30. 线性代数 II-导出范畴

30.1目标以及部分问题的回答

本节的目标是在 $1$-范畴上搭建一种对于研究同调更加方便的结构, 首先我们来说明什么是 “更加方便” 的结构, 不难发现在研究同调时我们所能够直接获取到的信息是链复形的同调, 而拟同构的链复形具有相同的同调, 因此我们自然地想到能否将拟同构视为真正的同构? 这就需要我们对于 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 上的链复形 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 关于其上的拟同构进行局部化 (范畴论), 记为 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathsf{Qis}}^{-1}]$. 具体见对应词条, 不过此时会具有问题:

1.	不好刻画局部化后的东西,
2.	局部化可能会让范畴不再是局部小的 (即 $\mathrm{Hom}(x,y)$ 可能超过宇宙).

这种情况具有三种解决方式, 本章先来介绍使用三角范畴 (1-范畴) 的处理方式, 至于更为合理的处理方式 (模型范畴与 $\infty$-范畴) 留待下一章.

为什么需要使用链复形?

在上述的讨论中, 可能有读者会好奇为什么我们需要对于链复形进行讨论而非直接对于同调进行讨论. 原因在于链复形是保持同调信息的良好手段, 举例明之, 假设我们有同调 $H_{\ast }$, 现在我们想来定义上同调 $H^{\ast }$, 我们当然不会定义其为$$H^{\ast }=\mathrm{Hom}(H_{\ast },\mathbb{Z})$$这是因为 $\mathrm{Hom}(-,\mathbb{Z})$ 破坏了挠信息, 并且这样你再对偶一次所得到的东西不再是同调. 而对于链复形进行对偶则可以解决这一问题. 我们将这一哲学思想称为

Complexes good, (co)homology bad.

本章构造中将出现的问题

本章所搭建的导出范畴理论是不够完备并且具有较大问题的, 比如说

1.	就三角范畴公理而言, 任意态射 $f:X\to Y$ 应当都能扩充为形如 $X\stackrel{f}{\to }Y\to Z\to TX$ 的好三角, 这般好三角精确到同构是唯一的, 但不是代数学中习见的 “精确到唯一同构”.
2.	$\mathsf{hCh}(\mathcal{A})$ 不是 Abel 范畴 (比如取 $\mathcal{A}=\mathsf{Ab}$, 考虑态射 $f:\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, 其中 $p$ 为素数, 具体见 MathOverflow), 它缺少核与余核, $\underrightarrow{\lim }$ 以及 $\underleftarrow{\lim }$ 的操作寸步难行; 映射锥虽然能为此提供同伦意义的替代品. 但是它在导出范畴的唯一性却成问题.
3.	导出范畴层次的导出函子尽管有清晰的定义, 但是缺乏简单的刻画.

这些问题将在下一章中得到解决, 彼时我们将发现部分三角范畴结构 (注意并非全部, 不过涉及导出的部分必然是) 会是稳定 $(\infty ,1)$-范畴的投影. 因此本节不会对于三角范畴进行深入探索.

为什么需要导出范畴

在代数几何中, 我们需要使用层上同调这一工具来进一步研究概形中的一些代数不变量. 我们将在后文中对其进行具体的介绍.

30.2消解

30.3导出函子

30.4三角

虽然这一结构在目前使用导出范畴的人眼中是不够完善也不够重要的, 但是本节还是稍微对其进行刻画, 我们将不会对其内容进行深究.

30.5导出范畴