28. 单纯集与同调代数

单纯集可以有效的勾连拓扑空间与同调代数的诸多构造, 我们将在本章介绍那么一点点,

28.1单纯集

定义 28.1.1 (单形范畴). 令 $\mathbb{\Delta }$ 为以下资料所构成的范畴:

•	对象: 全序集 $[n]=\{0<1<\cdots <n-1<n\}$.
•	态射:$[m]$ 到 $[n]$ 的保序映射.

将 $\mathbb{\Delta }$ 称为单形范畴.

注 28.1.2. 可以发现单纯范畴中任意态射 $[l]\to [n]$ 均可唯一分解为保序满射和保序单射的合成$$[l]\twoheadrightarrow [m]\hookrightarrow [n],n\ge m\le l,$$而如上的单射 (或满射) 又可以拆解为片段, 使得每步恰好遗漏一个元素 (或恰好合并两个元素); 换言之, 所有态射均可分解为

•	余面态射, $d^i=d_n^i:[n-1]\hookrightarrow [n]$, $0\le i\le n$, 仅仅遗漏 $i\in [n]$.
•	余退化态射, $s^j=s_n^j:[n+1]\twoheadrightarrow [n]$, $0\le j\le n$, 取两次 $j\in [n]$ 的保序满射.

直观一点的看, 余面态射可以视为为将一个面嵌入到单形中 (或者说取出一个面), 而余退化态射可以被视为通过增加了一些恒等态射作为 “面” 来得到更高阶的单形, 事实上可以将这些 “面” 去掉, 并不会影响单形的信息, 这种单形就叫做退化单形.

而后, 定义单纯对象

定义 28.1.3 (单纯对象). 给定范畴 $\mathcal{C}$,

•	其中的单纯对象意谓函子 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$, 全体单纯对象构成的范畴记为 $\mathsf{s}\mathcal{C}:={\mathcal{C}}^{{\Delta }^{\mathrm{op}}}$.
•	余单纯对象意谓函子 $\mathbb{\Delta }\to \mathcal{C}$, 全体余单纯对象构成的范畴记为 $\mathsf{cs}\mathcal{C}:={\mathcal{C}}^{\Delta }$.

注 28.1.4 (半单纯对象). 对于所有非零序数及其间保序单射构成的范畴 ${\mathbb{\Delta }}_{\text{单}}$. 形如 ${\mathbb{\Delta }}_{\text{单}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 的函子称为 $\mathcal{C}$ 中的半单纯对象, 这相当于在单纯形对象定义中去掉退化态射以及相关条件.

定义 28.1.5. 任何函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 都相应地诱导 $\mathsf{s}\mathcal{C}\to \mathsf{s}\mathcal{D}$, 映资料 $(X_n,d_i,s_j{)}_{n,i,j}$ 为 $(F{X}_n,F{d}_i,F{s}_j{)}_{n,i,j}$. 此外, 有自明的关系式 $\mathsf{s}({\mathcal{C}}_1\times {\mathcal{C}}_2)\simeq \mathsf{s}{\mathcal{C}}_1\times \mathsf{s}{\mathcal{C}}_2$.
将上述观察施于幺半范畴 $\mathcal{C}$ 和双函子 $\otimes :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$, 则对任意 $X,Y\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{C})$ 可定义 $X\otimes Y\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{C})$, 其 $n$ 次项为 $X_n\otimes Y_n$, 其面态射与退化态射分别形如 $d_i\otimes d_j$ 和 $s_i\otimes s_j$.

定义 28.1.6 (单纯集). 当定义 28.1.3 中 $\mathcal{C}$ 被替换为集合范畴 $\mathsf{Set}$ 时, 得到的单纯对象称为单纯集. 全体单纯集构成的范畴记为 $\mathsf{sSet}$.

注 28.1.7 (面态射与退化态射). 不难发现面态射 ${\delta }_n^i:[n-1]\hookrightarrow [n]$ 和退化态射 ${\sigma }_n^j:[n+1]\twoheadrightarrow [n]$ 映射到单纯对象 $X$ 中则会得到反向的态射 $d_i^n:X_n\to X_{n-1}$ 以及 $s_j^n:X_n\to X_{n+1}$, 在不强调 $n$ 时, 也简写为 $d_i$ 和 $s_j$. 具有显然的等式$$\begin{array}{ccc}{d}_i{d}_j& =d_{j-1}{d}_i,& i<j\\ d_i{s}_j& =s_{j-1}{d}_i,& i<j\\ d_j{s}_j& =\mathrm{id}=d_{j+1}{s}_j,& \forall j\\ d_i{s}_j& =s_j{d}_{i-1},& i>j+1\\ s_i{s}_j& =s_{j+1}{s}_i,& i\le j.\end{array}$$(28.1)

我们将 $X_n$ 中的元素称为 $X$ 中的 $n$-单形.

定义 28.1.8 (退化单形). 对于单纯对象 $X$ 中的 $n$-单形 $\sigma$ , 若其为某个 $s_{n-1}^j$ 的像, 则称其为退化的, 若其不为退化的, 则称为非退化.

注 28.1.9.

1.	若 $f:X\to Y$ 为单纯集间的态射, 若 $\sigma$ 为 $X$ 中退化 $n$-单形, 则 $f(\sigma )$ 为 $Y$ 中退化 $n$-单形, 当且仅当 $f$ 为单态射时反过来成立.
2.	令 $f:X\to Y$ 为单纯集间的态射, 若 $Y$ 中所有非退化单形均在 $f$ 的像中, 则 $f$ 是满态射.

定义 28.1.10 (标准 $n$-单形). 对所有 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 记 ${\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n]):{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 确定的单纯集为 ${\Delta }^n$, 称为标准 $n$-单形.

注 28.1.11. 因此 $({\Delta }^n{)}_m={\mathrm{Hom}}_{\Delta }([m],[n])$ 是全体保序映射 $[m]\to [n]$. $\varphi :[m]\to [m^{\prime }]$ 诱导的 $({\Delta }^n{)}_{m^{\prime }}\to ({\Delta }^n{)}_m$ 正是映射的拉回 ${\varphi }^{\ast }:f\mapsto f\varphi$. 此外, 由 Yoneda 引理可以得知 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\Delta }^n,S)\simeq S_n$.

根据 Yoneda 引理, 还可以给出以下推论

推论 28.1.12. 对于任意一个单纯集 $X$ 都有$$X\simeq \underset{([n],\sigma )\in {\Delta }_{/X}}{\underrightarrow{\lim }}{\Delta }^n.$$

几何实现

通过标准 $n$-单形, 我们可以勾连 $\mathsf{sSet}$ 与 $\mathsf{Top}$ 得到我们熟知的单形. 记 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的有序基为 $e_0,\cdots ,e_n$. 定义称其为拓扑 $n$-单形, 它的顶点通过 $i\leftrightarrow e_i$ 由 $0,\cdots ,n$ 标号, 其内部带有标准定向, 使 $e_1-e_0$, $\cdots$ , $e_n-e_{n-1}$ 处处给出正向有序基.

任意保序映射 $f:[m]\to [n]$ 都诱导映射$$\begin{array}{rl}|f|:|{\Delta }^m|& ⟶|{\Delta }^n|\\ \sum _{i=0}^m{y}_i{e}_i& ⟼\sum _{i=0}^n{y}_i{e}_{f(i)}.\end{array}$$当 $f$ 非满时, $|f|$ 的像落在边界. 可用嵌入 $|{\delta }^i|:|{\Delta }^{n-1}|\to |{\Delta }^n|$ 比较 $|{\Delta }^{n-1}|$ 内部的定向和 $|{\Delta }^n|$ 在其边界上诱导的定向: 行列式的常规练习可知两者相差 $(-1{)}^i$. 因此得到函子$$|-|:\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Top}\{\begin{array}{c}\text{对象}[n]\mapsto |{\Delta }^n|\\ \text{态射}f\mapsto |f|\end{array}$$考虑图表现在我们希望将其延拓为 $\mathsf{sSet}\to \mathsf{Top}$ 的函子. 由推论 28.1.12 可知对于任意单纯集 $X$ 都有 $X=\underset{(n,\sigma )}{\underrightarrow{\lim }}{\Delta }^n$. 而且 $\mathsf{Top}$ 又是余完备的, 因此可以给出:

定义 28.1.13 (几何实现函子). 函子 $|-|:\mathsf{sSet}\to \mathsf{Top}$ 定义如下: 设 $X$ 为单纯集, 则$$|X|:=\underset{n,\sigma }{\underrightarrow{\lim }}|{\Delta }^n|,$$其中 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 而 $\sigma \in X_n$ 为 $n$-单形, 这些资料 $([n],\sigma )$ 形成范畴, 使得从 $([n],\sigma )$ 到 $([m],\delta )$ 的态射无非是让交换的 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\Delta }([n],[m])$, 或者等价地说, 要求 $f^{\ast }:X_m\to X_n$ 满足 $f^{\ast }(\delta )=\sigma$.

可以定义出几何实现的右伴随.

定义 28.1.14 (奇异集函子). 对于任意拓扑空间 $E$, 定义单纯形集 $\mathrm{Sing}(E)$ 使得$$\mathrm{Sing}(E{)}_n:={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(|{\Delta }^n|,E),n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},$$而 $d_i:\mathrm{Sing}(E{)}_n\to \mathrm{Sing}(E{)}_{n-1}$(或 $s_j\mathrm{Sing}(E{)}_n\to \mathrm{Sing}(E{)}_{n+1}$) 是沿着 $|{\delta }^i|:|{\Delta }^{n-1}|\to |{\Delta }^n|$(或 $|s^j|:|{\Delta }^{n+1}|\to |{\Delta }^n|$) 的拉回, 称之为 $E$ 对应的奇异单纯集. 这给出函子$$\mathrm{Sing}:\mathsf{Top}\to \mathsf{sSet}.$$

不难发现奇异集函子就正是奇异同调所使用的奇异复形.

定理 28.1.15. 几何实现是奇异集函子的左伴随, 换言之, 有一一对应其中 $X$ 为单纯集而 $E$ 为拓扑空间.

子结构

在介绍 Kan 复形之前, 我们需要介绍几个单纯集的子结构, 这样我们才能描述它

定义 28.1.16 (尖角). 对于 $0\le k\le n$ 定义 ${\Delta }^n$ 的子函子 ${\Lambda }_k^n$ 为$$({\Lambda }_k^n{)}_m:=\{f\in \mathrm{Hom}([m],[n]),\mathrm{im}(f)\not\supset [n]\setminus \{k\}\},m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$$对 $k=0,n$ 时, 分别称为左, 右尖角, 统称外尖角, 而 $1\le k\le n-1$ 时, 称为内尖角.

在 $n=2$, $k=0$ 时, 可以将标准 2-单形和 ${\Lambda }_0^2$ 表为尖角的填充可以体现出态射的结合律以及态射的可逆性, 比如说考虑以下尖角 $\sigma :{\Lambda }_0^2\to X$它进行填充所得到的结果就是 $f$ 的左逆. 再比如说考虑 ${\sigma }^{\prime }:{\Lambda }_2^3\to X$此时填充给出结合律 $(h\circ g)\circ f\simeq h\circ (g\circ f)$, 此处为同伦的填充而非严格相等. 从而不难看出

单纯集是描述内部的同伦关系的良好语言.

至于什么是从外部描述同伦关系的良好语言, 我们留到第 33 章进行说明.

28.2脉与实现

范畴的脉

本节介绍一种由范畴构造单纯集的方法, 或者说这是一种把范畴编码为单纯集的方式, 注意到范畴中对象和态射可以天然地对应于单纯集中的 $0$-单形和 $1$-单形, 而脉实际是一种模拟范畴中 (严格) 的结合律的单纯集.

定义 28.2.1 (范畴的脉). 设 $\mathcal{C}$ 为小范畴, 由此定义函子$${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set},[n]\mapsto \{\text{所有函子}[n]\to \mathcal{C}\}$$如视为单纯集, 则记为 $N\mathcal{C}$, 称之为 $\mathcal{C}$ 的脉.

指定 $N{\mathcal{C}}_n$ 中的元素相当于指定函子 $[n]\to \mathcal{C}$, 即在 $\mathcal{C}$ 中指定态射链$$(f_1,\cdots ,f_n):C_0\stackrel{f_1}{\to }{C}_1\stackrel{f_2}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{C}_n;$$因此 $N{\mathcal{C}}_0$ 可以等同于 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 而 $N{\mathcal{C}}_1$ 可以等同于 $\mathrm{Mor}(\mathcal{C})$. 面态射 $d_i:N{\mathcal{C}}_n\to N{\mathcal{C}}_{n-1}$ 和退化映射 $s_j:N{\mathcal{C}}_n\to N{\mathcal{C}}_{n+1}$ 的映法是$$d_i(f_1,\cdots ,f_n)=\{\begin{array}{ccc}& (f_2,\cdots ,f_n),& i=0\\ & (\cdots ,f_{i+1}\circ f_i,\cdots ),& 0<i<n\\ & (f_1,\cdots ,f_{n-1}),& i=n\end{array}$$$$s_j(f_1,\cdots ,f_n)=\{\begin{array}{ccc}& ({\mathrm{id}}_{C_0},f_1,\cdots ,f_n),& i=0\\ & (\cdots ,f_j,{\mathrm{id}}_{C_j},f_{j+1},\cdots ),& 0<i<n\\ & (f_1,\cdots ,f_n,{\mathrm{id}}_{C_n}),& i=n\end{array}$$脉是范畴通过组合/拓扑资料的具象化, 它包含原范畴的全部信息. 我们首先来刻画有哪些单纯集是脉, 这与后文定义拟范畴息息相关.

例 28.2.2. ${\Delta }^n$ 同构于 $[n]$ 的脉 (只需要观察到 $(N[n]{)}_m=\mathrm{Fun}([m],[n])$ 而函子 $\mathsf{PoSet}\to \mathsf{Cat}$ 全忠实即可).

命题 28.2.3 (脉的刻画). 设 $X$ 为单纯集. 以下陈述等价:

1.	存在小范畴 $\mathcal{C}$ 使得 $N\mathcal{C}\simeq X$.
2.	其具备内尖角唯一填充性质, 即对任意 $0<i<n$ 以及态射 ${\sigma }^{\prime }:{\Lambda }_i^n\to X$, 存在唯一的延拓 $\sigma :{\Delta }^n\to X$ 使得以下图表交换.
3.	对于 $n\ge 2$, 以及态射 ${\sigma }^{\prime }:I^n\to X$, 存在唯一延拓 $\sigma :{\Delta }^n\to X$ 使得下图交换.

证明.

证明.

1. $\Rightarrow$ 2.	设 $X=N\mathcal{C}$, $0<i<n$, 我们希望将 ${\sigma }^{\prime }:{\Lambda }_i^n\to X$ 进行一个延拓. 首先做一个观察: (观察) 对每个 $0\le k\le n$(或 $0<k\le n$), 态射 ${\Delta }^0\stackrel{\{k\}}{\to }{\Delta }^n$(或 ${\Delta }^1\stackrel{\{k-1,k\}}{\to }{\Delta }^n$) 通过 ${\Lambda }_i^n$ 进行分解; 它对 ${\sigma }^{\prime }$ 的像记为 $C_k\in X_0=\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$(或 $[g_k:C_{k-1}\to C_k]\in X_1=\mathrm{Mor}(\mathcal{C})$) 于是得到 $X_n$ 的元素$$C_0\stackrel{g_1}{\to }{C}_1\stackrel{g_2}{\to }\cdots \stackrel{g_n}{\to }{C}_n.$$相应的态射 ${\Delta }^n\to X$ 记为 $\sigma$. 按构造, 这是 ${\sigma }^{\prime }$ 唯一可能的延拓. 既然 ${\Lambda }_i^n={\bigcup }_{j\ne i}{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}$, 故只需要证明$$\sigma \circ d_j={\sigma }^{\prime }\circ d_j:{\Delta }^{n-1}\to X,j\ne i$$依照脉的定义, 上式归结为对所有的 $j\ne i$ 和数列 $0,\cdots ,\hat{j},\cdots ,n$(符号 $\hat{j}$ 代表删除 $j$) 的所有相邻元 $h<k$ 证明 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 沿着 ${\Delta }^1\stackrel{\{h,k\}}{\to }{\Lambda }_i^n\subset {\Delta }^n$ 有相同的拉回. ∘ 若 $k=h+1$, 则由 $\sigma$ 构造知自然有相同的拉回. 在 $j\in \{0,n\}$ 时所有相邻元 $k,h$ 均有 $k=h+1$. ∘ 若 $(h,k)=(j-1,j+1)$, 若 $n=2$, 则不存在这样的 $(h,k)$1, 若 $n>2$ 则要么有 $j-1>0$ 要么有 $j+1<n$. 当 $j-1>0$, 则 $\{j-1,j+1\}$ 分解为$${\Delta }^1\stackrel{\{j-2,j\}}{\to }{\Delta }^{n-1}\stackrel{d_0=\{1,\cdots ,n\}}{\to }{\Lambda }_i^n\subset {\Delta }^n$$由于在 $j=0$ 时已知相等, 因此拉回确实相等. 类似 $j+1<n$ 也可以进行化约为 $j=n$ 时处理.
2.$\Rightarrow$ 1.	定义范畴 $\mathcal{C}$ 使得 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})=X_0$, 而对于任意 $C,C^{\prime }\in X_0$, $${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,C^{\prime }):=\{f\in X_1:d_1(f)=C,d_0(f)=C^{\prime }\}.$$应用退化映射 $s_0:X_0\to X_1$ 将恒等态射 ${\mathrm{id}}_C$ 定义为 $S_0(C)$. 以下将态射 $f$ 图解为 $0\stackrel{f}{\to }1$, 以强调它对应于 $1$-单形 $[1]=\{0,1\}\to X$. 在 $d_0(f)=d_1(g)$ 的前提下, 态射的合成定义为 $gf=d_1(\sigma )$, 其中 $\sigma :{\Delta }^2\to X$. 是所需性质 $f\circ {\mathrm{id}}_C=f$ 和 ${\mathrm{id}}_{C^{\prime }}\circ f=f$ 分别由 $X_2$ 的以下元素所见证. 至于结合律 $h(gf)=(hg)f$, 构造 ${\sigma }^{\prime }:={\Lambda }_2^3\to X$ 使得三个面为 2它有唯一的延拓依照如上构造, 上述 $2$-单形确定了 $f$ 与 $h\circ g$ 的合成, 即 $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$(即图中 $0\to 3$ 的两种合成是一致的). 综上, $\mathcal{C}$ 是范畴有典范态射 $X\to N\mathcal{C}$, 方式为给定 ${\Delta }^n\to X$ 沿着各个 ${\Delta }^1\stackrel{\{j,j+1\}}{\to }{\Delta }^n$ 拉回以得到态射链. 由构造显然有 $X_n\to N{\mathcal{C}}_n$ 在 $n=0,1$ 时是双射. 在 $n\ge 2$ 时, 取 $0<i<n$ 并考虑图表由命题 ?? 可知 ${\Lambda }_i^n$ 可表为一族 ${\Delta }^{n-1}$ 和 ${\Delta }^{n-2}$ 的 $\mathrm{coker}$. 由 $n=0,1$ 进行递归即可得知第二行为双射, 因此图表交换.
2. $\Rightarrow$ 3.	通过对 $n$ 进行归纳来证明, 当 $n=2$ 时, $I^2:0\to 1\to 2$ 即为内尖角 ${\Lambda }_1^2$ 根据假设自然满足唯一填充性质. 接下来假设对于 $k<n$ 的情况均具有填充性质, 现在我们需要将脊 $I^n\to X$ 延拓为 ${\Delta }^n\to X$. 观察到 $I^n\cap {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 即为 $I^{n-1}$, 同理 $I^n\cap {\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}$ 也是脊. 因此根据归纳假设, 对于 $j=0,n$ 存在唯一延拓 ${\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}\to X$. 考虑两个面的交, 即为 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0,n\}}$, 再交上脊即可得到一个更小的脊, 根据假设, 两个延拓在相交处是相等的. 因此得到映射$$I^n\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}={\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}\to X$$且并起来就是 ${\Delta }^n$. 断言存在唯一延拓$${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}$$为证明断言, 先说明 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 包含 ${\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}$ 的脊: 这是因为 $2\le \le n-1$ 与 $i\to i+1$ 均在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}$ 中, 而 $0\to 2$ 在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 中 ($n\ge 3$). 因此, 由脊可以扩充出唯一的 ${\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}\to X$, 还需要证明它们在相交处$$({\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{0\}})\cap {\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}={\Delta }^{[n]\setminus \{1,n\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{0,1\}}.$$是一致的. 而在这些单形中, 映射实际上都被在它们的脊所决定, 因此得知断言成立. 进行归纳即可得到存在唯一的映射 ${\Lambda }_{n-1}^n\to X$, 而根据条件 2. 可以得知这个映射唯一延拓到 ${\Delta }^n$ 上.
3. $\Rightarrow$ 2.	考虑单纯集间的映射 $\beta :{\Lambda }_i^n\to X$, 需要说明它能够唯一地扩张到 ${\Delta }^n$ 上. 在 $n=2$ 时, $I^2:0\to 1\to 2$ 即为内尖角 ${\Lambda }_1^2$ 根据假设自然满足唯一填充性质. 考虑 $n\ge 3$ 时, 有嵌入 $I^n\hookrightarrow {\Lambda }_i^n$ 根据 3. 可知存在唯一延拓 $\alpha :{\Delta }^n\to X$. 再将这个延拓限制到 ${\Lambda }_i^n$, 我们只需要证明 $\alpha {\mid }_{{\Lambda }_i^n}=\beta$. 由于 ${\Lambda }_i^n={\bigcup }_{j\ne i}{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}$, 因此可以将问题化约到 ${\Lambda }_i^n$ 的每个面上进行证明. 不难看出$$\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}}$$由于这个单纯集的脊是脊 $I^n$ 的子集, 并且根据定义有 $\alpha {\mid }_{I^n}=\beta {\mid }_{I^n}$. 因此可以推广为$$\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}}$$还需要证明的是$$\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}}$$根据假设知 $j\ne 0,n$. 首先证明 $\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j-1,j+1\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j-1,j+1\}}}$, 根据 2. $\Rightarrow$ 3. 的讨论已然得知这些边要么在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}$ 中要么在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 中. 因此证明完成.

$\square$

注 28.2.4. 不难发现, 若要求条件 2. 的适用范围扩大到外尖角上, 则 $\mathcal{C}$ 是群胚. 只需要取 ${\Lambda }_0^2$, $K$ 为单纯集的脉, 给定映射 ${\Lambda }_0^2\to K$ 其对应于取 $C_0\to C_2=\mathrm{id}$, $C_1\to C_2=f$ 则尖角填充性质说明 $f$ 可逆.

记 $\mathsf{Cat}$ 是所有小范畴构成的范畴, 态射取为函子. 任意函子 $F:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$ 都诱导 $\mathsf{sSet}$ 中的态射 $NF:N\mathcal{C}\to N{\mathcal{C}}^{\prime },(f_1,\cdots ,f_n)\to (F{f}_1,\cdots ,F{f}_n)$, 由此定义出脉函子 $N:\mathsf{Cat}\to \mathsf{sSet}$.

推论 28.2.5. 脉函子是全忠实的.

证明. 根据命题 28.2.3 可知 $N\mathcal{C}\to N{\mathcal{C}}^{\prime }$ 自然诱导 $\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$. 不难发现与 $N$ 诱导的态射互逆, 因此为态射集间的双射, 即全忠实.

$\square$

脉与实现

本节对于几何实现进行更进一步的讨论, 我们将发现, 实现具有右伴随, 称其为广义脉, 但是在不引起歧义的情况下撑起为脉.

例:$\mathsf{sSet}$ 在 $\mathsf{Cat}$ 上的实现

事实 28.2.6. 全体小范畴构成的范畴 $\mathsf{Cat}$ 是完备且余完备的. 证明可见 [Land, Proposition 1.2.43].

定义 28.2.7. 单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 等价于全子范畴$$\iota :\mathbb{\Delta }\hookrightarrow \mathsf{Cat}.$$将 $[n]$ 等同全序范畴 $[n]=\{0\to 1\to \cdots \to n\}$. 态射则变为对应全序范畴之间的函子.

可以给出对应的广义几何实现为$$\mathbb{\Delta }\mathsf{sSet}\mathsf{Cat}y\iota |-|$$此处 $y$ 为 Yoneda 嵌入函子, 从而得到$$|X|=\underset{(n,\sigma )}{\underrightarrow{\lim }}(0\to 1\to \cdots \to n)$$我们可以更加具体的来构造这个实现.

定义 28.2.8 (同伦范畴). 令 $X$ 为单纯集, 定义范畴 $hX$ 为以下资料:

•	对象:$X_0$ 中的元素.
•	态射:$X_1$ 所生成的态射, 对于任意 1-单形 $f:{\Delta }^1\to X$, 它都被视为从 $d_1(f)$ 到 $d_0(f)$ 的态射.
•	复合: 态射的自由复合记为 $f\star g$, 商去以下关系 1. 1-单形 $s_0(x)$ 是 $x$ 的恒等态射. 2. 对于每个边界为三元组 $(f,g,h)$ 的 $2$-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$, 有 $h=g\star f$ 3. 若 $f\sim f^{\prime }$ 则 $f\star g\sim f^{\prime }\star g$ 且 $g^{\prime }\star f\sim g^{\prime }\star f^{\prime }$.

称其为 $X$ 的同伦范畴.

命题 28.2.9. 具有伴随对 $h⊣N$ $$h:\mathrm{sSet}\leftrightarrows \mathrm{Cat}:N$$其中 $N$ 为范畴的脉. 且有 $h(N(\mathcal{C}))\simeq \mathcal{C}$.

证明. [Land, Proposition 1.2.18]. 其中 $h(N(\mathcal{C}))\simeq \mathcal{C}$ 读者自证不难.

$\square$

实现与脉

现在整理一下我们现有的实现与脉并制成一表得到:

	实现	脉
$\mathsf{Cat}$	同伦范畴 $hX$	脉 $N\mathcal{C}$
$\mathsf{Top}$	几何实现 $|X|$	奇异集 $\mathrm{Sing}(E)$

不难发现, 在表格中总是有以下伴随:$$\text{实现}:\mathsf{sSet}\rightleftarrows \mathcal{D}:\text{脉}$$其中 $\mathcal{D}$ 为余完备范畴. 因此, 我们问该构造是否能够进行更一步的推广, 比如:

•	可否从 $\mathsf{sSet}$ 推广到满足某些条件的范畴 $\mathcal{C}$ 上.
•	上文所发现的伴随是否总是存在.

为解答这一问题, 我们需要引入端与余端的语言. 我们发现, 我们在构造几何实现的时候总是需要将 $\mathbb{\Delta }$ 中的构造推广到其预层范畴 $\mathsf{sSet}$ 上, 因此可以总结出以下语境

定义 28.2.10 (NR 语境). 令 $\mathcal{C}$ 为小范畴, $\mathcal{D}$ 为 (局部小的) 余完备范畴, 则任意函子 $F:\mathcal{C}\to D$ 都称为脉与实现语境 (简称 NR 语境).

给定 NR 语境 $F$, 也就相当于给定由 $\mathcal{D}$ 的余完备性可知左 Kan 延拓 ${\mathrm{Lan}}_{y}F$ 总是存在, 简记为 $|-{|}_F$, 根据余端与左 Kan 延拓的关系, 对于对象 (预层) $X\in \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\wedge })$ 可以将其写为$$|X{|}_F\simeq {\int }^C{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\wedge }}(y(C),X)\otimes FC$$

定义-命题 28.2.11 (脉-实现范式). 上述构造的 $|-{|}_F:{\mathcal{C}}^{\wedge }\to \mathcal{D}$ 称为 $\mathcal{D}$-实现函子, 它是左伴随, 称其右伴随 $N_F$ 为 $\mathcal{D}$-相容脉.

证明.

证明. 由于 $\mathsf{Set}$ 为 Cartesius 闭范畴, 并且将 $\mathcal{D}$ 视为 $\mathsf{Set}$-充实范畴为 $\mathsf{Set}$-张量的, 可以得到$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(|X|,D)& \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}\left({\int }^C{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\wedge }}(y(C),X)\otimes FC,D\right)\\ & \simeq {\int }_C{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}({\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\wedge }}(y(C),X)\otimes FC,D)\\ & \simeq {\int }_C{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}({\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\wedge }}(y(C),X),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(FC,D))\\ & \simeq {\int }_C{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(X(C),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(FC,D)).\end{array}$$定义 $N_F(D)$ 为 $C\mapsto {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(FC,D)$, 就可以得到$${\int }_C{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(X(C),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(FC,D))\simeq {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\wedge }}(X,N_F(D)).$$

$\square$

注 28.2.12 (自由余完备化). 由于 $|-{|}_F$ 作为左伴随, 因此自然保持余极限, 从而我们有等价$$h_{\mathcal{C}}^{\ast }:{\mathrm{Fun}}^{\underrightarrow{\lim }}({\mathcal{C}}^{\wedge },\mathcal{D})\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$$其中 ${\mathrm{Fun}}^{\underrightarrow{\lim }}$ 为保持余极限的函子所构成的范畴. 这也就是我们将取预层范畴 $\mathcal{C}\mapsto {\mathcal{C}}^{\wedge }$ 这一步骤称为自由余完备化中自由之意, 至于余完备化不过是在 $\mathcal{C}$ 中添加余极限的过程.

同伦

根据几何实现, 我们知道单纯集自然地对应于拓扑空间, 因此可以将同伦以及连通性概念推广过来.

定义 28.2.13 (直和项). 令 $X$ 为单纯集且 $X^{\prime }\subset X$ 为其子单纯集. 若 $S$ 可以分解为余积 $S^{\prime }\bigsqcup S^{\prime \prime }$, 其中 $S^{\prime \prime }\subset S$ 为子单纯集, 则 $S^{\prime }$ 称为 $S$ 的直和项.

通过直和项, 类比拓扑空间中连通性的定义, 可以得到单纯集连通的概念:

定义 28.2.14. 令 $X$ 为单纯集, 若 $X$ 的直和项不是自己就是空集, 则称 $X$ 是连通的.

例 28.2.15. 标准 $n$-单形 ${\Delta }^n$ 就是连通的.

定义 28.2.16 (连通分支). 令 $X$ 为单纯集. 考虑在 $0$-单形构成的 $X_0$ 上的关系 $R$: 对于顶点 $x,y\in X_0$, $xRy$ 当且仅当存在 1-单形 $f\in X_1$ 使得 $d_0(f)=x$ 且 $d_1(f)=y$(这种关系自反但是一般来说既不传递也不对称), 我们考虑由其生成的等价关系 $\sim$. 而后定义 ${\pi }_0(X)$ 为$${\pi }_0(X)=X_0/\sim$$

而后可以定义单纯集的同伦概念:

定义 28.2.17 (单纯同伦). 令 $X$ 和 $Y$ 为单纯集, $f,g:X\to Y$ 为单纯集间的态射, 则称 $f$ 与 $g$ 同伦是指其视为 $\mathrm{Fun}(X,Y)$ 中的点处于同一连通分支内.

这无异于说, 存在 $1$-单形 $\sigma :{\Delta }^1\to \mathrm{Fun}(X,Y)$ 使得 $d_0(\sigma )=f$ 而 $d_1(\sigma )=g$, 利用 $\mathsf{sSet}$ 是 Cartesius 闭的可以得到 $\mathrm{Hom}({\Delta }^1,\mathrm{Fun}(X,Y))\simeq \mathrm{Hom}(X\times {\Delta }^1,Y)$, 因此定义 28.2.17 可以描述为以下交换图表在后文中, 我们将由此给出链复形的同伦概念.

28.3Dold-Kan 对应

Moore 链复形

定义 28.3.1 (单纯 Abel 群). 单纯 Abel 群是指 Abel 群所构成的范畴 $\mathsf{A}b$ 中的单纯对象 (定义 28.1.3). 对于 $\Delta$ 中的态射 $[n]\to [m]$, 其对应单纯 Abel 群 $A_{\bullet }$ 中的群同态 $A_m\to A_n$.

由定义不难发现, 我们可以从单纯集造出单纯 Abel 群.

定义 28.3.2 (自由函子). 对于任意 $S\in \mathrm{Ob}(\mathsf{sSet})$, 定义 $\mathbb{Z}S$ 为以 $K_n$ 为基的自由 $\mathbb{Z}$-模. 由此诱导出 $\mathsf{sAb}$ 中的对象 $\mathbb{Z}S\in \mathrm{Ob}(\mathsf{sAb})$, 其上面态射与退化态射为由 $S$ 的面态射以及退化态射诱导而来.

由于这一切都是逐次数定义的, 因此自由-遗忘伴随可以逐次推广到单纯情况上, 即

命题 28.3.3 (自由-遗忘伴随). 我们有自然的伴随对 $\mathbb{Z}(-)⊣\text{遗忘}$.

对于拓扑空间 $E$, 其上具有自然的奇异集函子 $\mathrm{Sing}(E{)}_n:=\mathrm{Hom}(|{\Delta }^n|,E)$(定义 28.1.14). 现在, 考虑 $\mathbb{Z}(\mathrm{Sing}(E))$ 为其对应的单纯 Abel 群. 我们知道, 奇异集 $\mathrm{Sing}(E{)}_n$ 中的元素即为奇异 $n$-单形. 因此 $\mathbb{Z}(\mathrm{Sing}(E))$ 即为奇异 $n$-链所构成的 $\mathbb{Z}$-模 $C_n(E;\mathbb{Z})$. 接下来, 我们想试着由单纯集恢复出奇异链复形的概念, 这要求我们给出函子$$\mathsf{sAb}\to {\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathsf{Ab}).$$由于 $\Delta$ 的次数均非负, 因此考虑连通链复形 ${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})$. 首先我们给出最为直观的定义.

定义 28.3.4 (Moore 链复形). 令 $A$ 为单纯 Abel 群, 其 Moore 链复形定义为链复形 ${\mathrm{C}}_{\ast }(A)$ 使得

•	${\mathrm{C}}_n(A)=A_n$.
•	$\partial :{\mathrm{C}}_n(A)\to {\mathrm{C}}_{n-1}(A)={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i{d}_i$ 为面态射的复合.

不难发现这确实给出了函子 ${\mathrm{C}}_{\ast }:\mathsf{sAb}\to {\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathsf{Ab})$, 并且取 $A=\mathbb{Z}(\mathrm{Sing}(E))$ 时, ${\mathrm{C}}_{\ast }(A)=(C_n(E;\mathbb{Z}),\partial )$ 为奇异链复形. 而后可以由此恢复出我们所熟知的奇异同调论. 首先根据 $\mathsf{sSet}$ 的 Cartesian 闭性以及命题 28.3.3, 对于 $A\in \mathsf{sAb}$, $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}{\Delta }^n,A)=\mathrm{Hom}({\Delta }^n,A)=A_n$, 即指定 $\mathbb{Z}{\Delta }^n\to A$ 相当于指定 $A_n$ 中的元素. 此外 $\mathbb{Z}(X\times Y)=X\otimes Y$ , 其中 $(X\otimes Y{)}_n:=X_n\underset{\mathbb{Z}}{\otimes }{Y}_n$.

定义 28.3.5 (单纯集的同调). 对于单纯集 $S$ 以及任意 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 记 $H_n(S;\mathbb{Z}):=H_n({\mathrm{C}}_{\ast }(\mathbb{Z}S))$(此处 $H_n$ 为 Abel 范畴中的同调, 即 $\mathrm{coker}(\mathrm{im}{\partial }_{n+1}\to \ker {\partial }_n)=\ker {\partial }_n/\mathrm{im}{\partial }_{n+1}$). 此外还可以进行一些推广

•	可以定义系数为 $\mathbb{Z}$-模 $M$ 的同调 $H_n(S;M):=H_n({\mathrm{C}}_{\ast }(\mathbb{Z}K)\otimes M)$, 其中 $-\otimes M$ 如前文所述.
•	系数为 $M$ 的上同调定义为 $H^n({\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathrm{C}}_{\ast }(\mathbb{Z}S)),M))$, 括号内部视为复形. 根据 $\mathbb{Z}(-)$ 的泛性质可知该复形的 $n$ 次项可以等同于 $\mathrm{Hom}(S_n,M)$, 它按照逐点运算成为 $\mathbb{Z}$-模, 微分同态等同于 ${\sum }_i(-1{)}^i(d_i{)}^{\ast }$.

带入 $S=\mathrm{Sing}(E)$ 可知由此定义出的同调即为拓扑空间 $E$ 的奇异同调群, 而推广分别为拓扑空间 $E$ 的系数为 $M$ 的奇异同调群以及系数为 $M$ 的上同调. 由此提示我们以下事实

单纯集理论在思想上作为同调代数的根源.

接下来我们的目的是使得

单纯集理论在思想和技术两方面同时作为同调代数的根源.

为完成这一点, 我们需要

•	给出函子 $\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})\to \mathsf{sAb}$ 使得 $\mathrm{DK}$ 为范畴等价.
•	对于 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ , 将前文所述内容推广到其单纯对象够惨的范畴 $\mathsf{s}\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{A}$ 的连通链复形范畴 ${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$ 上.

但是若想从技术上也作为同调代数的根源, 我们首先需要注意到 Moore 链复形的局限之处: 它包含了退化单形 (即在退化态射的像中) 的信息 (因此不够好), 下面一则命题揭示了这一点.

命题 28.3.6. 令 $A$ 为单纯 Abel 群, 令 $D(A)$ 为如下定义的链复形$$D_{n+1}(A):=⟨\bigcup _i{s}_i(A_n)⟩\hookrightarrow A_{n+1}.$$为 ${\mathrm{C}}_{n+1}(A)$ 中由退化单形 (定义 28.1.8) 所生成的子群. 其内元素一般称为轻 $n$-单形. 事实上, $D_{\ast }(A)\subset {\mathrm{C}}_{\ast }(A)$ 为 Moore 复形的子复形.

证明.

证明. 只需说明 $D_{\ast }(A)$ 关于 $\partial$ 封闭即可, 对于任意 $a\in A_{n-1}$, 有$$\begin{array}{rl}\partial (s_{i}a)& =\sum _{i=0}^n(-1{)}^j{d}_j(s_{i}a)\stackrel{(-1{)}^i(d_i{s}_{i}a-d_{i+1}{s}_{i}a)=0}{=}\sum _{j\ne i,i+1}(-1{)}^j{d}_j{s}_{i}a\\ & \stackrel{\text{式}(\text{ref}公式:态射关系)}{=}\sum _{i<j-1}(-1{)}^j{s}_j{d}_{i-1}a+\sum _{i>j}(-1{)}^j{s}_{j-1}{d}_{i}a.\end{array}$$因此 $\partial s_{i}a\in D_{n-1}(A)$.

$\square$

因此我们需要模去 $D_{\ast }(A)$, 即考虑商 $(\mathrm{C}/D{)}_{\ast }(A)$ 使得

•	在 $0$ 次时 $(\mathrm{C}/D{)}_0(A):=A_0$;
•	$(\mathrm{C}/D{)}_n:={\mathrm{C}}_n(A)/D_n(A)$
•	微分同态由 $\mathrm{C}$ 和商所诱导.

但是这不大方便书写, 并且 (为将定义延拓到半单纯对象上) 我们一般不想让定义涉及到退化态射, 我们一般采用以下等价定义

定义 28.3.7 (正规化链复形). 给定单纯 Abel 群 $A$, 其正规化链复形定义为链复形 $N_{\ast }A$ 使得

•	$N_{n}A:={\bigcap }_{i=1}^n\ker [d_i:A_n\to A_{n-1}]$
•	$(NA{)}_0:=A_0$.
•	微分态射为 ${\partial }_n:=d_0{\mid }_{N_n(A)}:N_n(A)\to N_{n-1}(A)$.

不难发现有自然的态射$$N_{\ast }(A)\stackrel{i}{\to }{\mathrm{C}}_{\ast }(A)\stackrel{p}{\to }(\mathrm{C}/D{)}_{\ast }(A).$$

定理 28.3.8 ($N_{\ast }$ 与 $C/D$ 的关系). 复合 $pi:N_{\ast }(A)\to (\mathrm{C}/D{)}_{\ast }(A)$ 为自然同构.

证明.

证明. 视为定理 28.3.13 的特殊形式.

$\square$

由于 ${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})$ 为余完备范畴, 而 $N_{\ast }:\mathsf{sAb}\to {\mathsf{Ch}}_{\ge 0}$ 可以视为某种实现, 还原到 $\mathbb{\Delta }$ 上即为 $N_{\ast }:[n]\mapsto N_{\ast }(\mathbb{Z}(\Delta {)}^n)$, 因此根据命题 28.2.11 可以给出其对应脉的构造为$$\mathrm{DK}(X):[n]\mapsto {\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathsf{Ab})}(N_{\ast }(\mathbb{Z}({\Delta }^n)),X)$$让我们具体写出该构造

定义 28.3.9 (Dold-Kan 对象). 对于链复形 $X_{\ast }\in {\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})$, 按照以下方式定义 $\mathsf{sAb}$ 中的对象 $\mathrm{DK}(X)$. $$\mathrm{DK}(X{)}_n:=\underset{t:[n]\twoheadrightarrow [k]}{⨁}{X}_k.$$对于 $\Delta$ 的任意态射 $f:[m]\to [n]$, 对应的 $f^{\ast }:{\mathrm{DK}}_n(X)\to {\mathrm{DK}}_m(X)$ 相对于上述直和分解表为以下矩阵$$f^{\ast }:{\mathrm{DK}}_n(X)\to {\mathrm{DK}}_m(X)\Rightarrow ({\Phi }_{u,t}:X_k\to X_l{)}_{\begin{array}{c}u:[m]\twoheadrightarrow [l]\\ t:[n]\twoheadrightarrow [k]\end{array}},$$按照以下方式确定: 给定 $t:[n]\twoheadrightarrow [k]$, 做 $tf$ 的满-单分解(28.2)

•	若 $l=k$, 命 ${\Phi }_{u,t}=\mathrm{id}$;
•	若 $l=k-1$, 而 $v={\delta }^0$(遗漏 $0$ 的保序单射), 命 ${\Phi }_{u,t}={\partial }_k:X_k\to X_{k-1}$;
•	其余情形命 ${\Phi }_{u,t}=0$.

注意到当 $f$ 与 $t$ 给定时, 至多存在唯一的 $u$ 使得 ${\Phi }_{u,t}\ne 0$. 称其为 Dold-Kan 对象.

Dold-Kan 对象实际上是半单形 (非零序数及其间保序单射, 即去掉退化态射) ${\Delta }_{\text{单}}$ 沿着嵌入函子 ${\Delta }_{\text{单}}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\Delta }^{\mathrm{op}}$ 的左 Kan 延拓.根据命题 28.2.11, 有显然的伴随 $N_{\ast }⊣\mathrm{DK}$, 并且单位为同构 ($N_n(\mathrm{DK}(A))\simeq A_n$, 验证留作习题), 余单位刻画为对于 $t:[n]\twoheadrightarrow [k]$, 在 $\mathrm{DK}(NX{)}_n$ 中的直和项 $N_k(X)$ 上, ${\epsilon }_{X,n}$ 为 $N_k(X)\subset X_k\stackrel{t^{\ast }}{\to }{X}_n$(验证见引理 28.3.11). 事实上, 有更进一步的结果.

定理 28.3.10 (Dold-Kan 对应, 原始版本). 有伴随等价

证明.

证明. 只需要说明余单位态射 $\epsilon$ 是同构即可. 给定 $X\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{A})$, 我们来验证 ${\epsilon }_{X,n}:\mathrm{DK}({\mathrm{N}}_{\ast }(X){)}_n\to X_n$ 对于每个 $n\ge 0$ 即单又满.

单性

设 $x=(x_t{)}_t\in \mathrm{DK}({\mathrm{N}}_{\ast }(X){)}_n$, 其中 $t$ 遍历保序满射 $[n]\twoheadrightarrow [k]$. 给定 $t$, 定义保序单射$$\begin{array}{rl}s=s_t:[k]& \hookrightarrow [n]\\ i& \mapsto \min t^{-1}(i)\end{array}$$它满足 $ts={\mathrm{id}}_{[k]}$. 现在假定 $x\ne 0$, 记$$S:=\{t:x_t\ne 0\}\ne \varnothing$$取最小的 $k$ 使得存在属于 $S$ 的 $t:[m]\twoheadrightarrow [k]$, 再取如此的 $t$ 使得 ${\sum }_{i=0}^k\min t^{-1}(i)$ 尽可能小, 并构造 $s$. 现在证明 $s^{\ast }({\epsilon }_{X,n}(x))=x_t\in X_k$, 以此说明 ${\epsilon }_{X,n}(x)\ne 0$. 基于 ${\epsilon }_{X,n}$ 的具体描述, 仅需对 $t^{\prime }:[n]\twoheadrightarrow [k^{\prime }]$ 证明 $s^{\ast }(t^{\prime }{)}^{\ast }(x_{t^{\prime }})\ne 0$ 蕴含 $t=t^{\prime }$ 即可. 命 $u:=t^{\prime }s:[k]\to [k^{\prime }]$. 当 $t^{\prime }\notin S$ 时 $x_{t^{\prime }}=0$, 故假设 $t^{\prime }\in S$ 满足 $s^{\ast }(t^{\prime }{)}^{\ast }(x_{t^{\prime }})=u^{\ast }(x_{t^{\prime }})\ne 0$. 由于 $t$ 保序且为满射, 因此 $\min t^{-1}(0)=0$, 对 $t^{\prime }$ 亦然, 故 $u(0)=0$. 又由 $x_{t^{\prime }}\in {\mathrm{N}}_{k^{\prime }}(X)$ 可推知仅当 $\mathrm{im}(u)\supset \{1,\cdots ,k^{\prime }\}$ 时才能有 $u^{\ast }(x_{t^{\prime }})\ne 0$. 故假设 $u$ 为满, $k$ 的取法自然蕴含 $k^{\prime }=k$ 而 $u=\mathrm{id}$. 从而得出 $t^{\prime }(\min t^{-1}(i))=i$ 对于 $i=0,\cdots ,k$ 成立, 故 $\min (t^{\prime }{)}^{-1}(i)\le \min t^{-1}(i)$. 回顾 $t$ 的取法可知 $\min (t^{\prime }{)}^{-1}(i)=\min t^{-1}(i)$, 即 $t=t^{\prime }$. 从而 ${\epsilon }_{X,n}$ 单.

满性

通过对 $n$ 递归地证明 ${\epsilon }_{X,n}$ 满. 兹断言对所有 $0\le i\le n$ 都有$$\mathrm{im}({\epsilon }_{X,n})\supset X(i{)}_n:=\bigcap _{i<j\le n}\ker (d_j)\subset X_n$$当 $i=0$ 时 $X(i{)}_n={\mathrm{N}}_n(X)$, 上式容易从 ${\epsilon }_{X,n}$ 的具体描述中导出, 而我们的目标为 $i=n$ 的情况. 现设 $n\ge i\ge 1$ 而 $y\in X(i{)}_n$. 关于 $n-1$ 的递归假设和 ${\epsilon }_{X,n}$ 蕴含$$s_{i-1}{d}_i(y)\in s_{i-1}(\mathrm{im}({\epsilon }_{X,n-1}))\subset \mathrm{im}({\epsilon }_{X,n}).$$另一方面, 由于 $d_i{s}_{i-1}{d}_i=d_i{d}_i{s}_i=d_i$ 以及 $j>i$ 时,$d_j{s}_{i-1}{d}_i=s_{i-1}{d}_{j-1}{d}_i=s_{i-1}{d}_i{d}_j$. 因此 $y-s_{i-1}{d}_i(y)\in X(i-1{)}_n$, 由关于 $i-1$ 的递归假设可知其属于 $\mathrm{im}({\epsilon }_{X,n})$. 综上 $y\in \mathrm{im}({\epsilon }_{X,n})$. 明所欲证.

$\square$

Abel 范畴版本

取 $\mathcal{A}$ 为加性范畴, $\mathsf{s}\mathcal{A}$ 为如定义 28.1.3 所定义的加性范畴 $\mathcal{A}$ 中的全体单纯对象. 接下来我们将前文给出的构造推广到 $\mathcal{A}$ 上, 但是我们知道正规化链复形的定义依赖于核, 因此 $N$ 只有在 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴时才有定义, 而根据先前定义, $\mathrm{C}$ 和 $N$ 都可以被延拓到半单纯对象 ${\Delta }_{\text{单}}$ 的情况. 在 Abel 范畴上的版本无非是将单纯 Abel 群 $A$ 改为 $\mathcal{A}$ 的单纯对象 $X$.(定义留给读者自行推导)
需要注意的是, 在 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴时不能通过脉与实现直接得到 $N$ 与 $\mathrm{DK}$ 的伴随关系, 这是需要验证的.

引理 28.3.11. 设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, 先前定义的函子给出伴随对$$\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\leftrightarrows \mathsf{s}\mathcal{A}:{\mathrm{N}}_{\ast }$$

•	对应的单位态射 $\eta$ 为同构 ${\mathrm{id}}_{{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})}\stackrel{\sim }{\to }{N}_{\ast }\mathrm{DK}$;
•	余单位态射 $\epsilon :\mathrm{DK}{\mathrm{N}}_{\ast }\to {\mathrm{id}}_{\mathsf{s}\mathcal{A}}$ 描述如下: 给定 $t:[n]\twoheadrightarrow [k]$, 在 $\mathrm{DK}{\mathrm{N}}_n(X)$ 中相应的直和项 ${\mathrm{N}}_k(X)$ 上,${\epsilon }_{X,n}$ 是 ${\mathrm{N}}_k(X)\subset X_k\stackrel{t^{\ast }}{\to }{X}_n$.

证明.

证明. 给定 $A\in \mathrm{Ob}({\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A}))$ 和 $X\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{A})$, 首要目标是证明$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{s}\mathcal{A}}(\mathrm{DK}(A),X)\stackrel{\mathrm{N}}{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})}({\mathrm{N}}_{\ast }\mathrm{DK}(A),{\mathrm{N}}_{\ast }(X))\stackrel{{\eta }_A^{\ast }}{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})}(A,{\mathrm{N}}_{\ast }(X))$$合成为双射. 其逆的具体定义如下. 给定 $\varphi =({\varphi }_n{)}_{n\ge 0}:A\to {\mathrm{N}}_{\ast }(X)$, 定义态射$${\Phi }_m:(\mathrm{DK}A{)}_n=\underset{t:[n]\twoheadrightarrow [k]}{⨁}{A}_k\to X_n$$使得它在对应 $t:[n]\twoheadrightarrow [k]$ 的直和项上是$$A_k\stackrel{{\varphi }_k}{\to }{\mathrm{N}}_k(X)\subset X_k\stackrel{t^{\ast }}{\to }{X}_n$$的合成. 对于如上的 $t$ 和任意 $f:[m]\to [n]$ 可做 $f$ 的满-单分解 (28.2), 并考虑 $\mathcal{A}$ 中的图表左侧方块由 ${\mathrm{N}}_{\ast }(X)$ 定义可知交换性, 中间方块的交换性是显然的, 右侧由 $tf=vu$ 所确定. 取 $\varphi \mapsto \Phi$ 中取 $\varphi ={\mathrm{id}}_{{\mathrm{N}}_{\ast }(X)}$ 即可得到余单位态射.

$\square$

回忆到在 Abel 范畴中我们曾定义幂等元 $e\in \mathrm{End}(\mathcal{A})$ 为满足 $e\circ e=e^2=e$ 的态射, 并且所有幂等元均有核的具有零对象的 $\mathsf{Ab}$-范畴称为 Karoubi 范畴, 接下来介绍本节的核心定理.

定理 28.3.12 (Dold-Kan 对应, 加性版本). 对于加性范畴 $\mathcal{A}$, Dold-Kan 函子 $\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\to \mathsf{s}\mathcal{A}$ 是全忠实函子. 此外

•	若 $\mathcal{A}$ 为 Karoubi 范畴 (所有幂等元都有核), 则 $\mathrm{DK}$ 为范畴等价.
•	若 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, 则 $N$ 为 $\mathrm{DK}$ 的逆, 即 $\mathrm{DK}$ 与 $N$ 构成伴随等价, 此时含入态射 $N_{\ast }\hookrightarrow {\mathrm{C}}_{\ast }$ 为链同伦等价.

证明.

证明. 对于 Abel 群预层范畴 $\mathrm{Fun}({\mathcal{A}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab})$, 逐对象的 (化约到 $\mathsf{Ab}$ 上) 使用定理 28.3.10 可知 $\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathrm{Fun}({\mathcal{A}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab}))\stackrel{\sim }{\to }\mathsf{s}\mathrm{Fun}({\mathcal{A}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ab})$ 为范畴等价. 因此考虑交换图表根据充实于 $\mathsf{Ab}$ 版本的 Yoneda 引理 (引理 ??) 可知纵向箭头总是全忠实的, 而底部箭头为等价, 因此 $\mathrm{DK}:{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\to \mathsf{s}\mathcal{A}$ 是全忠实的. 而后来证明本质满, 不难发现对于 $X\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{A})$ 其落在 $\mathrm{DK}$ 的本质像中当且仅当 $N_n(h_{\mathcal{A}}^{\mathsf{Ab}}(X))$ 可表. 注意到 $N_n(h_{\mathcal{A}}^{\mathsf{Ab}}(X))$ 是 $\mathrm{DK}(N_{\ast }(h_{\mathcal{A}}^{\mathsf{Ab}}(X)))\simeq h_{\mathcal{A}}^{\mathsf{Ab}}(X_n)$ 的直和项, 而 $h_{\mathcal{A}}^{\mathsf{Ab}}$ 保有限直和, 而 $\mathcal{A}$ 幂等完备时可知此时可表预层的直和项可表, 从而 $\mathrm{DK}$ 本质满, 即为范畴等价. 而当 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴时, 引理 28.3.11 说明 $N_{\ast }$ 与 $\mathrm{DK}$ 互为伴随, 因此为伴随等价.

$\square$

回忆到在定理 28.3.8 中我们提到 $N_{\ast }\simeq (\mathrm{C}/D{)}_{\ast }$, 那么在 Karoubi 范畴时, 该定理是否仍然成立? 答案是肯定的. 对于 Karoubi 范畴 $\mathcal{A}$ 以及 $X\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{A})$, 有图表交换并且 $(s_i{)}_{i=1}^{n-1}$ 余核均存在 (Karoubi 范畴性质), 不难发现其为 $X_n/\left({\sum }_{i=1}^{n-1}\mathrm{im}(s_i)\right)$(即与前文是一致的). 定理 28.3.8 就转化为

定理 28.3.13. 有典范同构 $\mathrm{coker}(s_i{)}_{i=1}^{n-1}$ 存在并且典范同构于 $N_n(X)$. 相应的合成 $v_n:X_n\twoheadrightarrow \mathrm{coker}((s_i{)}_{i=1}^{n-1})\stackrel{\sim }{\to }{N}_n(X)$, 则其给出 $v:{\mathrm{C}}_{\ast }(X)\to N_{\ast }(X)$, 对于 $X$ 具有函子性, 并且对于自然嵌入 $u:N_{\ast }(X)\hookrightarrow {\mathrm{C}}_{\ast }(X)$ 有 $vu={\mathrm{id}}_{N_{\ast }(X)}$.

证明.

证明. 由定理 28.3.12 不妨设 $X=\mathrm{DK}A$, 其中 $A\in \mathrm{Ob}({\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A}))$. 于是 $(s_i{)}_{i=1}^{n-1}$ 变为$$\underset{0\le i<n}{⨁}\underset{t:[n-1]\twoheadrightarrow [k]}{⨁}{A}_k\to \underset{t^{\prime }:[n]\twoheadrightarrow [k]}{⨁}{A}_k.$$仔细观察发现在第 $i$ 个分量时, 这对应回 $\Delta$ 是取 $[n]\stackrel{{\sigma }^i}{\to }[n-1]\stackrel{t}{\to }[k]$ 的合成, 仍为保序满射, 记为 $t^{\prime }$, 而 $A_k$ 变为右侧 $A_k$(保持不变). 注意到当且仅当 $k<n$ 时 $t^{\prime }$ 来自于这样的 $(i,t)$. 根据 $N$ 与 $\mathrm{DK}$ 的伴随中的单位 $\eta :{\mathrm{id}}_{{\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A})}\stackrel{\sim }{\to }{N}_{\ast }\mathrm{DK}$, 可以定义 $v_n:{\mathrm{C}}_n(\mathrm{DK}A)=(\mathrm{DK}A{)}_n\stackrel{\text{投影}}{\to }{A}_n\underset{\sim }{\overset{\eta }{\to }}{N}_n(\mathrm{DK}A)$, 因此$$[\text{商}:\mathrm{DK}(A{)}_n\to \mathrm{coker}((s_i{)}_{i=1}^{n-1})]\simeq [v_n:\mathrm{DK}(A{)}_n\twoheadrightarrow N_n(\mathrm{DK}A)].$$展开定义, 发现 $v_n{u}_n={\mathrm{id}}_{N_n(\mathrm{DK}A)}$. 关于 $v_n$ 给出 $v:{\mathrm{C}}_{\ast }(A)\to N_{\ast }(A)$ 无非是考虑图表函子性留作习题.

$\square$

进一步, 可以发现

命题 28.3.14. $u:N_{\ast }(X)\to {\mathrm{C}}_{\ast }(X)$ 以及 $v:{\mathrm{C}}_{\ast }(X)\to N_{\ast }(X)$ 为拟同构.

证明. 暂时略过.

$\square$

由此我们可以说明

单纯集理论在思想和技术两方面同时作为同调代数的根源.