]$, 其诱导图表是左可伴随的. 特别地, $d^0:{\mathcal{C}}^n\to {\mathcal{C}}^{n+1}$ 具有左伴随 $F(n):{\mathcal{C}}^{n+1}\to {\mathcal{C}}^n$

令 $\mathcal{C}=\lim {\mathcal{C}}^{\bullet }$ 为 ${\mathcal{C}}^{\bullet }$ 的整体化. 则

1.	遗忘函子 $G:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^0$ 有左伴随 $F$.
2.	图表是左可伴随的. 即典范态射 $F(0)\circ d^1\to G\circ F$ 为从 ${\mathcal{C}}^0$ 到自身的函子的同构.
3.	伴随对 $(F,G)$ 满足定理 36.3.6 所述条件, 因此 $\mathcal{C}$ 等价于 $\infty$-范畴 ${\mathsf{LM}}_T({\mathcal{C}}^0)$.

推论 36.3.8 (Beck–Chevalley 下降). 令 ${\mathcal{C}}^{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{+}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为满足以下条件的增广余单纯对象, 且令 $\mathcal{C}={\mathcal{C}}^{-1}$. 令 $G:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^0$ 为显然的函子. 若

1.	$\infty$-范畴 ${\mathcal{C}}^{-1}$ 具有 $G$-分裂单纯对象的几何实现 (即对于 $G$-分裂单纯对象 $U$, $\mathrm{colim}U$ 在 ${\mathcal{C}}^{-1}$ 中存在). 并且这些几何实现由 $G$ 所保持.
2.	对于任意 ${\mathbb{\Delta }}_{+}$ 的态射 $\alpha :[m]\to [n]$, 图表是左可伴随的.

则典范态射 $\theta :\mathcal{C}\to \underset{n\in \mathbb{\Delta }}{\lim }{\mathcal{C}}^n$ 具有全忠实的左伴随. 若 $G$ 还是保守函子, 则 $\theta$ 为范畴等价.

证明. [HA, Corollary 4.7.5.3]

$\square$

这样对于某个 $\infty$-范畴值预层 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 记 $\mathcal{C}$ 中态射 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$ 的 Čech 脉 (因此为余单纯对象) 的像为 ${\mathcal{G}}^{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{+}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 那么其满足以上条件就相当于在说 $\mathcal{F}$ 沿 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$ 可下降.

应用: 导出 $\infty$-范畴的下降

本节来说明导出 $\infty$-范畴可以满足下降 (当然, 这里类比于模的下降). 在此之前先引入一些概念以及引理.

定义 36.3.9. $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的左完备化是指 $\cdots \to {\mathcal{C}}_{\le 2}\stackrel{{\tau }_{\le 1}}{\to }{\mathcal{C}}_{\le 1}\stackrel{{\tau }_{\le 0}}{\to }{\mathcal{C}}_{\le 0}\to \cdots$ 的同伦极限. 根据 [HTT, $\S$ 3.3.3], 可以将其详细描述为 $\mathrm{Fun}(\mathbb{Z},\mathcal{C})$ 中满足如下条件的函子所张成的全子范畴:

•	对于任意 $n\in \mathbb{Z}$, $F(n)\in {\mathcal{C}}_{\le -n}$.
•	对于 $m\le n\in \mathbb{Z}$, 态射 $F(m)\to F(n)$ 诱导等价 ${\tau }_{\le -n}F(m)\to F(n)$.

将其简记为 $\hat{\mathcal{C}}$.

接下来我们说明, 对于带有足够内射对象的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 定义 33.2.8 所给出的 $\mathcal{A}\mapsto {\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 具有函子性.

引理 36.3.10. 令 ${\mathsf{Cat}}^{\text{inj,Ab,ex}}\subseteq \mathsf{Cat}$ 为由具有足够内射对象的 Abel 范畴以及其间正合函子所张成子范畴. 则定义 33.2.8 给出函子$${\mathcal{D}}^{+}:{\mathsf{Cat}}^{\text{inj,Ab,ex}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty },\mathcal{A}\mapsto {\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A}).$$

证明.

证明. 现记 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\text{st,t-ex}}$ 为配备有 $t$-结构且其心上具有足够的内射对象的的稳定 $\infty$-范畴以及 $t$-正合函子所张成的子范畴. 则有显然的函子$$(-{)}^{♡}:{\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\text{st,t-ex}}\to {\mathsf{Cat}}^{\text{inj,Ab,ex}},\mathcal{C}\mapsto {\mathcal{C}}^{♡}$$现令 $\mathcal{X}\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\text{st,t-ex}}$ 为由等价于某个 $\mathcal{A}\in {\mathsf{Cat}}^{\text{inj,Ab,正合}}$ 的导出 $\infty$-范畴 ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 的 $\infty$-范畴所张成的全子范畴. 则根据 [HA, Theorem 1.3.3.2] 的对偶版本, 可知 $(-{)}^{♡}$ 限制到 $\mathcal{X}$ 上是全忠实的, 因此为等价. 取逆即可得到函子 ${\mathcal{D}}^{+}$.

$\square$

命题 36.3.11. 令 ${\mathcal{A}}^{\bullet }$ 为 $\mathsf{Cat}$ (取脉视为 $\infty$-范畴) 中的余单纯对象, 若在 $\mathsf{Cat}$ 中存在极限 $\mathcal{A}:=\underset{n\in \mathbb{\Delta }}{\lim }{\mathcal{A}}^n$. 且满足以下条件:

$(a)$	${\mathcal{A}}^n$ 均为 Grothendieck Abel 范畴.
$(b)$	对于任意 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $\alpha :[n]\to [m]$, 其诱导的 ${\alpha }^{\ast }:{\mathcal{A}}^n\to {\mathcal{A}}^m$ 是正合的, 并且具有右伴随 ${\alpha }_{\ast }$.
$(c)$	令 $d^i:[n]\to [n+1]$ 表示第 $i$-位余面态射 (注记 28.1.2), 则对于任意 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $\alpha :[n]\to [m]$ , 下述图表自动为 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的拉回图表. 即存在自然同构 ${\alpha }^{\ast }\circ \mathbb{R}{d}_{\ast }^0\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{R}{d}_{\ast }^0\circ {\alpha }^{\prime \ast }$. 此处 ${\alpha }^{\prime }={\mathrm{id}}_{[0]}\star \alpha$.

则

1.

$\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, 并且满足以下条件: $\mathcal{A}$ 中的对象为二元组 $(X,\alpha )$, 其中 $X$ 为 ${\mathcal{A}}^0$ 中的对象而 $\alpha :(d^0{)}^{\ast }X\stackrel{\sim }{\to }(d^1{)}^{\ast }X$ 为 ${\mathcal{A}}^1$ 中的同构, 并且给出 ${\mathcal{A}}^2$ 中的交换图表$\mathcal{A}$ 中的态射 $(X_1,{\alpha }_1)\to (X_2,{\alpha }_2)$ 为 ${\mathcal{A}}^0$ 中使得 $(d^1{)}^{\ast }f\circ {\alpha }_1={\alpha }_2\circ (d^0{)}^{\ast }f$.

2.

若 $(d^1{)}^{\ast }:{\mathcal{A}}^0\to {\mathcal{A}}^1$ 将内射对象映为 $d_{\ast }^0$-零调对象. 则有自然的范畴等价$${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})\stackrel{\sim }{\to }\underset{n\in \mathbb{\Delta }}{\lim }{\mathcal{D}}^{+}({\mathcal{A}}^n).$$右侧的极限取值于 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中. 此外若 $\infty$-范畴 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 和 $\mathcal{D}({\mathcal{A}}^n)$ 是左完备的, 则上述等价可以延拓为$$\mathcal{D}(\mathcal{A})\stackrel{\sim }{\to }\underset{n\in \mathbb{\Delta }}{\lim }\mathcal{D}({\mathcal{A}}^n).$$

现在我们逐条解释满足的条件所代表的含义:

$(a)$	为说明其极限为可表现范畴所需.
$(b)$	为说明 $\mathcal{A}$ 满足 (AB5).
$(c)$	则为推论 36.3.8 所给出下降条件的对偶形式, 这也意味着我们事实上通过对偶的方式证明该命题.

证明.

证明.

1.

根据 [HA, Proposition 2.3.4.18], 可知 $\mathsf{Cat}$ 等价于 $(2,1)$-范畴. 根据 [HA, Lemma 1.3.3.10] 的证明过程可知有等价 $\mathcal{A}=\underset{n\in {\mathbb{\Delta }}^{\le 2}}{\lim }{\mathcal{A}}^n$ 其中 ${\mathbb{\Delta }}^{\le 2}$ 为由 $[0],[1],[2]$ 所张成的全子范畴. 接下来给出 $\mathcal{A}$ 的显式描述: $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, 并且带有遗忘函子 $\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}^0$ 是保守且正合的. 由 (b) 可知 $\mathcal{A}$ 满足 (AB5). 根据 [Bek00, Proposition 3.10] 可知 Grothendieck Abel 范畴即为可表现且满足 (AB5) 的 Abel 范畴. 而 [HTT, Proposition 5.5.3.13] 表明可表现范畴的极限仍为可表现范畴, 因此 $\mathcal{A}$ 为 Grothendieck Abel 范畴.

2.

由引理 36.3.10 可知 ${\mathcal{D}}^{+}$ 可被视为函子. 因此其复合上 ${\mathbb{\Delta }}_{+}={\mathbb{\Delta }}^{⊲}\to {\mathsf{Cat}}^{\text{inj,Ab,ex}}$ (其中 ${\mathcal{A}}^{-1}:=\mathcal{A}$) 给出增广余单纯对象 ${\mathcal{D}}^{+}({\mathcal{A}}^{\bullet }):{\mathbb{\Delta }}_{+}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 现在对于 $({\mathcal{A}}^{\bullet }{)}^{\mathrm{op}}$ 使用定理 36.3.7 可知遗忘函子 $(d^0{)}^{\ast }:\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}^0$ 具有右伴随 $(d^0{)}_{\ast }$ 使得自然态射 $(d^0{)}^{\ast }(d^0{)}_{\ast }\stackrel{\sim }{\to }(d^0{)}_{\ast }(d^1{)}^{\ast }$ 为函子 ${\mathcal{A}}^0\to {\mathcal{A}}^0$ 的同构. 由于 $(d^1{)}^{\ast }:{\mathcal{A}}^0\to {\mathcal{A}}^1$ 将内射对象映为 $(d^0{)}_{\ast }$-零伦对象, 自然态射 $(d^0{)}^{\ast }\circ \mathbb{R}(d^0{)}_{\ast }\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{R}(d^0{)}_{\ast }\circ (d^1{)}^{\ast }$ 为函子 ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})\to {\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 的同构. 现在, 只需使用推论 36.3.8 的对偶版本即可 (因此几何实现变为整体化, 左可伴随需要改成右的情况, 保守函子不变), 不难发现这要求我们验证以下条件: $(i)$ 遗忘函子 $F:=(d^0{)}^{\ast }:{\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})\to {\mathcal{D}}^{+}({\mathcal{A}}^0)$ 是保守的. $(ii)$ ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 具有 $F$-分裂余单纯对象的整体化, 并且这些整体化由 $F$ 所保持. $(iii)$ 对于 ${\mathbb{\Delta }}_{+}$ 中的态射 $\alpha :[n]\to [m]$, 自然态射 ${\alpha }^{\ast }\circ \mathbb{R}(d^0{)}_{\ast }\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{R}(d^0{)}_{\ast }\circ {\alpha }^{\prime \ast }$ 为 ${\mathcal{D}}^{+}({\mathcal{A}}^{n+1})\to {\mathcal{D}}^{+}({\mathcal{A}}^m)$ 的函子的同构. 验证: $(i)$ 使用上同调群可以约化为 $(d^0{)}^{\ast }:\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}^0$ 的情况, 根据前文对于 $\mathcal{A}$ 的显式刻画立刻得到. $(ii)$ 现令 $X^{\bullet }$ 为 ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 中的 $F$-分裂余单纯对象. [Kerodon, 04RE] 表明只需研究半余单纯情况即可. 假定此时整体化 $\mathrm{tot}(X^{\bullet })=\lim X^n$ 存在, 只需验证 $F$ 与 $\mathrm{tot}$ 的交换性即足. 我们将使用上同调函子进行证明. 我们将使用 [HA, Corollary 1.2.4.12.]2的对偶版本证明整体化的存在性. 遵循 [SAG, Proposition D.6.4.6.] 中的构造方式, 对于任意 $n\in \mathbb{Z}$, 可以对 $H^n{X}^{\bullet }$ 考虑 Moore 复形 (定义 28.3.4 的对偶版本) $$0\to K(n)\to H^n{X}^0\stackrel{{\partial }^1}{\to }{H}^n{X}^1\to H^n{X}^2\to \cdots$$(36.1)此处 $K(n)\simeq \ker ({\partial }^1)$. 由于 $F$ 是正合 (用以说明 $F(K(n))$ 仍为 $\ker$) 的且 $F{X}^{\bullet }$ 分裂 (根据假设), 从而 $F$ 作用在 (36.1) 上给出分裂零调复形. 由 $F$ 是保守函子可知 (36.1) 对于任意 $n\in \mathbb{Z}$ 都是零调的, 即 (36.1) 为 $K(n)$ 的零调消解. 使用 [HA, Corollary 1.2.4.12.] 可知整体化 $X:=\mathrm{tot}(H^n{X}^{\bullet })$ 的存在性. 并且 $H^{n}X\to H^n{X}_0$ 诱导同构 $H^{n}X\stackrel{\sim }{\to }K(n)$. 对于 $\mathcal{C}={\mathcal{D}}^{+}({\mathcal{A}}^0{)}^{\mathrm{op}}$ 重复刚才的操作说明 $F{X}^{\bullet }$ 的整体化的存在性, 以及同构 $H^n\mathrm{tot}(F{X}^{\bullet })\stackrel{\sim }{\to }F(K(n))$. 因此 $F(H^{n}X)\stackrel{\sim }{\to }F(K(n))\stackrel{\sim }{\to }{H}^n(\mathrm{tot}(F{X}^{\bullet })$. 由于我们考虑的是导出 $\infty$-范畴, 拟同构即为同构. 因此 $F$ 与 $\mathrm{tot}$ 在同构意义下可交换. $(iii)$ 在非负情况由 $(c)$ 所确定, 而在 $-1$ 情况用 $[-1]\to [m]$ 穿过 $[-1]\to [0]$ 即可. 从而给出范畴等价 ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})\stackrel{\sim }{\to }\lim {\mathcal{D}}^{+}({\mathcal{A}}^{\bullet })$. 最后, 若 $\infty$-范畴 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 和 $\mathcal{D}({\mathcal{A}}^n)$ 是左完备的, [HA, Remark 1.2.1.18.] 给出向左侧的延拓.

$\square$

脚注

1.	^ 即 $n+1$ 重积
2.	^ [HA, Corollary 1.2.4.12.] 中有一处 typo, 即需要对于全体 $q$ 进行验证而非 $q\ge 0$.

.