31. 无穷范畴速览

约定. 在本文中,

• $\infty$-范畴均指$(\infty ,1)$-范畴.
• $\mathbb{\Delta }$ 为单形范畴. 其对象为全序集 $[n]=\{0<1<\cdots <n-1<n\}$, 态射为 $[m]$ 到 $[n]$ 的保序映射.
• $\mathsf{sSet}$ 为单纯集范畴, 即单形预层范畴 $\mathrm{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$, $\mathsf{Ani}$ 为生象范畴.${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 表示由 $\infty$-范畴构成的 $(\infty ,1)$-范畴.
• 有时候会省略脉.
• 不必害怕 $\infty$-范畴, 你不怕它, 它就怕你.

本章为速速又速速的 $\infty$-范畴速览.

31.1基础定义

定义 31.1.1 (生象, $\infty$-范畴).

•	令 $X$ 为一个单纯集. 若所有的尖角均可填充, 即对于 $0\le i\le n$ 以下图表交换. 则称 $X$ 为生象 (或 $\infty$-群胚, 空间, Kan 复形).
•	$\infty$-范畴 (或拟范畴) 是一个满足以下性质的单纯集 $X$: 对任意的 $0<i<n$ 以及任意单纯集间的映射 ${\Lambda }_i^n\to X$, 都可以填充为 $f:{\Delta }^n\to K$.

此时, 称 0-单形为对象, 而 1-单形为态射.

分别记生象和 $\infty$-范畴所生成的 $\mathsf{sSet}$ 的全子范畴为 $\mathsf{Kan}\subset \mathsf{QCat}\subset \mathsf{sSet}$. 包含函子 $\mathsf{Kan}\hookrightarrow \mathsf{QCat}$ 具有右伴随 $(-{)}^{\simeq }$, 它将 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 映为其包含的极大子 $\infty$-群胚 (称为核). $\infty$-范畴作为单纯集之间的态射称为 $\infty$-范畴的函子 (对于单纯集 $S$ 到 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的态射, 一般称为图表), 记 $\mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D}):={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(\mathcal{C},\mathcal{D})$(单纯集到 $\infty$-范畴的全体图表也记为 $\mathrm{Fun}(S,\mathcal{C})$) 则根据 $\mathsf{sSet}$ 为 Cartesian 闭范畴有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\Delta }^n,\mathrm{Fun}(X,Y))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\Delta }^n\times X,Y)\simeq \mathrm{Fun}(X,Y{)}_n$. 并且有以下重要命题.

命题 31.1.2.

•	若 $Y$ 为 $\infty$-范畴, 则 $\mathrm{Fun}(X,Y)$ 为 $\infty$-范畴.
•	若 $Y$ 为生象, 则 $\mathrm{Fun}(X,Y)$ 为生象.

证明. [Kerodon, 0066,00TN].

$\square$

定义 31.1.3 (同构). 称 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的态射为同构是指其在同伦范畴 $h\mathcal{C}$ 上为同构.

取 $\mathcal{D}=\mathsf{sSet}\text{-}\mathsf{Cat}$ 为充实于单纯集的范畴 (简称单纯范畴) 所构成的范畴, 所 (定义 28.2.11) 得到的实现即为道路范畴 $\mathrm{Path}(-)$¹([Kerodon, 00L2]), 而脉称为同伦脉 $N^{\mathrm{hc}}$ ([Kerodon, 00KS]).

命题 31.1.4 (Cordier-Porter). 充实于 Kan 复形的范畴 (简称局部 Kan 单纯范畴) 的同伦脉为 $\infty$-范畴.

证明. [Kerodon, 00LJ].

$\square$

定义 31.1.5 (生象范畴与 $\infty$-范畴构成的 $\infty$-范畴).

•	对于全子范畴 $\mathsf{Kan}\subset \mathsf{sSet}$, 由命题 31.1.2 可知其为局部 Kan 单纯范畴, 记$$\mathsf{Ani}:=N^{\mathrm{hc}}\mathsf{Kan}$$为生象范畴, 即 (小) 生象所构成的 $\infty$-范畴. 在部分文献中, $\mathsf{Ani}$ 也写为 $\mathcal{S}$ (多见于称 Kan 复形为空间时). 有全忠实的嵌入 $\mathsf{Set}\hookrightarrow \mathsf{Ani}$, 并且其具有左伴随, 将生象 $X$ 映为其连通分支 ${\pi }_0(X)$.
•	同样地, 对于全子范畴 $\mathsf{QCat}\subset \mathsf{sSet}$, 可知取其函子范畴的核 $\mathrm{Fun}(X,Y{)}^{\simeq }$ 为 Kan 复形, 因此得到$${\mathsf{Cat}}_{\infty }:=N^{\mathrm{hc}}(\mathsf{QCat})$$为 (小) $\infty$-范畴所构成的 $\infty$-范畴.

31.2模型结构

注 31.2.1. 初学者可跳过这一部分.

为研究 Kan 复形和 $\infty$-范畴的同伦架构, 选定方便的空间范畴为单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$². 根据 Kan 复形的定义, 可以轻松得到 Kan 复形上的模型结构, 本文将其与拓扑空间的 Quillen 模型结构放于一起进行类比, 以 ${\chi }_L(S)$ 表示对于 $S$ 具有左提升性质的态射集, ${\chi }_R(S)$ 表示对于 $S$ 具有右提升性质的态射集, $\chi (S)={\chi }_L({\chi }_R(S))$.

定义 31.2.2 (Kan-Quillen 模型结构). 在 $\mathsf{sSet}$ 上的 Kan-Quillen 模型结构定义为

•	$\mathsf{W}=\{\text{弱同伦等价}\}$3, 即几何实现的弱同伦等价, $(X\stackrel{f}{\to }Y)\in \mathsf{W}$ 当且仅当对于任意 Kan 复形 $Z$, 前复合上 $f$ 给出双射 ${\pi }_0(\mathrm{Fun}(Y,Z))\to {\pi }_0(\mathrm{Fun}(X,Z))$.
•	纤维化 $\mathsf{Fib}$ 为 Kan 纤维化, 即对于任意 $0\le k\le n$, 尖角 ${\Lambda }_k^n\hookrightarrow {\Delta }^k$ 具有右提升性质的态射 $f:X\to Y$, 图解为

所生成的模型结构, 此时纤维性对象为 Kan 复形.

命题 31.2.3. 对于 Kan-Quillen 模型结构, 其平凡纤维化为使得以下图表具有提升性质的 $f:X\to Y$. 称其为平凡 Kan 纤维化.

命题 31.2.4. 对于 Kan-Quillen 模型结构, 其余纤维化为单纯集的全体单态射.

证明. [Kerodon, 006Y].

$\square$

定理 31.2.5 (同伦假设). 有 Quillen 等价

证明. [Kerodon, 012Z].

$\square$

由此可以给出以下定义

定义 31.2.6 (可缩). 称生象 $X$ 是可缩的, 指投射 $X\to {\Delta }^0$ 是平凡 Kan 纤维化.

由 Kan-Quillen 模型结构可以给出单纯范畴的 Dwyer-Kan-Bergner 模型结构

定义 31.2.7 (同纤维化). 范畴间的同纤维化是指函子 $p:E\to B$, 满足对于任意 $e\in E$ 以及同构 $\varphi :p(e)\simeq b$ 都存在同构 $\psi :e\simeq e^{\prime }$ 使得 $p(\psi )=\varphi$.

定义 31.2.8 (Dwyer-Kan 等价). 单纯范畴之间的单纯函子 ($\mathsf{sSet}$-充实函子) $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 称为是 Dwyer-Kan 等价, 指

•	限制在其同伦范畴 (对于 $\mathrm{Hom}$ 单纯集取连通分支) 是本质满的.
•	它是 $\infty$-全忠实的, 即对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$ 有$$F_{X,Y}:{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(FX,FY)$$为弱同伦等价.

不难发现识别局部 Kan 的单纯范畴的方式是在 $\mathrm{Hom}$ 上为纤维化, 并且同时为同纤维化, 由此得到以下模型结构.

定义 31.2.9 (Dwyer-Kan-Bergner 模型结构). 单纯范畴所构成的范畴 $\mathsf{sSet}\text{-}\mathsf{Cat}$ 上的 Dwyer-Kan-Bergner 模型结构 (简记为 $\mathsf{sSet}\text{-}{\mathsf{Cat}}_{\mathrm{Bergner}}$) 为

•	$\mathsf{W}=\{\text{Dwyer-Kan 等价}\}$.
•	$F\in \mathsf{Fib}$ 满足 $F_{X,Y}$ 为 Kan 纤维化, 且 $F$ 为同纤维化.

对于 $\infty$-范畴, 研究其上同伦, 就是直接将其视为某个 $\mathsf{sSet}$ 上以其为双纤维性对象的模型结构进行研究. 由 Dwyer-Kan-Bergner 模型结构, 可过渡到 Quillen 伴随 $\mathrm{Path}⊣N^{\mathrm{hc}}$ 而生单纯集上的新模型结构, 称为 Joyal 模型结构.

定义 31.2.10 (Joyal 模型结构). 单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 上的 Joyal 模型结构为

•	$\mathsf{W}$ 为 $\mathrm{Path}$ 作用后为单纯范畴的 Dwyer-Kan 等价的态射.
•	$\mathsf{Cof}=\{\text{单态射}\}$

在 Joyal 模型结构中, 对应的纤维化称为范畴纤维化 ([HTT, p 81.]).

定义 31.2.11 (内纤维化, 内平淡). 令 $q:X\to S$ 为单纯集之间的态射. 称 $q$ 是内纤维化, 是指 $q\in {\chi }_R(\{{\Lambda }_i^n\hookrightarrow {\Delta }^n:0<i<n\})$. 关于内纤维化具有左提升性质的态射称为内平淡的, 根据小对象论证 ([HTT, Proposition A.1.2.5.]) 可知内平淡态射为由 $\{{\Lambda }_i^n\hookrightarrow {\Delta }^n:0<i<n\}$ 所生成的弱饱和类.

可以证明, 所有内纤维化 ( ${\chi }_R(\{{\Lambda }_i^n\hookrightarrow {\Delta }^n:0<i<n\})$) 均为范畴纤维化, 反之虽然并不成立, 但犹可说明

命题 31.2.12. Joyal 模型结构 ${\mathsf{sSet}}_{\mathrm{Joyal}}$ 中纤维性对象均为拟范畴, 由于其余纤维性对象为全体单纯集, 因此双纤维性对象为拟范畴.

证明. [HTT, Theorem 2.4.6.1.].

$\square$

定理 31.2.13 ($\infty$-范畴模型之间的等价性). 有 Quillen 等价

证明. [HTT, Theorem 2.2.5.1.].

$\square$

31.3构造

而后, 来介绍 $\infty$-范畴上的具体构造, 本节的范畴均指 $\infty$-范畴.

定义 31.3.1 (同伦, 同伦逆, 同伦等价).

•	对于单纯集间的态射 $f,g:X\to Y$, 若在 ${\pi }_0(\mathrm{Fun}(X,Y))$ 中有 $[f]=[g]$, 则称 $f$ 同伦于 $g$.
•	对于单纯集之间的态射 $f:X\to Y$, 若存在 $g:Y\to X$ 使得 $f\circ g$ 同伦于 ${\mathrm{id}}_Y$ 而 $g\circ f$ 同伦于 ${\mathrm{id}}_X$, 则称 $f$ 具有单纯同伦逆, 当 $X$ 和 $Y$ 均为生象时则称 $f$ 有同伦逆.
•	称 $f$ 为同伦等价是指它有单纯同伦逆.

注 31.3.2. 上述同伦与 Quillen 模型结构所给出的同伦是一致的.

接下来给出 $\infty$-范畴上的对应版本

定义 31.3.3 (范畴等价).

•	令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴间的函子, 称 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为 $F$ 的同伦逆, 是指同构类 $[G]$ 为 $[F]$ 在同伦范畴 $h\mathsf{QCat}$ 中的逆, 即 $[G\circ F]=[{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}]$ 且 $[F\circ G]=[{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}]$.
•	称 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴间的等价, 是指 $[F]$ 为 $h\mathsf{QCat}$ 中的同构, 即 $F$ 有同伦逆.
•	称 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 是范畴等价的, 是指存在从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的等价.

定义 31.3.4 (子范畴, 全子单纯集与全子范畴).

•	称单纯集 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 为 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的子范畴, 是指嵌入 ${\mathcal{C}}^{\prime }\hookrightarrow \mathcal{C}$ 为内纤维化.
•	称子单纯集 $S^{\prime }\subset S$ 是全的, 是指对于任意使得所有 $0\le i\le n$, 顶点 $\sigma (i)\in S$ 的单形 $\sigma :{\Delta }^n\to S$, 若对于所有 $0\le i\le n$ , $\sigma (i)\in S^{\prime }$, 则 $\sigma \in S_n^{\prime }$.
•	若子范畴 ${\mathcal{C}}^{\prime }\subset \mathcal{C}$ 同时为全子单纯集, 则称其为全子范畴.

令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 则定义态射生象 ([Kerodon, 01JC] 验证了其确为生象, 这也印证 $\infty$-范畴确为 $(\infty ,1)$-范畴) ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ 为拉回图表在 [Kerodon, 01PF] 中给出态射生象的结合律, 态射生象中的 $1$-单形 (即态射) 称为自然变换, 而 $0$-单形 (即对象) 则为态射. 此外, 也记 $\infty$-范畴 $\mathrm{Fun}({\Delta }^1,\mathcal{C})$ 为 $\mathsf{Ar}(\mathcal{C})$, 称为箭头范畴.

命题 31.3.5. 令 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴的内纤维化, 且 $X,Y\in \mathcal{C}$ , 则诱导的态射生象之间的函子 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(f(X),f(Y))$ 为单纯集之间的 Kan 纤维化.

证明. [Kerodon, 01P8].

$\square$

定义 31.3.6 (全忠实, 本质满). 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴之间的函子, 则

•	称 $F$ 是全忠实的, 是指对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$, 都有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(X),F(Y))$ 是生象的同伦等价.
•	称 $F$ 的本质像为由 $F(C)\simeq D$ 的全体 $D\in \mathcal{D}$ 所张成的全子范畴.
•	称 $F$ 是本质满的, 是指 $F$ 的本质像为 $\mathcal{D}$, 即 ${\pi }_0({\mathcal{C}}^{\simeq })\to {\pi }_0({\mathcal{D}}^{\simeq })$ 是满射.

定理 31.3.7. $\infty$-范畴间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为范畴等价当且仅当其全忠实且本质满.

证明. [Kerodon, 01JX].

$\square$

推论 31.3.8. 生象之间的函子 $f:X\to Y$ 为全忠实函子当且仅当其诱导 $X$ 到 $Y$ 的直和项的同伦等价.

证明. [Kerodon, 01K1].

$\square$

注 31.3.9.

•	全子范畴的嵌入是全忠实的.
•	对于 $\infty$-范畴之间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 其为本质满当且仅当其诱导的核间的函子本质满.

而后给出 $\infty$-范畴中的同纤维化.

定义 31.3.10 (同纤维化, $\infty$-范畴版本). 对于 $\infty$-范畴间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 称 $F$ 为同纤维化是指

•	$F$ 为内纤维化.
•	对于任意 $C\in \mathcal{C}$ 以及 $\mathcal{D}$ 中同构 $u:D\to F(C)$ 都存在 $\mathcal{C}$ 中的同构 $\overline{u}:\overline{D}\to C$ 使得 $F(\overline{u})=u$.

定义 31.3.11 (饱和子范畴). 称子范畴 ${\mathcal{C}}^{\prime }\subset \mathcal{C}$ 为饱和子范畴, 是指 ${\mathcal{C}}^{\prime }\hookrightarrow \mathcal{C}$ 为同纤维化.

至此可以探讨诸如极限, 伴随等具体构造. 后记 ${\mathsf{sSet}}_{\mathrm{Kan}\text{-}\mathrm{Quillen}}$ 模型结构和 ${\mathsf{sSet}}_{\mathrm{Joyal}}$ 模型结构的同伦范畴为 $h\mathsf{Kan}$([Kerodon, 00TY]) 和 $h\mathsf{QCat}$([Kerodon, 01DR]), 此外, 令 $h_2\mathsf{QCat}$ 为 $\infty$-范畴所构成的 2-范畴, 其 $\mathrm{Hom}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 定义为 $h\mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, 态射的结合律由态射生象中态射的结合律所诱导.

定义 31.3.12 (伴随). 令 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为拟范畴之间的函子. 称 $G$ 在 $X\in \mathcal{C}$ 处具有左伴随是指存在 $Y\in \mathcal{D}$ 以及 $\mathcal{C}$ 中的态射 $u:X\to G(Y)$ 使得对于全体 $Z\in \mathcal{D}$ 都有复合$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(Y,Z)\stackrel{G}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(G(Y),G(Z))\stackrel{\circ u}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,G(Z))$$为 $h\mathsf{Kan}$ 中的同构, 此时 $Y$ 称为 $G$ 在 $X$ 处的左伴随. 根据 [Kerodon, 02FV], $G$ 对于任意 $X\in \mathcal{C}$ 都有左伴随当且仅当存在函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 以及自然变换 $\eta :{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\Rightarrow GF$ 以及 $\epsilon :FG\to {\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}$ (即 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的 $2$-单形) 使得复合

$F\stackrel{F\eta }{\to }FGF\stackrel{\epsilon F}{\to }F$ 以及 $G\stackrel{\eta F}{\to }GFG\stackrel{G\epsilon }{\to }G$

分别同伦于 ${\mathrm{id}}_F$ 和 ${\mathrm{id}}_G$. 此时称 $F$ 左伴随于 $G$(记为 $F⊣G$), 并且将自然变换 $\eta$ 和 $\epsilon$ 分别称为单位和余单位.

事实上, 将伴随放在 $(\infty ,2)$-范畴中是更加自然的, 将在后文对其进行解释. 而伴随的更多知识可见于 [Kerodon, 02EH].

例 31.3.13 (通过伴随刻画极限). 令 $S$ 为单纯集和 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 前复合上 $S\to {\Delta }^0$ 给出函子$$\delta :\mathcal{C}=\mathrm{Fun}({\Delta }^0,\mathcal{C})\to \mathrm{Fun}(S,\mathcal{C})$$此时称 $\delta$ 为对角函子 (或称常值函子). 对于任意 $X\in \mathcal{C}$ 有 $\delta (X)=\underline{X}:S\to \mathcal{C}$ 为取值为 $X$ 的函子. 函子 $F:K\to \mathcal{C}$ 的余极限是 $\delta$ 在 $F$ 上的左伴随. 更加具体地说, 存在 $\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$ 的态射 (可视为自然变换) $\eta :F\to \delta (c)$ 使得对于任意 $d\in \mathcal{C}$, 都有 $h\mathsf{Kan}$ 中的同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(c,d)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(S,\mathcal{C})}(F,\delta (d))$$其落在 $h\mathsf{Kan}$ 由 $\mathrm{Fun}(S,\mathcal{C})$ 为 $\infty$-范畴以及态射生象定义所保证. 余极限 $c$ 一般记为 $\underset{i\in S}{\underrightarrow{\lim }}F(i)$ 或 $\underset{i\in S}{\mathrm{colim}}F(i)$. 而当 $S=\varnothing$ 时, 给出的对象 $\varnothing :=\underset{\varnothing }{\underrightarrow{\lim }}F\in \mathcal{C}$ 称为 $\mathcal{C}$ 的始对象 (其等价定义为对于任意 $x\in \mathcal{C}$ 都有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(\varnothing ,x)$ 是可缩的).
对偶地, 可以给出极限与终对象的定义, 分别记为 $\underset{i\in S}{\underleftarrow{\lim }}F(i)$ 以及 $\ast$.

关于极限与余极限的更多内容参见 [Kerodon, 02H1]. 不难发现若余极限均存在可以构成函子 $\underrightarrow{\lim }:\mathrm{Fun}(S,\mathcal{C})\to \mathrm{Fun}({\Delta }^0,\mathcal{C})$, 则具有伴随

在 $1$-范畴中, 构造这种伴随的好方式是 Kan 延拓, 现在该概念推广到 $\infty$-范畴中. 但是在此之前, 需要引入一些定义, 首先是逗号范畴在单纯集中的推广 (称为定向纤维积)

定义 31.3.14 (定向纤维积). 令 $X,Y,Z$ 为单纯集, 且有单纯集间的态射 $X\stackrel{F}{\to }Y\stackrel{G}{\leftarrow }Z$, 则定向纤维积 $X\overrightarrow{\underset{Z}{\times }}Y$ 定义为纤维积$$X\underset{\mathrm{Fun}(\{0\},Y)}{\times }\mathrm{Fun}({\Delta }^1,Y)\underset{\mathrm{Fun}(\{1\},Z)}{\times }Z$$或表现为拉回

当 $F$ 和 $G$ 为 $\infty$-范畴间的函子时, [Kerodon, 01KH] 说明 $X\stackrel{F}{\to }Y\stackrel{G}{\leftarrow }Z$ 为 $\infty$-范畴.

例 31.3.15 (俯仰范畴). 当取 $F=j_X:{\Delta }^0\to \mathcal{C}$ 使得像为 $X$, 而 $G={\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 时, 可以得到 $\{X\}\overrightarrow{\underset{\mathcal{C}}{\times }}\mathcal{C}={\mathcal{C}}_{X/}$ 为仰范畴, 这也可以表示为以下拉回图表同理, 取 $F={\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}$ 而 $G=j_X$ 时得到俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/X}$. 更进一步, 对于函子 $f:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$, 令 $F=j_f:{\Delta }^0\to \mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$, $G=\delta :\mathcal{C}\to \mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$ 为对角函子可以得到 ${\mathcal{C}}_{f/}=\{f\}\overrightarrow{\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }}\mathcal{C}$ 不难发现 ${\mathcal{C}}_{f/}\simeq \mathcal{C}\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C}{)}_{f/}$. 同理取 $F=\delta$ 而 $G=j_f$ 时得到 ${\mathcal{C}}_{/f}=\mathcal{C}\overrightarrow{\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }}\{f\}$, 且 ${\mathcal{C}}_{/f}\simeq \mathcal{C}\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C}{)}_{/f}$.

利用俯仰范畴语言, 可以将 (余) 极限改写为俯 (仰) 范畴中的终 (始) 对象

命题 31.3.16 (极限与切片范畴). 考虑函子 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$

1.	$c\in \mathcal{C}$ 为 $F$ 的极限 $\underset{i\in \mathcal{I}}{\underleftarrow{\lim }}F$ 当且仅当其为俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/F}$ 的终对象.
2.	$c\in \mathcal{C}$ 为 $F$ 的余极限 $\underset{i\in \mathcal{I}}{\underrightarrow{\lim }}F$ 当且仅当其为仰范畴 ${\mathcal{C}}_{F/}$ 的始对象.

证明. [Kerodon, 02W7].

$\square$

定义 31.3.17 (统联). 对于范畴 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$, 定义其统联 $\mathcal{C}\star \mathcal{D}$ 如下:

•

$\mathrm{Ob}(\mathcal{C}\star \mathcal{D}):=\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\bigsqcup \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$.

•

$\mathrm{Hom}$ 集构造如下$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}\star \mathcal{D}}(X,Y):=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y),& X,Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\\ {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(X,Y),& X,Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})\\ \text{单点集}\{\ast \},& X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D}),\\ \varnothing ,& X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D}),Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),\end{array}$$

注 31.3.18. 对于范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$, 令 ${\iota }_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\hookrightarrow \mathcal{C}\star \mathcal{D}$ 以及 ${\iota }_{\mathcal{D}}:\mathcal{D}\hookrightarrow \mathcal{C}\star \mathcal{D}$ 为嵌入, 且令 ${\pi }_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathcal{C}$, ${\pi }_{\mathcal{D}}:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathcal{D}$ 为投影函子. 则 $\mathcal{C}\stackrel{F}{\to }\mathcal{E}\stackrel{G}{\leftarrow }\mathcal{D}$ 以及自然变换 $v:(F\circ {\pi }_{\mathcal{C}})\Rightarrow (G\circ {\pi }_{\mathcal{D}})$, 令 $u:{\iota }_{\mathcal{C}}\circ {\pi }_{\mathcal{C}}\Rightarrow {\iota }_{\mathcal{D}}\circ {\pi }_{\mathcal{D}}$ 则有双射 $\{\text{函子}U:\mathcal{C}\star \mathcal{D}\to \mathcal{E}:U{\mid }_{\mathcal{C}}=F,U{\mid }_{\mathcal{D}}=G\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }\{F\circ {\pi }_{\mathcal{C}}\Rightarrow G\circ {\pi }_{\mathcal{D}}\}$. 更进一步, 有推出图表

定义 31.3.19 (分划). 给定全序集 $J$, 称将 $J$ 分解为无交并 $J_1\bigsqcup J_2$, 使得对于任意 $x\in J_1$ 以及 $y\in J_2$ 有 $x<y$ 为 $J$ 的一个分划 (容许 $(\varnothing ,J)$ 以及 $(J,\varnothing )$), $J$ 的全体分划构成集合 $\mathrm{Cut}(J)$.

引理 31.3.20. 给定全序集 $J$ 和 $J^{\prime }$ 以及保序映射 $\alpha :J\to J^{\prime }$, 并且给定 $(J_1^{\prime },J_2^{\prime })\in \mathrm{Cut}(J^{\prime })$ 为 $J^{\prime }$ 的分划, 则存在唯一的分划 $(J_1,J_1)\in \mathrm{Cut}(J)$ 使得 $\alpha$ 限制在 $J_i$ 上为 ${\alpha }_i:J_i\to J_i^{\prime }$($i=1,2$).

证明. 定义 $J_i={\alpha }^{-1}(J_i^{\prime })$ 即可, 而后还需验证其确实构成分划, 这由保序映射定义立刻得到.

$\square$

注 31.3.21. 不难发现这给出函子 $\mathrm{Cut}:{\mathsf{LinOrd}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$. 事实上, 它可以被 $[1]$ 表出.

现在, 我们给出单纯集的统联

定义 31.3.22. 令 $X$ 和 $Y$ 为单纯集, 定义统联 $X\star Y$ 为如下单纯集: 对于有限全序集 $J$, 定义$$(X\star Y)(J)=\coprod _{(J_1,J_2)\in \mathrm{Cut}(J)}X(J_1)\times Y(J_2),$$此时, 令 $X(\varnothing )=\ast =Y(\varnothing )$. 令 $\alpha :J\to J^{\prime }$ 为全序集之间的保序映射, 则根据引理 31.3.20 可知有唯一映射$$X(J_1^{\prime })\times Y(J_2^{\prime })\to X(J_1)\times Y(J_2).$$由此诱导唯一态射$${\alpha }^{\ast }:(X\star Y)(J^{\prime })\to (X\star Y)(J)$$

命题 31.3.23. 若 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴, 则 $\mathcal{C}\star \mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴.

证明. [Kerodon, 02QV].

$\square$

对于范畴 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$, 过渡到脉后统联虽然像注记 31.3.18 一样给出交换图表但是并非推出, 使用以下概念进行替代.

定义 31.3.24 (钝统联). 令 $X$, $Y$ 为单纯集, 定义钝统联为推出$$X\diamond Y:=X\bigsqcup _{X\times \{0\}Y}X\times {\Delta }^1\times Y\bigsqcup _{X\times \{1\}Y}$$可表为以下推出图表典范态射 $c_{X,Y}:X\diamond Y\to X\star Y$ 称为比较态射.

命题 31.3.25. 对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 以及 $\mathcal{D}$, 比较态射为范畴等价 $c_{X,Y}:\mathcal{C}\diamond \mathcal{D}\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{C}\star \mathcal{D}$.

定义 31.3.26 (锥). 对于单纯集 $X$, 定义其左锥 $X^{◃}$ 为统联 ${\Delta }^0\star X$. 定义其右锥 $X^{▹}$ 为统联 $X\star {\Delta }^0$.

注 31.3.27.

1.	忘却函子 ${\mathcal{C}}_{X/}\to \mathcal{C}$ 在 $Y$ 处的纤维 (或 ${\mathcal{C}}_{/Y}\to \mathcal{C}$ 在 $X$ 处的纤维) 即为态射生象 $\mathrm{Hom}(X,Y)$.
2.	对于函子 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$, 其具有以下泛性质, 对于任意 $\infty$-范畴 $\mathcal{D}$, 都有$$\mathrm{Fun}(\mathcal{D},{\mathcal{C}}_{/F})\simeq \mathrm{Fun}(\mathcal{D}\star \mathcal{I},\mathcal{C})\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }\{F\},$$此处 $\mathrm{Fun}(\mathcal{D}\star \mathcal{I},\mathcal{C})\to \mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$ 由 ${\iota }_{\mathcal{I}}:\mathcal{I}\hookrightarrow \mathcal{D}\star \mathcal{I}$ 所诱导. 由此说明 ${\mathcal{C}}_{/F}$ 中的对象 $\mathrm{Hom}({\Delta }^0,{\mathcal{C}}_{/F})$ 可以等同于 $F$ 延拓到 ${\mathcal{I}}^{◃}$ 上.
3.	令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 与 $G:\mathcal{J}\to {\mathcal{C}}_{/F}$ 为图表. 则 $G$ 对应于 $G^{\prime }:\mathcal{I}\times \mathcal{J}\to \mathcal{C}$ 并且有范畴等价$$({\mathcal{C}}_{/F}{)}_{/G}\simeq {\mathcal{C}}_{/G^{\prime }}.$$事实上, 对于每个范畴 $\mathcal{D}$, $$\begin{array}{rl}\mathrm{Fun}(\mathcal{D},({\mathcal{C}}_{/F}{)}_{/G})& \simeq \mathrm{Fun}(\mathcal{D}\star \mathcal{J},{\mathcal{C}}_{/F})\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{J},{\mathcal{C}}_{/F})}{\times }\{G\}\\ & \simeq (\mathrm{Fun}(\mathcal{D}\star \mathcal{J}\star \mathcal{I},\mathcal{C})\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }\{F\})\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{J}\star \mathcal{I},\mathcal{C})\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }\{F\}}{\times }\{G\}\\ & \simeq \mathrm{Fun}(\mathcal{D}\star \mathcal{J}\star \mathcal{I},\mathcal{C})\underset{\mathrm{Fun}(\mathcal{J}\star \mathcal{I},\mathcal{C})}{\times }\{G^{\prime }\}\\ & \simeq \mathrm{Fun}(\mathcal{D},{\mathcal{C}}_{/G^{\prime }}).\end{array}$$第三步用到 $G^{\prime }$ 为 $\{G\}\to \mathrm{Fun}(\mathcal{J}\star \mathcal{I},\mathcal{C})$ 的像.

引理 31.3.28. 令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 以及 $G:\mathcal{J}\to {\mathcal{C}}_{/F}$ 为图表.

1.	对于任意单纯集 $K$, 投影函子 ${\mathcal{C}}_{/F}\to \mathcal{C}$ 生以 $K$ 为指标的余极限, 即 $G$ 在 $\mathcal{C}$ 上的余极限即为 $G$ 的余极限复合上投影函子.
2.	若诱导出的图表 $G^{\prime }:\mathcal{J}\star \mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 在 $\mathcal{C}$ 中有极限, 则 $G$ 的极限存在, 并且投影函子将 $G$ 的极限映为 $G^{\prime }$ 的极限.

证明. 前者见 [Kerodon], 后者根据注记 31.3.27 以及命题 31.3.16 可知, $G^{\prime }$ 和 $G$ 的极限都可以视同为 $({\mathcal{C}}_{/F}{)}_{/G}$ 的终对象.

$\square$

例 31.3.29 (诸多极限构造). 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴

•	对于一族对象 $\{Y_i{\}}_{i\in I}$, 存在由常值单纯集构成的单纯集 $I$, 存在图表 $F:I\to \mathcal{C}$, 使得 $F(i)=Y_i$, 称 $Y$ 为 $\{Y_i{\}}_{i\in I}$ 的积是指 $F$ 的极限为 $Y$. 同理, 称 $Y$ 为 $\{Y_i{\}}_{i\in I}$ 的余积是指 $F$ 的余极限为 $Y$.
•	考虑图表 $\sigma :{\Delta }^1\times {\Delta }^1\to \mathcal{C}$, 这相当于给出图表若其为余极限则称为推出图表, 若其为极限则称为拉回图表. 对于 $X_0,X_1,X\in \mathcal{C}$ 以及态射 $f_0:X_0\to X$, $f_1:X_1\to X$, 若存在 $X_{01}$ 使得为拉回图表则称 $X_{01}$ 为 $X_0$ 和 $X_1$ 沿 $f_0$ 和 $f_1$ 的纤维积 (或称拉回), 记为 $X_0\underset{X}{\times }{X}_1$4. 反之, 若对于 $Y,Y_0,Y_1\in \mathcal{C}$ 以及态射 $g_0:Y\to Y_0$, $g_1:Y\to Y_1$ 存在 $Y_{01}$ 使得为推出图表则称 $Y_{01}$ 为 $Y_0$ 和 $Y_1$ 沿 $g_0$ 和 $g_1$ 的纤维余积 (或称推出), 记为 $Y_0\bigsqcup _Y{Y}_1$.
•	考虑单纯集 ${\Delta }^1\bigsqcup _{\partial {\Delta }^1}{\Delta }^1$, 它也可以表为, 考虑图表 $\sigma :{\Delta }^1\bigsqcup _{\partial {\Delta }^1}{\Delta }^1\to \mathcal{C}$, 其像中两个箭头分别记为 $f_1:Y\to X$ 和 $f_2:Y\to X$. 则 $f_0$ 与 $f_1$ 的等子定义为 $\sigma$ 的极限, 记为 $\ker (f_0,f_1)$, 余等子定义为 $\sigma$ 的余极限, 记为 $\mathrm{coker}(f_0,f_1)$.

定理 31.3.30 (伴随保极限). $\infty$-范畴间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 若具有右伴随, 则其保持余极限, 同理, 若其具有左伴随, 则其保持极限.

证明. [Kerodon, 02KE].

$\square$

符号说明. 对于图表 $F:S\to \mathcal{C}$, 记 $S_{/C}$ 为纤维积 $S\underset{\mathcal{C}}{\times }{\mathcal{C}}_{/C}$, 不难发现此时有典范自然变换 $\gamma :F{\mid }_{S_{/C}}\Rightarrow \underline{C}$, 其中 $F{\mid }_{S_{/C}}$ 为复合 $S_{/C}\to S\stackrel{F}{\to }\mathcal{C}$. 记 $S_{C/}$ 为纤维积 $S\underset{\mathcal{C}}{\times }{\mathcal{C}}_{C/}$, 此时有典范自然变换 ${\gamma }^{\prime }:\underline{C}\Rightarrow F{\mid }_{S_{C/}}$

定义 31.3.31 (弱可缩). 称 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 是弱可缩的, 是指其几何实现弱同伦等价于单点 $\ast$.

当然, 对于保极限的函子, 我们有更加精确的叫法:

定义 31.3.32 (共尾 (始) 态射). 称单纯集之间的态射 $\alpha :I\to J$ 是共尾的, 是指对于任意函子 $F:J\to \mathcal{C}$, $F$ 的余极限存在当且仅当 $F\circ \alpha$ 的余极限存在.
对偶地, 称 $\alpha$ 是共始的是指对于任意函子 $G:J\to \mathcal{C}$, $G$ 的极限存在当且仅当 $\alpha \circ G$ 的极限存在.

我们可以得到以下重要定理

定理 31.3.33 (Quillen 定理 A). 对于单纯集之间的态射 $\alpha :I\to J$, 以下条件等价:

1.	$\alpha$ 是共尾的.
2.	对于任意 $j\in J$, 都有切片范畴 $j_{/\alpha }$ 弱可缩, 此处切片范畴定义为拉回$$j_{/\alpha }\mathsf{Ar}(J)\{j\}\times IJ\times J.(s,t)(\iota ,\alpha )$$

证明. 见第 35.4 节.

$\square$

定义 31.3.34 (Kan 延拓). 对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{E}$, 以及函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$ 和 $K:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$

•	函子 $F$ 沿 $K$ 的左 Kan 延拓意谓以下资料 $({\mathrm{Lan}}_{K}F,\alpha :F\Rightarrow {\mathrm{Lan}}_{K}F\circ K)$ 使得以下图表交换并且对于任意 $D\in \mathcal{D}$ 都有自然同构$$\underset{i\in {\mathcal{C}}_{/D}}{\underrightarrow{\lim }}F(i)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Lan}}_{K}F(D)$$
•	函子 $F$ 沿 $K$ 的右 Kan 延拓意谓以下资料 $({\mathrm{Ran}}_{K}F,\beta :{\mathrm{Ran}}_{K}F\circ K\Rightarrow F)$ 使得以下图表交换使得对于任意 $D\in \mathcal{D}$ 都有自然同构$${\mathrm{Ran}}_{K}F(D)\stackrel{\sim }{\to }\underset{i\in {\mathcal{C}}_{/D}}{\underleftarrow{\lim }}F(i)$$

命题 31.3.35 (Kan 延拓的基本性质). 令为 (未必交换) 的图表且 $\eta :F\Rightarrow \overline{F}\circ \phi$ 为函子间的自然变换.

1.	若对于任意 $j\in \mathcal{J}$ , 余极限 $\underset{i\in {\mathcal{I}}_{/j}}{\underrightarrow{\lim }}F(i)$ 都在 $\mathcal{C}$ 中存在, 则 $F$ 沿 $\phi$ 的左 Kan 延拓存在.
2.	若 $\eta :F\Rightarrow \overline{F}\circ \phi$ 使得 $\overline{F}$ 为 $F$ 验证 $\phi$ 的左 Kan 延拓. 则对于任意 $G:\mathcal{J}\to \mathcal{C}$, 自然态射$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{J},\mathcal{C})}(\overline{F},G)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}(F,G\circ \phi )$$为 $h\mathsf{Kan}$ 中的同构. 反过来成立当且仅当对于任意 $j\in \mathcal{J}$, $\mathcal{C}$ 中以 ${\mathcal{I}}_{/j}$ 为指标的余极限均存在.
3.	令 $\phi :\mathcal{I}\hookrightarrow \mathcal{J}$ 为全忠实函子. 且 $\eta$ 使得 $\overline{F}$ 为 $F$ 沿 $\phi$ 的左 Kan 延拓, 则 $\eta$ 为同构.
4.	若 $\phi$ 有右伴随 $\psi :\mathcal{J}\to \mathcal{I}$. 则 (由单位 $\mathrm{id}\Rightarrow \psi \phi$ 所诱导的) 自然态射 $\overline{\eta }:F\Rightarrow F\psi \circ \phi$ 使得 $F\psi$ 为 $F$ 沿 $\phi$ 的左 Kan 延拓, 并且该左 Kan 延拓存在.
5.	(传递性) 令 $\alpha :\mathcal{J}\to \mathcal{K}$ 以及 $\overline{\overline{F}}:\mathcal{K}\to \mathcal{C}$ 为函子且令 $\overline{\eta }:\overline{\overline{F}}\Rightarrow \overline{F}\alpha$ 为自然变换. 若 $\eta :F\Rightarrow \overline{F}\phi$ 使得 $\overline{F}$ 为 $F$ 沿 $\phi$ 的左 Kan 延拓, 且 $\overline{\eta }$ 使得 $\overline{\overline{F}}$ 为 $\overline{F}$ 沿 $\alpha$ 的左 Kan 延拓, 则 $\overline{\eta }\phi \circ \eta :F\Rightarrow \overline{\overline{F}}\alpha \phi$ 使得 $\overline{\overline{F}}$ 为 $F$ 沿 $\alpha \phi$ 的左 Kan 延拓.

证明.

证明.

1.	[Kerodon, 0300].
2.	[Kerodon, 030D].
3.	[Kerodon, 02YN].
4.	可以发现 $\phi ⊣\psi$ 诱导出由 2. 可知只需要以 ${\mathcal{I}}_{/j}$ 为指标的极限均存在即可, 由命题 31.3.16 可知问题转为验证任意 $F:{\mathcal{I}}_{/j}\to \mathcal{C}$ 都有 ${\mathcal{C}}_{/F}$ 的终对象存在, 由 $\phi$ 为左伴随以及 [Kerodon, 02J9] 可知成立.
5.	[Kerodon, 031M]

$\square$

由 2. 可知左 Kan 延拓可以视为函子, 对偶地, 右 Kan 延拓亦可.

定义 31.3.36 ((余) 完备). 称 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 是 (余) 完备的, 指任意小图表 $\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 都存在 (余) 极限.

定义 31.3.37 (局部化). 令 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为单纯集, $\mathsf{W}$ 为 $\mathcal{C}$ 中一些边所构成的集合, 称 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 使得 $\mathcal{D}$ 为 $\mathcal{C}$ 关于 $\mathsf{W}$ 的局部化, 是指对于任意 $\infty$-范畴 $\mathcal{E}$, 前复合 $\mathrm{Fun}(\mathcal{D},\mathcal{E})\stackrel{\circ F}{\to }\mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{E})$ 均为全忠实且本质像为由全体将 $W$ 的边映为 $\mathcal{E}$ 中同构的函子 $G:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$ 所张成的全子范畴 $\mathrm{Fun}(\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}],\mathcal{E})\subset \mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{E})$.

定理 31.3.38. $\infty$-范畴 $\mathsf{Ani}$ 以及 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 均为完备且余完备的, 并且有伴随此处 $(-)[{\mathcal{W}}^{-1}]$ 是关于全体 1-态射局部化 (也称为实现), 结合定理 31.3.30 可知 $\mathsf{Ani}\hookrightarrow {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 保全体极限以及余极限.

证明.

证明.

•	$\mathsf{Ani}$ 完备 [Kerodon, 05QQ] 且余完备 [Kerodon, 02VF].
•	${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 完备 [Kerodon, 02TL] 且余完备 [Kerodon, 02V1].
•	核右伴随于嵌入 [Kerodon, 01DA].
•	实现左伴随于嵌入 [Kerodon, 01MY].

$\square$

接下来探讨 $\infty$-范畴中的单态射概念, 并且刻画其子对象.

定义 31.3.39 (单态射, 子对象).

•	令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 令 $f:X\to Y$ 为态射, 称 $f$ 为单态射是指对于任意 $C\in \mathcal{C}$ 都有$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,X)\hookrightarrow {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y)$$为生象的全忠实嵌入 (推论 31.3.8). 将单态射记为 $f:X\hookrightarrow Y$.
•	对于 $X\in \mathcal{C}$, 对于 $X_0\in \mathcal{C}$, 称 $X_0$ 为 $X$ 的子对象, 是指存在单态射 $X_0\hookrightarrow X$.

现在考虑 $\infty$-范畴构成的 $\infty$-范畴 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 其上子对象定义为饱和子范畴而非子范畴.

命题 31.3.40. 对于 $\infty$-范畴间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 以下条件等价

•	$F$ 为 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 的单态射.
•	对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$, 函子 $F$ 诱导了 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ 到 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(X),F(Y))$ 的全忠实函子, 此外诱导核上的平凡 Kan 纤维化 $F^{\simeq }:{\mathcal{C}}^{\simeq }\to {\mathcal{D}}^{\simeq }$.
•	$F$ 给出 $\mathcal{C}$ 到饱和子范畴 ${\mathcal{D}}_0\subset \mathcal{D}$ 的范畴等价.
•	对角函子 $\mathcal{C}\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{C}\underset{\mathcal{D}}{\times }\mathcal{C}$ 为同构.

证明.

证明. [Kerodon, 04W5]. 至于 4. 只需要考虑 $\sigma$ 为$${\Delta }^1\times {\Delta }^1\stackrel{(i,j)\mapsto ij}{\to }{\Delta }^1\stackrel{u}{\to }{\mathsf{Cat}}_{\infty }$$对应的像为此时 $f$ 单当且仅当其为拉回图表, 具体见 [Kerodon, 05FZ].

$\square$

推论 31.3.41. 对于 $\infty$-范畴间的全忠实函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 则其为 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 的单态射.

注 31.3.42. 对于 $\infty$-范畴的子范畴 ${\mathcal{C}}_0\subset \mathcal{C}$, 若其不饱和 (或全), 则其不一定为子对象 (可以类比子群和正规子群).

但是我们一般将 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的子对象称为子范畴, 而不使用定义 31.3.4.

命题 31.3.43. $\mathrm{Fun}({\Delta }^1,{\mathsf{Cat}}_{\infty })$ 由子对象 (即单态射) 所生成的全子范畴在取极限下稳定.

证明. 令 $I$ 为单纯集, 考虑小图表 $F:\mathcal{I}\to \mathrm{Fun}({\Delta }^1,{\mathsf{Cat}}_{\infty })$ 使得其像 $f_i:=F(i):{\mathcal{C}}_i\to {\mathcal{D}}_i$ 为单态射, 因此 ${\mathcal{C}}_i$ 为 ${\mathcal{D}}_i$ 的子对象, 令 $\mathcal{C}:=\underset{i\in \mathcal{I}}{\underleftarrow{\lim }}{\mathcal{C}}_i$, $\mathcal{D}:=\underset{i\in \mathcal{I}}{\underleftarrow{\lim }}{\mathcal{D}}_i$ 且 $f:=\underset{i\in \mathcal{I}}{\underleftarrow{\lim }}{f}_i$. 而后分两步证明该命题

1.

由注记 31.3.9 可先考虑全子范畴情况, 此时 ${\mathcal{C}}_i\hookrightarrow {\mathcal{D}}_i$ 为全忠实函子, 接下来说明 $f$ 为全忠实函子. 对于 $X,Y\in \mathcal{C}$, 由极限定义, 给出 $X_i,Y_i\in {\mathcal{C}}_i$ 与之对应, 从而有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)\simeq \underset{i\in \mathcal{I}}{\underleftarrow{\lim }}{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_i}(X_i,Y_i)$([Kerodon, 01J4]), 而后根据全忠实性定义可知 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_i}(X_i,Y_i)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}_i}(f_i(X_i),f_i(Y_i))$ 为同伦等价, 即为 $\mathsf{Ani}$ 中的同构, 由此说明 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(f(X),f(Y))$ 为同伦等价.

2.

由命题 31.3.40 可知 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_i}(X_i,Y_i)\to {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}_i}(f_i(X),f_i(Y))$ 为全忠实函子, 而后接续前文操作即可.

$\square$

推论 31.3.44. 令 $\mathcal{C}\hookrightarrow \mathcal{D}$ 为 $\mathcal{D}$ 的子对象. 考虑函子 $\mathcal{A}\to \mathcal{C}$ 以及 $\mathcal{B}\to \mathcal{C}$, 其诱导范畴等价 $\mathcal{A}\underset{\mathcal{C}}{\times }\mathcal{B}\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{A}\underset{\mathcal{D}}{\times }\mathcal{B}$

证明. 考虑拉回由命题 31.3.40 可知最下方的横向箭头为范畴等价 (即为 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的同构), [Kerodon, 048F] 说明最上方的横向箭头也是范畴等价.

$\square$

事实上, 可以将单态射刻画为某种截断, 接下来说明 $\infty$-范畴中的截断概念, 在此之前, 需要给出同伦群一概念.

定义 31.3.45 (带点生象). 带点生象是二元组 $(X,x)$, 其中 $X$ 为生象而 $x\in X$ 为其内一点, 带点生象 $(X,x)$, $(Y,y)$ 之间的态射 $f$ 为满足 $f(x)=y$ 的单纯集之间的态射.

带点生象范畴的同伦范畴记为 $h{\mathsf{Ani}}_{\ast }$, 详见 [Kerodon, 00VE].

定义 31.3.46 (同伦群). 令 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$, 带点生象 $(X,x)$ 的 $\mathbf{n}$-阶同伦群 ${\pi }_n(X,x)$ 是指 $h{\mathsf{Ani}}_{\ast }$ 中的态射集 ${\mathrm{Hom}}_{h{\mathsf{Ani}}_{\ast }}({\Delta }^n/\partial {\Delta }^n,X)$. 此处 $B/A$ 表示推出 $B\bigsqcup _A\{q\}$, 此处 $q$ 为基点. 当 $n=1$ 时, 称其为基本群.

定义 31.3.47 ($n$-截断).

•	对于 $n\in \mathbb{Z}$, 称生象 $X$ 是 $\mathbf{n}$-截断的, 是指对于每个 $m\ge n+2$ 都有单纯集间的态射 $\partial {\Delta }^m\to X$ 可以被延拓为 $X$ 的 $m$-单形.
•	令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 称 $\infty$-范畴中的对象 $X\in \mathcal{C}$ 是 $n$-截断的, 是指对于任意 $Y\in \mathcal{C}$ 都有 $\mathrm{Hom}(X,Y)$ 为 $n$-截断生象.
•	对于任意生象间的态射 $f:X\to Y$, 以及 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge -1}$, 称 $f$ 为 $n$-截断的是指对于任意 $x\in X$ 都有$${\pi }_m(f):{\pi }_m(X,x)\to {\pi }_m(Y,f(x))$$当 $m=n+1$ 时为单射而 $m>n+1$ 时为双射. 对于 $n\le -2$, 称 $f$ 是 $n$-截断的是指其为 $(-1)$-截断的.
•	对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:X\to Y$, 称其为 $n$-截断的是指对于任意 $C\in \mathcal{C}$, 前复合上同伦类 $[f]$ 诱导的生象间的态射 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,X)\stackrel{[f]\circ }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y)$ 为 $n$-截断态射.

命题 31.3.48. $X$ 为 $n$-截断生象当且仅当对于任意 $x\in X$ 以及 $m>n$ 都有同伦群 ${\pi }_m(X,x)$ 平凡.

例 31.3.49.

1.	对于 $n\le -2$, $n$-截断的生象可缩, $(-1)$-截断生象要么非空要么可缩, $0$-截断生象的连通分支可缩.
2.	$\infty$-范畴中的单态射是 $(-1)$-截断的, 同构为 $(-2)$-截断的.

命题 31.3.50 ($n$-截断态射的等价定义). 对于 $n\ge -1$, $\infty$-范畴中的态射 $f:X\to Y$ 为 $n$-截断的当且仅当相对对角态射 ${\delta }_{X/Y}:X\to X\underset{Y}{\times }X$ 是 $(n-1)$-截断的.

证明. [Kerodon, 05FT].

$\square$