29. 单纯集看同调代数

双单纯集, 双复形, 幺半结构

接下来我们讨论 $X={\Delta }^p$ 和 $Y={\Delta }^q$ 时所对应的 ${\Delta }^p\times {\Delta }^q$, 比方说, 如何分类 ${\Delta }^p\times {\Delta }^q$ 上的非退化单形? 问题的答案非但有助于理解积的几何实现, 相关构造也是之后需要的.
首先, 任两个偏序集 $S_1$ 和 $S_2$ 的积 $S_1\times S_2$ 通过 $(a_1,a_2)\le (b_1,b_2)\iff a_1\le b_1,a_2\le b_2$ 成为偏序集, 这也相当于取它们对应范畴的积.

定义 29.0.1. 设 $p,q\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$. 所谓 $(p,q)$-重组, 意谓保序单射 $\sigma :[p+q]\to [p]\times [q]$.

对任意 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 指定保序映射 $[n]\to [p]\times [q]$ 相当于指定一对保序映射 ${\sigma }_{-}:[n]\to [p]$ 以及 ${\sigma }_{+}:[n]\to [q]$; 也相当于指定 ${\Delta }^p\times {\Delta }^q$ 的一个 $n$-单形. 要求 $i\mapsto ({\sigma }_{-}(i),{\sigma }_{+}(i))$ 的轨迹不停顿 ($i=0,\cdots ,n$). 对于 $n=p+q$ 时可以图解为于是对于 $(p,q)$-重组 $\sigma$ 可以定义$$\begin{array}{rl}{I}_{\pm }& :=\{1\le i\le p+q:{\sigma }_{\pm }(i-1)<{\sigma }_{\pm }(i)\}\\ & =\{1\le i\le p+q:{\sigma }_{\pm }(i-1)={\sigma }_{\pm }(i)-1\}\\ & =\{1\le i\le p+q:{\sigma }_{\mp }(i-1)={\sigma }_{\mp }(i)\},\end{array}$$它们满足 $I_{+}\bigsqcup I_{-}=\{1,\cdots ,p+q\}$. 子集 $I_{+}$(或 $I_{-}$) 如上图的向上 (或向右) 部分, 故 $(p,q)$-重组的另一种观点是视其为 $p$ 个 $\to$ 以及 $q$ 个 $\uparrow$ 的排列, 不难发现有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q}{p}\right)$ 种. 这些观察顺带说明 ${\sigma }_{+}$ 和 ${\sigma }_{-}$ 对于 $(p,q)$-重组是保序满射.

命题 29.0.2. 设 $p,q\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$. 考虑 ${\Delta }^p\times {\Delta }^q$ 的 $n$-单形, 亦即保序映射 $\sigma :[n]\to [p]\times [q]$. 命 $(p_i,q_i):=\sigma (i)$, $(p^{\prime },q^{\prime }):=(p_n-p_0,q_n-q_0)$, 则 $\sigma$ 非退化当且仅当下述条件成立

1.	$p^{\prime }+q^{\prime }=n$;
2.	$\sigma$ 分解为 $(p^{\prime },q^{\prime })$-重组 ${\sigma }^{\prime }:[n]\to [p^{\prime }]+[q^{\prime }]$ 和形如 $f\times g$ 的保序单射 $[p^{\prime }]\times [q^{\prime }]\hookrightarrow [p]\times [q]$.

证明. 让 $\sigma$ 对应到保序映射对 $({\sigma }_{-},{\sigma }_{+})$. 不难发现 $\sigma$ 非退化相当于说 $i\mapsto (p_i,q_i)$ 的轨迹不停顿. 因此命题是自明的.

$\square$

基于非退化单纯形的描述, 读者不妨发挥想象力揣摩 $|{\Delta }^p\times {\Delta }^q|\simeq |{\Delta }^p|\times |{\Delta }^q|$ 在 $(p,q)=(1,1)$ 和 $(2,1)$ 时的道理. 例如下图是将 $|{\Delta }^2|\times |{\Delta }^1|$ 剖分为 $3$ 个四面体的结果, 对应于 $3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)$ 个 $(2,1)$-重组.

定义 29.0.3. 设 $\sigma$ 为 $(p,q)$-重组, 其符号定义为$$\mathrm{sgn}(\sigma ):=(-1{)}^{|I_{\sigma }|},I_{\sigma }:=\{(i,j)\in I_{-}\times I_{+}:i>j\}.$$

若将 $\sigma$ 视同 $p$ 个 $\to$ 以及 $q$ 个 $\uparrow$ 的排列, 则 $I_{\sigma }$ 就是所有出现 “错排”$(\uparrow ,\to )$ 的数对 $(j,i)$ 其中 $j<i$. 简单的组合学练习告诉我们存在唯一的 $\tau \in {\mathfrak{S}}_{p+q}$ 将这般排列还原为形如 $\to \cdots \to \uparrow \cdots \uparrow$ 的样式, 而不打乱 $I_{+}$ 和 $I_{-}$ 内部的顺序, 而上述定义相当于说 $\mathrm{sgn}(\sigma )=\mathrm{sgn}(\tau )$.
对于 $(p,q)$-重组 $\sigma$, 调换 ${\sigma }_{-}$ 和 ${\sigma }_{+}$ 的角色给出 $(q,p)$-重组 ${\sigma }^{\prime }$. 上述诠释和基本的组合学论证表明$$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{pq}\mathrm{sgn}({\sigma }^{\prime })$$准此要领, 类似地定义 $(p,q,r)$-重组为保序单射 $\sigma =({\sigma }_{-},{\sigma }_0,{\sigma }_{+}):[p+q+r]\to [p]\times [q]\times [r]$, 或理解为三维空间中向右 $\to$, 向前 $\nearrow$ 以及向上 $\uparrow$ 的排列. 同样的组合学练习表明若 $(p,q,r)$-重组 $\sigma$ 有分解 ¹$$[p+q+r]\stackrel{{\sigma }_1}{\to }[p+q]\times [r]\stackrel{{\sigma }_2\times {\mathrm{id}}_{[r]}}{\to }[p]\times [q]\times [r]$$则 ${\sigma }_1$ 是 $(p+q,r)$-重组,${\sigma }_2$ 是 $(p,q)$-重组, 而且$$\mathrm{sgn}(\sigma )=\mathrm{sgn}({\sigma }_1)\mathrm{sgn}({\sigma }_2)$$由此可以给出 $n$-重单纯对象. 今后, 对 $\Delta$ 的一族对象 $[m_1],\cdots ,[m_n]$, 今后将 $(\Delta {)}^n$ 中的对象 $([m_1],\cdots ,[m_n])$ 另记为 $[m_1]\times \cdots \times [m_n]$ 以便排版.

定义 29.0.4. 设 $\mathcal{C}$ 为任意范畴, $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$. 形如 $X:({\Delta }^{\mathrm{op}}{)}^n\to \mathcal{C}$(或 ${\Delta }^n\to \mathcal{C}$) 的函子称为 $\mathcal{C}$ 中的 $n$ 重单纯对象 (或 $n$ 重余单纯对象); 态射理解为它们作为函子的态射. 当 $n=2$ 时, 相应的对象称为双单形 (或双余单形) 对象. 我们将 $n$ 重单纯对象 (或 $n$ 重余单纯对象)$X$ 在 $[m_1]\times \cdots \times [m_n]$ 处的取值记为 $X_{m_1,\cdots ,m_n}$(或 $X^{m_1,\cdots ,m_n}$).

因此 $n$ 重单纯对象由一族对象 $X_{m_1,\cdots ,m_n}$(其中 $m_1,\cdots ,m_n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$) 连同其间的面态射$${}^k{d}_i:X_{m_1,\cdots ,m_n}\to X_{\cdots ,m_k-1,\cdots },1\le k\le n,0\le i\le m_k$$和退化态射$${}^k{s}_j:X_{m_1,\cdots ,m_n}\to X_{\cdots ,m_k+1,\cdots },1\le k\le n,0\le j\le m_k$$确定, 条件是这些态射需要满足公式 (28.1), 这无非是定义 28.1.3 的推广.
继续推而广之, 对于 ${\Delta }^n$ 中的任意态射 $f:[m_1]\times \cdots \times [m_n]\to [m_1^{\prime }]\times \cdots \times [m_n^{\prime }]$, 具有相应的拉回 $f^{\ast }:X_{m_1,\cdots ,m_n}\to X_{m_1^{\prime },\cdots ,m_n^{\prime }}$. 至于余单纯对象的情况不过对偶.

例 29.0.5 (标准 $n$ 重单形). 取 $\mathcal{C}=\mathsf{Set}$, 则可以定义标准 $n$ 重单形$${\Delta }^{p_1,\cdots ,p_n}:={\mathrm{Hom}}_{{\Delta }^n}(-,[p_1]\times \cdots \times [p_n])$$

在 $\mathcal{C}$ 为小范畴的前提下, 所有 $n$ 重单纯对象构成范畴记为 ${\mathsf{s}}^n\mathcal{C}$. 于是 ${\mathsf{s}}^1\mathcal{C}=\mathsf{s}\mathcal{C}$. 而当 $n>1$ 时有 ${\mathsf{s}}^n\mathcal{C}=\mathsf{s}({\mathsf{s}}^{n-1}\mathcal{C})={\mathsf{s}}^{n-1}(\mathsf{s}\mathcal{C})$ 等等; $n$ 重余单纯对象的情形以此类推.

定义 29.0.6 (对角函子). 对角函子 $\delta :{\mathsf{s}}^n\mathcal{C}\to \mathsf{s}\mathcal{C}$ 映 $n$ 重单纯对象 $X$ 为单纯对象$$\delta (X{)}_m:=X_{m,m,\cdots ,m}$$其上的面态射和退化态射按 $d_i={{\prod }_k}^k{d}_i$ 和 $s_j={{\prod }_k}^k{s}_j$ 定义. 在态射层次上的定义是自明的; 等价的说法是 $\delta (X)$ 定义为 $X$ 和对角嵌入 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\hookrightarrow ({\Delta }^{\mathrm{op}}{)}^n$ 的合成, 余单纯对象的情况是完全对偶的.

例 29.0.7. 取 $(\mathcal{C},\otimes )$ 为幺半范畴, 譬如 $\mathsf{Set}$ 相对于积 $\times$. 对于 $X_1,\cdots ,X_n\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{C})$, 按自明的方式可以定义 ${\mathsf{s}}^n\mathcal{C}$ 中的对象, 使得其 $(m_1,\cdots ,m_n)$ 次项为 $X_{1,m_1}\otimes \cdots \otimes X_{n,m_n}$. 记此 $n$ 重单纯对象为$$X_1⊠\cdots ⊠X_n\in \mathrm{Ob}({\mathsf{s}}^n\mathcal{C})$$该定义不应与定义 28.1.5 中的 $X_1\otimes \cdots \otimes X_n\in \mathrm{Ob}(\mathsf{s}\mathcal{C})$ 混淆, 两者的关联是$$X_1\otimes \cdots \otimes X_n=\delta (X_1⊠\cdots ⊠X_n)$$一个基本的例子是取幺半范畴 $(\mathsf{Set},\times )$, 此时 ${\Delta }^{p_1}⊠\cdots ⊠{\Delta }^{p_n}={\Delta }^{p_1,\cdots ,p_n}$ 而 ${\Delta }^{p_1}\otimes \cdots \otimes {\Delta }^{p_n}={\Delta }^{p_1}\times \cdots \times {\Delta }^{p_n}$(逐项取积给出的单形).

本节主要聚焦于双单纯集的情况. 首先, 我们将 Moore 链复形推广到双单纯集之上. 根据我们前文的定义, 在双单纯集之上具有两个维度, 因此为方便处理, 对于面态射改用以下符号$${}^{⊳}{d}_i{:=}^1{d}_i{,}^{△}{d}_i{:=}^2{d}_i$$将退化态射改用以下符号$${}^{⊳}{s}_j{:=}^1{s}_j{,}^{△}{s}_j{:=}^2{s}_j$$这无异于说将双单纯集平铺在二维平面上进行表示. 三角形所指向的方向即为态射的方向 (分别称为水平 $⊳$ 和垂直 $△$ 方向). 这样我们可以定义出其对应的二维的链复形, 称为双复形. 这无非是对于水平和垂直方向分别造 Moore 链复形.

定义 29.0.8 (Moore 链双复形). 设 $\mathcal{A}$ 为加性范畴, $X\in {\mathsf{s}}^2\mathcal{A}$ 为双半单纯对象. 其对应的 Moore 链双复形是 $(X_{p,q}{)}_{p,q\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 连同信息$$\begin{array}{rl}{}^{⊳}{\partial }_{p,q}& :=\sum _{i=0}^p(-1{)}^{i⊳}{d}_i:X_{p,q}\to X_{p-1,q},\\ {}^{△}{\partial }_{p,q}& :=\sum _{i=0}^q(-1{)}^{i△}{d}_i:X_{p,q}\to X_{p,q-1}.\end{array}$$依照惯例, $(p,q)\notin {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^2$ 时, $X_{p,q}:=0$. 由此得到的链双复形记为 ${\mathrm{C}}^{2}X$.

不难验证该结构无论是水平方向还是垂直方向都可以构成链复形, 因此称这种结构为双链复形. 将上述定义进行推广, 得到

定义 29.0.9 (双链复形). 加性范畴 $\mathcal{A}$ 上的双链复形意谓 $\mathcal{A}$ 中的一族对象 $(X_{p,q}{)}_{(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2}$, 连同态射 ${}^{⊳{\partial }_{p,q}}:X_{p,q}\to X_{p-1,q}$ 和 ${}^{△}{\partial }_{p,q}:X_{p,q}\to X_{p,q-1}$, 满足于$${}^{⊳}{\partial }_{p,q}{}^{⊳}{\partial }_{p+1,q}=0,{}^{△}{\partial }_{p,q}{}^{△}{\partial }_{p,q+1}=0,$$且具有以下交换图表上述信息可以记为 $(X_{\ast ,\ast }{,}^{⊳}\partial {,}^{△}\partial )$.

那么双链复形可以表为还可以定义它们之间的态射, 这相当于在两个网格之间以下述方块的形式进行连接归结如下:

定义 29.0.10. 给定加性范畴 $\mathcal{A}$ 从双链复形 $Y$ 到 $X$ 的态射意谓一族态射$$f=(f_{p,q}:Y_{p,q}\to X_{p,q}{)}_{(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2}.$$使得对于所有 $p,q$ 都有$${}^{⊳}{\partial }_{(p+1,q),X}\circ f_{p+1,q}=f_{p,q}{}^{⊳}{\partial }_{p+1,q,Y},{}^{⊳}{\partial }_{(p,q+1),X}\circ f_{p,q+1}=f_{p,q}{}^{△}{\partial }_{p,q+1,Y}.$$上述关系可以简写为 ${}^{⊳}{\partial }_{X}f=f{}^{⊳}{\partial }_Y$ 以及 ${}^{△}{\partial }_{X}f=f{}^{△}{\partial }_Y$

双链复形所构成的范畴记为 ${\mathsf{Ch}}^2(\mathcal{A})$. 很显然, ${\mathrm{C}}^{2}X\in \mathrm{Ob}({\mathsf{Ch}}^2(\mathcal{A}))$. 从而, 我们得到加性函子$${\mathrm{C}}^2:{\mathsf{s}}^2\mathcal{A}\to {\mathsf{Ch}}^2(\mathcal{A})$$而后, 对于 Moore 双链复形, 不难发现我们可以通过取对角线的方式将其自然转化为链复形.$$(\mathrm{tot}X{)}_n:=\underset{p+q=n}{⨁}{X}_{p,q},(\mathrm{tot}X{)}_n(\mathrm{tot}X{)}_{n-1}{X}_{p,q}{X}_{p-1,q}\oplus X_{p,q-1}{\partial }_n{(}^{⊳}{\partial }_{p,q},(-1{)}^{p△}{\partial }_{p,q})$$验证其确实为链复形只需依照定义写出 ${\partial }_{n-1}{\partial }_n$ 即可. 让我们如上图一般拉回到 $X_{p,q}$ 上, 可以得到$${\partial }_{n-1}{\partial }_n:X_{p,q}\to X_{p-2,q}\oplus X_{p-1,q-1}\oplus X_{p,q-2}$$而具体写开后有$${\partial }_{n-1}{\partial }_n={(}^{⊳}{\partial }_{p-1,q}\circ {}^{⊳}{\partial }_{p,q},(-1{)}^p{{}^{⊳}{\partial }_{p,q-1}}^{△}{\partial }_{p,q}+(-1{)}^{p-1}{}^{△}{\partial }_{p-1,q}{}^{⊳}{\partial }_{p,q},(-1{)}^{2p-1}{}^{⊳}{\partial }_{p,q-1}{}^{⊳}{\partial }_{p,q})=(0,0,0)$$从而确实为链复形. 读者也可以借此领会为何非要加上 $(-1{)}^p$. 当然, 我们可以如法炮制出函子 ${\mathrm{C}}^n:{\mathsf{s}}^n\mathcal{A}\to {\mathsf{Ch}}^n(\mathcal{A})$.
现在我们有 (未必交换的) 图表接下来的主题在于研究

$\mathrm{tot}\circ {\mathrm{C}}^2$ 与 $\mathrm{C}\circ \delta$ 的关系.

这有助于阐释全链复形 (以及全复形) 的构造意义以及.

例 29.0.11. 若 $\mathcal{A}$ 具有幺半加性范畴结构, 即使得函子 $\otimes :\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 对于每个变元均为加性函子. 若 $C_1,C_2\in \mathrm{Ob}({\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathcal{A}))$, 可以自然地构造出双链复形 $C_1⊠C_2$. 其 $(p,q)$ 次项为

同伦

映射锥