32. 稳定无穷范畴, 谱

本章来讲述 Abel 范畴的另一种推广—稳定 $(\infty ,1)$-范畴. 在前文中, 我们已经学过了 Abel 范畴的一种推广, 即三角范畴, 我们知道它是为了弥补导出范畴并非 Abel 范畴而提出的, 但是它的定义过于邪恶, 特别是臭名昭著的八角形公理. 本节, 我们将使用另一种方式去推广 Abel 范畴. 对于 $\infty$-范畴不够熟悉的读者可以看讲义: 同伦代数与同调代数, [HTT] , [Kerodon] 以及我的笔记无穷范畴漫游手册.

32.1稳定 $\infty$-范畴

首先, 对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ , 若其具有零对象, 则称它是带点的, 这与带点范畴的定义是一致的. 将零对象记为 $0$.

定义 32.1.1. 考虑带点 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$,

•	其内三角是指图表 ${\Delta }^1\times {\Delta }^1\to \mathcal{C}$, 使得其可表为
•	若上述图表同时为拉回图表, 则称该三角为纤维列.
•	若上述图表同时为推出图表, 则称该三角为余纤维列.

注 32.1.2. 事实上, 三角指代的是以下信息:

1.	$\mathcal{C}$ 中可复合的态射 $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$.
2.	$g\circ f$ 是零伦的 (这表示一个 2-单形), 即存在 2-单形 (此时相当于将两个 ${\Delta }^2$ 沿着对角线粘起来使得用括号里的话来说就是整个图表都是被填充的.

不难发现, 三角其实是在描述复形这一概念, 在 $\infty$-范畴论中, 我们抛弃严格的等式 $g\circ f=0$ 转而选取 $g\circ f$ 同伦于 $0$. 那么, 纤维列作为拉回, 可以视为取原像, 因此纤维列相等于在说 $X$ 在同伦意义下为 $g^{-1}(Y)$, 即 $X$ 为纤维. 而类似可得余纤维列将 $Z$ 变为余纤维. 因此可以归结得出定义:

定义 32.1.3 (纤维, 余纤维). 令 $\mathcal{C}$ 为带点 $\infty$-范畴, $f:X\to Y$ 为态射, 则

•	$f$ 的纤维是指纤维列
•	$f$ 的余纤维是指余纤维列

通常称 $W$ 和 $Z$ 为 $f$ 的纤维和余纤维, 且记 $W=\mathrm{fib}(f)$ 且 $Z=\mathrm{cofib}(g)$.

现在给出稳定 $\infty$-范畴的定义.

定义 32.1.4. 称带点 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 是稳定的是指其满足以下条件:

1.	任意态射均有纤维以及余纤维.
2.	作为纤维列的三角都是余纤维列.

这一定义可以让大家认识到为什么说稳定 $\infty$-范畴是三角范畴的推广, 因为定义中的 2. 实际上在类比余像与像的同构. 不过上述定义并不能说明为什么以 “稳定” 为名. 接下来我们说明这一点. 首先回到带点 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 上, 记 ${\mathcal{M}}^{\Sigma }$ 为由形如的推出图表所张成的 $\mathrm{Fun}({\Delta }^1\times {\Delta }^1,\mathcal{C})$ 的全子范畴. 若 $\mathcal{C}$ 具有足够的余纤维, 则对于取值在 $X$ 处使用 [HTT, Proposition 4.3.2.15] 可知有平凡 Kan 纤维化 ${\mathcal{M}}^{\Sigma }\to \mathcal{C}$. 令 $s:\mathcal{C}\to {\mathcal{M}}^{\Sigma }$ 为其截面, 再对取值在 $Z$ 处用一次得到 $e:{\mathcal{M}}^{\Sigma }\to \mathcal{C}$. 则 $e\circ s$ 给出从 $\mathcal{C}$ 到自身的函子 $\Sigma :\mathcal{C}\to \mathcal{C}$, 称为纬悬函子. 接下来令 ${\mathcal{M}}^{\Omega }$ 表示 $\mathrm{Fun}({\Delta }^1\times {\Delta }^1,\mathcal{C})$ 中将上图改为拉回所张成的全子范畴. 同理若 $\mathcal{C}$ 有足够纤维则可以给出 $\Omega :\mathcal{C}\to \mathcal{C}$, 称为环路函子.

稳定 $\infty$-范畴的同伦范畴

为说明稳定 $\infty$-范畴确实可以自然地代替三角范畴 (至少对于 Abel 范畴而言可以). 我们需要

32.2$t$-结构

32.3谱