33. 线性代数 III-同伦代数

本节旨在使用同伦代数的角度回顾线性代数, 由于想在一页之内讲完这些内容, 所以部分内容可能会很简短.

注 33.0.1. 目前为临时版.

33.1模型范畴

在同伦论和同调代数的研究中, 我们所关心的分别为弱同伦等价以及拟同构这两个概念. [引言待撰写]

动机: 弱等价范畴的同伦范畴

在本节中, 我们先提出弱等价范畴以及同伦范畴的概念, 由此可以得到同伦范畴的定义, 而后讨论同伦范畴之间的导出函子.

定义 33.1.1 (弱等价范畴). 弱等价是指范畴 $\mathcal{C}$ 配上一个宽子范畴 $\mathcal{W}$(即包含全体对象的子范畴) 且满足 3 选 2 性质, 即对于 $\mathcal{W}$ 中可复合的态射 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z$ 有(33.1)

注 33.1.2 (弱等价). $\mathcal{W}$ 中的态射称为弱等价 ¹; 后面将发现每个模型范畴都带有一个底层的弱等价范畴.

例 33.1.3.

1.	$\mathsf{Top}$ 中同伦等价或弱同伦等价均为弱等价.
2.	选定 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 其链复形范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 中链同伦等价或拟同构为弱等价.
3.	单纯集之间的同伦为弱等价.
4.	任意范畴取同构作为弱等价时均可以视为一个极小弱等价范畴, 具体细节请读者自行验证.(因此任意弱等价均包含同构)

现在我们来讲述如何从弱等价范畴中得到同伦范畴, 回忆到在代数拓扑中, 我们定义拓扑空间范畴的同伦范畴 $\mathsf{hTop}$ 时, 是想得到这样的范畴: 两个拓扑空间同伦等价, 则在同伦范畴中是同构的. 即, 同伦范畴就是将弱等价范畴中弱等价变为同构之后所得到的范畴, 由弱等价范畴得到同伦范畴的过程也称为关于弱等价的局部化.

定义 33.1.4 (同伦范畴). 令 $(\mathcal{C},W)$ 为弱等价范畴, 其同伦范畴 $\mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}]$ 定义为 $\mathcal{C}$ 关于 $\mathcal{W}$ 的局部化, 其带有以下泛性质:

•	对于任意函子 $F:\mathcal{C}\to D$, 若 $F$ 将 $\mathcal{W}$ 中所有态射映为同构, 则存在 (在相差自然同构下) 唯一的函子 $\tilde{F}:\mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}]\to \mathcal{D}$ 使得图表在相差自然同构的意义下交换.

注 33.1.5. 换句话说, 对于任意范畴 $\mathcal{D}$, 记 ${\mathrm{Fun}}_{\mathcal{W}}(\mathcal{C},D)$ 为 $\mathrm{Fun}(\mathcal{C},D)$ 中将弱等价映为同构的函子所构成的全子范畴, 则 $\gamma$ 诱导的拉回$${\gamma }^{\ast }:\mathrm{Fun}(\mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}],\mathcal{D})\to {\mathrm{Fun}}_{\mathcal{W}}(\mathcal{C},D)$$为范畴等价.

大致而言, 局部化后的范畴 $\mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}]$ 就是将 $\mathcal{C}$ 中的态射都变得可逆而得到的范畴. 可以将其具体构造如下:

1.	$\mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}]$ 中的对象即为 $\mathcal{C}$ 中的对象.
2.	态射表现为有限长的 “锯齿” 其中如 $t,s$ 等反向箭头都应当在 $\mathcal{W}$ 内, 再商去以下等价关系: ∘ 恒同态射可以去掉, ∘ 相邻同向箭头可以复合, ∘ 相邻异向箭头若表示同一个态射则可去掉.

例 33.1.6.

•	取拓扑空间范畴及其间同伦等价构成的类 $\mathsf{Hoeq}$ 所构成的弱等价范畴 $(\mathsf{Top},\mathsf{Hoeq})$, 则 $h\mathsf{Top}\simeq \mathsf{Top}[{\mathsf{Hoeq}}^{-1}]$.
•	选定 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 其链复形范畴记为 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$, 则取链同伦等价构成的宽子范畴 $\mathcal{W}$, 得到弱等价范畴 $(\mathsf{Ch}(\mathcal{A}),\mathcal{W})$, 则 $\mathsf{hCh}(\mathcal{A})=\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathcal{W}}^{-1}]$ 为其同伦范畴, 称为同伦链复形范畴, 在 $\mathsf{hCh}(\mathcal{A})$ 中, 拟同构构成的类为弱等价.
•	对于同伦链复形范畴及其间的拟同构构成的宽子范畴 $\mathsf{qis}$ 得到弱等价范畴 $(\mathsf{hCh}(\mathcal{A}),\mathsf{qis})$, 其同伦范畴即为导出范畴 $D(\mathcal{A})=\mathsf{hCh}(\mathcal{A})[{\mathsf{qis}}^{-1}]$, 事实上, 取链复形范畴以及拟同构构成的类得到的弱等价范畴的同伦范畴与 $D(\mathcal{A})$ 等价.

但是目前遇到了几点问题

•	局部化所得到的范畴可能不是局部小范畴.
•	这种局部化难以使用 [GZ67] 的方式进行计算, 从而我们不知道具体哪些态射变成同伦.

回忆到在我们使用乘性系研究局部化时, 我们实际上将局部化变为某种商范畴, 因此我们在研究同伦范畴的时候也可以效仿该进路, 通过在弱等价范畴上引入额外的信息, 使得同伦可以被具体描述, 加入了额外信息的弱等价范畴就是模型范畴.

提升性质

我们给出一些提升性质的说明, 这一块的符号并没有什么统一, 本文采取 [Land] 的符号.

定义 33.1.7 (提升性质). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴,$J\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ 是一类态射.

•	称 $\mathcal{C}$ 中态射 $p:X\to Y$ 对 $J$ 具有右提升性质 (简写作 RLP), 如果对 $\mathcal{C}$ 中任意实线图表其中态射 $A\to B$ 在 $J$ 中, 存在虚线箭头使图表交换. 所有具有此性质的态射 $p$ 构成的类记为 ${\chi }_R(J)$.
•	称 $\mathcal{C}$ 中态射 $i:A\to B$ 对 $J$ 具有左提升性质 (简写作 LLP) , 如果对 $\mathcal{C}$ 中任意实线图表其中态射 $X\to Y$ 在 $J$ 中, 存在虚线箭头使图表交换. 所有具有此性质的态射 $i$ 构成的类记为 ${\chi }_L(J)$.

此外, 记 $\chi (J)={\chi }_L({\chi }_R(J))$, 它表示这样一类态射, 它们对于关于 $J$ 具有右提升性质的态射是具有左提升性质的.

不难证明 ${\chi }_R\chi (J)={\chi }_R(J)$.

注 33.1.8. 右/左提升性质在有些资料 (比如 [Kerodon]) 中也叫右/左弱正交.

弱分解系统

定义 33.1.9 (弱分解系统). 弱分解系统是指三元组 $(\mathcal{C},L,R)$, 其中 $\mathcal{C}$ 为范畴, $L$ 和 $R$ 为 $\mathcal{C}$ 中满足以下性质的态射所构成的集合:

•	$L={\chi }_L(R)$ 且 $R={\chi }_R(L)$.
•	每个 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:X\to Y$ 都可以被分解为$$X\stackrel{p}{\to }T\stackrel{i}{\to }Y$$其中 $i\in L$ 且 $p\in R$.

本书要求分解具有函子性, 即构成函子$$\mathrm{Fact}:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{[2]}$$

命题 33.1.10. 令 $(\mathcal{C},L,R)$ 为弱分解系统, 则

1.	$L$ 和 $R$ 都包含 $\mathcal{C}$ 中的同构.
2.	$L$ 和 $R$ 都在态射复合下稳定, 此外 $L$ 还在超限复合下稳定.
3.	$L$ 和 $R$ 均在收缩核下稳定.
4.	$L$ 在推出下稳定, $R$ 在拉回下稳定.

证明. 留作习题.

$\square$

例 33.1.11. 记 $\mathsf{HCof}$, $\mathsf{HFib}$, $\mathsf{HoEq}$ 为闭 Hurewicz 余纤维化, Hurewicz 纤维化以及同伦等价所构成的类, 则 $(\mathsf{Top},\mathsf{HCof}\cap \mathsf{Hoeq},\mathsf{HFib})$ 以及 $(\mathsf{Top},\mathsf{HCof},\mathsf{HFib}\cap \mathsf{Hoeq})$ 均为弱分解系统.

模型范畴

现在, 我们来给出范畴上的模型结构, 正如本节前言所述, 它是范畴上配备有三类在复合下稳定的态射, 分别称为弱等价 (核心), 纤维化以及余纤维化:

•	弱等价如本章前言所述, 扮演 “同伦等价” 或者更一般 (例如弱同伦等价) 的角色, 名词的来源已经在注记 33.1.2 的脚注中提到.
•	纤维化扮演着 “好的满射” 这一角色. 比如说拓扑空间范畴中的 Hurewicz 纤维化.
•	余纤维化扮演着 “好的单射” 这一角色. 比如说拓扑空间范畴中邻域形变收缩核 (NDR) 就是余纤维化.

在这种意义下, 模型范畴就是 “同伦理论的模型” 或 “同伦理论的模型的范畴”, 我们真正关心的是由纤维化与余纤维化所产生的对象, 分别称为纤维性对象与余纤维性对象, 以及既是纤维性对象又是余纤维性对象的双纤维性对象.

定义 33.1.12 (模型结构). 范畴 $\mathcal{C}$ 上的模型结构是指范畴 $\mathcal{C}$ 配上三类额外的态射:

•	余纤维化 $\mathsf{Cof}\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$.
•	纤维化 $\mathsf{Fib}\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$.
•	弱等价 $\mathsf{W}\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$.

满足下述条件

1.	$\mathsf{W}$ 可以使得 $\mathcal{C}$ 变成弱等价范畴 (定义 33.1.1), 换言之, 其满足 3 选 2 性质.
2.	$(\mathcal{C},\mathsf{Cof}\cap \mathsf{W},\mathsf{Fib})$ 为弱分解系统.
3.	$(\mathcal{C},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib}\cap \mathsf{W})$ 为弱分解系统.

定义 33.1.13 (模型范畴). 称四元组 $(\mathcal{C},\mathsf{W},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib})$ 为模型范畴, 指 $\mathcal{C}$ 为完备且余完备的范畴, 并且 $(\mathsf{W},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib})$ 构成其上的模型结构. 在不引起歧义的情况下, 一般简写为 $\mathcal{C}$.

而后, 给出一些术语

定义 33.1.14 (术语).

•	$\mathsf{W}\cap \mathsf{Fib}$ 中的元素 (即同时为弱等价的纤维化) 称为平凡纤维化或称零伦纤维化.
•	$\mathsf{W}\cap \mathsf{Cof}$ 中的元素 (即同时为弱等价的余纤维化) 称为平凡余纤维化或称零伦余纤维化.
•	对于 $X\in \mathcal{C}$, 若始对象到其的态射 $\varnothing \to X$ 为余纤维化, 则称其为余纤维性对象.
•	对于 $X\in \mathcal{C}$, 若其到终对象的态射 $X\to \ast$ 为纤维化, 则称其为纤维性对象.
•	对于 $X\in \mathcal{C}$, 若其既是纤维性又是余纤维性的, 则称其为双纤维性对象.

事实上, 由于弱分解系统中两类态射能互相确定, 因此 $\mathsf{Cof}$ 和 $\mathsf{Fib}$ 中任一个都能确定另一个.

例 33.1.15 (常见的模型范畴). $\mathsf{Top}$ 上具有两种模型结构
经典的 Quillen 模型结构

•	$\mathsf{W}=\{\text{拓扑空间中的弱同伦等价}\}$.
•	$\mathsf{Fib}={\chi }_R(\{{\mathbb{D}}^n\times \{0\}\hookrightarrow {\mathbb{D}}^n\times I:n\ge 0\})$ 即为 Serre 纤维化所构成的类.
•	$\mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}={\chi }_R(\{{\mathbb{S}}^{n-1}\hookrightarrow {\mathbb{D}}^n:n\ge 0\})$.
•	$\mathsf{Cof}={\chi }_L(\mathsf{Fib}\cap \mathsf{W})$ 为相对 CW 复形的收缩核.
•	纤维性对象: 全体拓扑空间, 余纤维性对象: CW 复形 ([Hovey, Theorem 2.4.19])

Strøm(或 Hurewicz) 模型结构]([??, 1.]

•	$\mathsf{W}=\{\text{同伦等价}\}$.
•	$\mathsf{Fib}$ 为 Hurewicz 纤维化构成的类.
•	$\mathsf{Cof}$ 为 Hurewicz 闭纤维化构成的类.
•	每个对象均为双纤维性对象.

例 33.1.16. 取 $\mathcal{A}$ 为 “好” Abel 范畴 ², 比如令 $R$ 为 (交换) 环, $\mathcal{A}:=R\text{-}\mathsf{Mod}$ 为 $R$-模构成的 Abel 范畴, 考虑链复形范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$. 则其上具有很多种模型结构, 在此只讲述其中两种 ³, 至于更多模型结构可参见 [nLab, model structure on chain complexes].

链复形 ${\mathsf{Ch}}_{\ast ,\ge 0}(\mathcal{A})$ 的投射模型结构

•	$\mathsf{W}$ 为拟同构构成的类.
•	$\mathsf{Fib}$ 为 (逐点的) 满射.
•	$\mathsf{Cof}$ 为带有逐点投射余核的 (逐点的) 单射
•	纤维性对象为全体链复形, 而余纤维性对象为投射对象构成的下有界链复形.

复形的 ${\mathsf{Ch}}_{\ast ,\ge 0}(\mathcal{A})$ 的内射模型结构

•	$\mathsf{W}$ 为拟同构构成的类.
•	$\mathsf{Fib}$ 为带有内射核的 (逐点的) 满射.
•	$\mathsf{Cof}$ 为 (逐点的) 单射.
•	余纤维性对象为全体链复形, 而纤维性对象为所有由内射对象构成的上有界链复形.

定义-命题 33.1.17 ((余) 纤维性替换). 设 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 且 $X\in \mathcal{C}$ 为对象, 则

•	态射 $\varnothing \to X$ 可以被分解为$$\varnothing \stackrel{\in \mathsf{Cof}}{\to }QX\stackrel{\in \mathsf{W}\cap \mathsf{Fib}}{\to }X,$$则 $QX$ 具有余纤维性, 并且弱等价于 $X$. 进一步, 有函子 $Q:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$, 称为余纤维性替换 (或余纤维性消解, 余纤维性逼近).
•	态射 $X\to \ast$ 可以被分解为$$X\stackrel{\in \mathsf{W}\cap \mathsf{Cof}}{\to }RX\stackrel{\in \mathsf{Fib}}{\to }\ast$$则 $RX$ 具有纤维性, 并且弱等价于 $X$. 进一步, 有函子 $R:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$, 称为纤维性替换 (或纤维性消解, 纤维性逼近).

一般地, 任何具有上述性质 $Q:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$(或 $R:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$) 都可以被称为余纤维性替换 (或纤维性替换). 此外, $RQX$ 与 $QRX$ 都具有双纤维性, 且弱等价于 $X$.

证明. 使用模型范畴公理可知余纤维性替换与纤维性替换的存在性, 至于后一部分留给读者作为习题.

$\square$

我们通过以下注记展现余纤维性替换为 “消解” 之意.

注 33.1.18. 考虑链复形的投射模型结构, 则此时余纤维性替换即为投射解消. 对偶地, 考虑上链复形的内射模型结构, 则此时纤维性替换为内射解消. 回忆到在同调代数中, 我们曾使用解消来定义导出函子, 这给予我们使用纤维性和余纤维性替换来定义同伦范畴之间的导出函子的动机.

我们仍以一个非常重要的引理来结束本段内容

引理 33.1.19 (Ken Brown). 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $\mathcal{D}$ 为弱等价范畴. 令 $F:\mathcal{C}\to D$ 为函子, 若 $F$ 将余纤维化对象之间的平凡余纤维化变为弱等价, 则 $F$ 将余纤维化对象之间的弱等价变为弱等价. 对偶地, 若 $F$ 将纤维化对象之间的平凡纤维化变为弱等价, 则 $F$ 将纤维化之间的弱等价变为弱等价.

证明.

证明. 只需证明余纤维化对象的情况即可. 令 $f:A\to B$ 为余纤维化对象之间的弱等价, 考虑推出图表由于 $A$ 和 $B$ 均为余纤维性对象, 因此 $i:A\to A\bigsqcup B$ 以及 $j:B\to A\bigsqcup B$ 均为余纤维化, 进一步 $A\bigsqcup B$ 为余纤维性对象, 考虑态射 $(f,{\mathrm{id}}_Y):X\bigsqcup Y\to Y$, 我们可以将其分解为左侧图表从而 $T$ 为余纤维性对象, 进一步得到中间和右边的图表, 由于 $f$ 为弱等价, 利用 3 选 2 性质给出 $k\circ i$ 为平凡余纤维化, 因此 $F(k\circ i)$ 为弱等价. 接下来说明 $F(p)$ 为弱等价即可, 考虑最右侧图表, 根据 3 选 2 性质不难得到 $k\circ j$ 为弱等价, 从而为平凡余纤维化, 而 $F({\mathrm{id}}_Y)={\mathrm{id}}_{FY}$ 为同构自然为弱等价, 因此 $F(p)$ 也为弱等价.

$\square$

同伦

首先进行一些记号上的回顾与设置, 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 记 $\mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}]$ 为将 $\mathcal{C}$ 视为弱等价范畴时所得到的同伦范畴. 记 ${\mathcal{C}}_c$ (或 ${\mathcal{C}}_f$, ${\mathcal{C}}^{\circ }$) 为由 $\mathcal{C}$ 中的余纤维性对象 (或纤维性对象, 双纤维性对象) 所张成的全子范畴, 此时其内弱等价定义为在包含函子的像为弱等价的态射, 记为 ${\mathcal{W}}_c$(或 ${\mathcal{W}}_f$, ${\mathcal{W}}^{\circ }$).

命题 33.1.20. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 则包含函子诱导范畴等价 ${\mathcal{C}}^{\circ }[({\mathcal{W}}^{\circ }{)}^{-1}]\to {\mathcal{C}}_c[{\mathcal{W}}_c^{-1}]\to \mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}]$ 和 ${\mathcal{C}}^{\circ }[({\mathcal{W}}^{\circ }{)}^{-1}]\to {\mathcal{C}}_f[{\mathcal{W}}_f^{-1}]\to \mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}]$.

证明. 参见 [Hovey, Proposition 1.2.3.].

$\square$

因此我们只需要研究 ${\mathcal{C}}^{\circ }[({\mathcal{W}}^{\circ }{)}^{-1}]$ 这一同伦范畴即可. 我们将说明它确实是一个小范畴, 从而可以直接地研究它.

定义 33.1.21 (模型范畴的同伦). 设 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $X,Y\in \mathcal{C}$ 为两个对象, 且有两个态射 $f,g:X\to Y$, 则

•	$X$ 的柱对象, 记作 $\mathrm{Cyl}(X)$, 指余对角态射 ${\nabla }_X=({\mathrm{id}}_X,{\mathrm{id}}_X):X\bigsqcup X\to X$ 的分解此外, 若还满足 $p\in \mathsf{W}\cap \mathsf{Fib}$, 则称此柱对象是好的.
•	从 $f$ 到 $g$ 的左同伦是使得以下图表交换的态射 $H:\mathrm{Cyl}(X)\to Y$. 此时称 $f$ 左同伦于 $g$, 简记为 $f\stackrel{l}{\sim }g$.
•	$Y$ 的路径对象, 记作 $\mathrm{Path}(Y)$, 指对角态射 ${\Delta }_Y:Y\to Y\times Y$ 的分解若还满足 $i\in \mathsf{W}\cap \mathsf{Cof}$, 则称该路径对象是好的.
•	从 $f$ 到 $g$ 的右同伦是使得以下图表交换的态射 $H:X\to \mathrm{Path}(Y)$. 此时称 $f$ 右同伦于 $g$, 简记为 $f\stackrel{r}{\sim }g$.
•	若 $f$ 既左同伦又右同伦于 $g$ , 则称它们是同伦的, 简记为 $f\sim g$.
•	称 $f$ 是同伦等价, 指存在 $h:Y\to X$ 使得 $hf\sim {\mathrm{id}}_X$ 且 $fh\sim {\mathrm{id}}_Y$.

命题 33.1.22. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 且 $f,g:X\to Y$ 为 $\mathcal{C}$ 中的态射.

1.	考虑 $h:Y\to Z$, 若 $f\stackrel{l}{\sim }g$, 则 $hf\stackrel{l}{\sim }hg$. 对偶地, 若 $f\stackrel{r}{\sim }g$, 考虑 $h:T\to X$, 则 $fh\stackrel{r}{\sim }gh$.
2.	若 $Y$ 为纤维性对象, $f\stackrel{l}{\sim }g$ 且 $h:T\to X$, 则 $fh\stackrel{l}{\sim }gh$. 对偶地, 若 $X$ 为余纤维性对象, $f\stackrel{r}{\sim }g$ 且 $h:Y\to Z$, 则 $hf\stackrel{r}{\sim }hg$.
3.	若 $X$ 余纤维性, 则左同伦为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ 上的等价关系, 若 $Y$ 纤维性, 则右同伦为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ 上的等价关系.
4.	若 $X$ 余纤维性, 且 $h:Y\to Z$ 为平凡纤维化, 则 $h$ 诱导同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)/\stackrel{l}{\sim }\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(Y,Z)/\stackrel{l}{\sim }$$对偶地, 可以得到 $Y$ 纤维性, $h:T\to X$ 为平凡余纤维化的版本.
5.	若 $X$ 余纤维性, 则 $f\stackrel{l}{\sim }g$ 可以推知 $f\stackrel{r}{\sim }g$. 此外, 考虑 $Y$ 的道路对象 $\mathrm{Path}(Y)$, 则存在右同伦 $K:X\to \mathrm{Path}(Y)$. 对偶地, 可以得到 $Y$ 纤维性且 $f\stackrel{r}{\sim }g$ 的情况.

不难发现, 若我们想将同伦等价视为一种等价关系, 就需要使得同伦为等价关系, 并且在复合 (取逆) 下稳定, 根据命题 33.1.22, 这相当于说我们总是需要考虑双纤维性对象.

推论 33.1.23. 在全子范畴 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 中, 同伦关系为可复合的等价关系. 因此可以考虑 ${\mathcal{C}}^{\circ }/\sim$, 其中 $\sim$ 表示同伦.

我们想说明 ${\mathcal{C}}^{\circ }/\sim$ 确实为同伦范畴, 因此需要说明此时同伦等价确实为弱等价

定理 33.1.24 (Whitehead). 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 则双纤维性对象之间的弱等价即为同伦等价.

证明. (待补, 主要是暂时懒得写)

$\square$

因此我们知道

定理 33.1.25. 对于模型范畴 $\mathcal{C}$, 有范畴等价$${\mathcal{C}}^{\circ }/\sim \stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{C}}^{\circ }[({\mathcal{W}}^{\circ }{)}^{-1}]\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{C}[{\mathcal{W}}^{-1}].$$这说明模型范畴的同伦范畴都是局部小范畴.

33.2导出 $\infty$-范畴

第一步: 关于链复形上的模型结构的补充

注 33.2.1. 这一小节最好不要跳过, 这可以为下一小节正式定义导出 $\infty$-范畴提供动机.

我们知道导出范畴实际上是局部化 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathsf{Qis}}^{-1}]$, 现在对于带有足够投射对象的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 可知 ${\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$ 上具有投射模型结构. 因此我们可以定义其导出 $\infty$-范畴为 $\infty$-范畴的局部化:$${\mathcal{D}}^{-}(\mathcal{A}):={\mathsf{Ch}}_{\ast ,-}({\mathcal{A}}_{\mathrm{proj}})[{\mathcal{W}}^{-1}]$$此处 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{proj}}$ 是投射对象所构成的 Abel 子范畴, $\mathcal{W}$ 为链同伦等价构成的弱等价类, 而 ${\mathsf{Ch}}_{\ast ,-}$ 表示下有界链复形, 即由 $n\ll 0$ 时 $M_n\simeq 0$ 的 $M_{\ast }$ 所张成的链复形. 不难发现 ${\mathsf{Ch}}_{\ast ,-}({\mathcal{A}}_{\mathrm{proj}})={\mathsf{Ch}}_{\ast ,\ge 0}(\mathcal{A}{)}^{\circ }$ 即为双纤维性对象所构成的全子范畴. 因此在其上根据定理 33.1.24 可知拟同构即为同伦等价. 因此我们只需要考虑 ${\mathsf{Ch}}_{\ast ,-}({\mathcal{A}}_{\mathrm{proj}})$ 关于链同伦等价的局部化即可.
对偶地, 对于具有足够内射对象的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 可知 ${\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$ 带有内射模型结构. 因此可以定义其导出 $\infty$-范畴为 $\infty$-范畴的局部化:$${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A}):={\mathsf{Ch}}_{\ast ,+}({\mathcal{A}}_{\mathrm{inj}})[{\mathcal{W}}^{-1}]$$此处 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{inj}}$ 是内射对象所构成的 Abel 子范畴. 而 ${\mathsf{Ch}}_{\ast ,-}$ 表示上有界链复形, 即由 $n\gg 0$ 时 $M_n\simeq 0$ 的 $M_{\ast }$ 所张成的链复形. 但是我们目前缺乏在 $\infty$-范畴视角下对其进行局部化的方式. 不过这马上就可以得到解决

第二步: 编码链复形以及同伦结构

定义 33.2.2 (微分分次范畴). 微分分次范畴 (或称 dg-范畴) 是指 ${\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathsf{Ab})$-充实范畴.

不难发现 dg-范畴由以下信息组成:

•	对应任意 $x,y\in \mathcal{C}$, 有上链复形 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)\in \mathsf{Ch}(\mathsf{Ab})$, 称为态射复形.
•	结合律由链同态$$-\circ -:{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)\otimes {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(y,z)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,z)$$给出.
•	存在 $0$-圈 (表示单位元) ${\mathrm{id}}_x\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,x{)}^0$, 使得对应任意 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y{)}_m$ 以及 $g\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(y,x{)}_n$ 有 $f\circ {\mathrm{id}}_x=f$, 且 ${\mathrm{id}}_x\circ g=g$.

定义-命题 33.2.3 (微分分次脉). 令 $\mathcal{C}$ 为 dg-范畴. 则其对应于一个拟范畴 $N^{\mathrm{dg}}(\mathcal{C})$, 称为 $\mathcal{C}$ 的微分分次脉. 具体定义如下:

•	$0$-单形为 $\mathcal{C}$ 中的对象.
•	$1$-单形为 $\mathcal{C}$ 中的态射, 即 $\{X_0,X_1\}$ 并且带有满足 $d{f}_{01}=0$ 的 $f_{01}\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X_0,X_1{)}_0$.
•	$2$-单形由三元组 $(X,Y,Z)$ 以及满足 $df=dg=dh=0$ 的三个态射$$f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y{)}_0,g\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(Y,Z{)}_0,h\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Z{)}_0$$并且具有 $z\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Z{)}_1$ 使得 $dz=(g\circ f)-h$.
•	一般地, 对于任意子集 $I=\{i_{-}<i_m<i_{m-1}<\cdots <i_1<i_{+}\}\subseteq [n]$ 以及 $m\ge 0$. $f_I$ 为 Abel 群 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X_{i_{-}},X_{i_{+}}{)}_m$ 中满足等式$$d{f}_I=\sum _{1\le j\le m}(-1{)}^j(f_{I-\{i_j\}}-f_{\{i_j<\cdots <i_1<i_{+}\}}\circ f_{\{i_{-}<i_m<\cdots <i_j\}})$$的元素.

若 $\alpha :[m]\to [n]$ 为保序映射, 则 $N^{\mathrm{dg}}(\mathcal{C}{)}_n\to N^{\mathrm{dg}}(\mathcal{C}{)}_m$ 定义为$$(\{X_i{\}}_{0\le i\le n},\{f_I\})\mapsto (\{X_{\alpha (j)}{\}}_{0\le j\le m},\{g_J\})$$其中$$g_J=\{\begin{array}{llc}& f_{\alpha (j)},& \text{若}\alpha {\mid }_J\text{单}.\\ & {\mathrm{id}}_X,& \text{若}J=\{j,j^{\prime }\}\text{且}\alpha (j)=\alpha (j^{\prime })=i\\ & 0,& \text{其它}\end{array}$$

证明.

证明. 暂时略过

$\square$

注 33.2.4. dg-脉实际上是将 dg-范畴及其同伦信息进行编码的一种手段, 接下来我们将看到这一点.

定义 33.2.5 (同伦范畴). 令 $\mathcal{C}$ 为 dg-范畴, 则其同伦范畴 $h\mathcal{C}$ 定义为

•	对象为 $\mathcal{C}$ 中的对象.
•	态射由下式给出: $${\mathrm{Hom}}_{h\mathcal{C}}(X,Y)=H_0({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y{)}_{\ast })$$

例 33.2.6. 对于 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 其链复形范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 自然带有微分分次结构. 其作为 dg-范畴的同伦范畴即为链复形的同伦范畴 $\mathsf{hCh}(\mathcal{A})$.

注 33.2.7. 对于 dg-范畴 $\mathcal{C}$, 其同伦范畴正是 dg-脉 $N^{\mathrm{dg}}(\mathcal{C})$ 的同伦范畴, 即$$h\mathcal{C}=h{N}^{\mathrm{dg}}(\mathcal{C}).$$

因此 $N^{\mathrm{dg}}(\mathcal{C})$ 是对于 $\mathcal{C}$ 以及其对应的同伦信息的编码. 当我们取 $\mathcal{C}=\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 时, $N^{\mathrm{dg}}(\mathcal{C})$ 正是 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathcal{W}}^{-1}]$. 即 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 作为 $\infty$-范畴 (取脉) 之后对于同伦等价的局部化. 从而结合上一小节的探讨, 可以给出导出 $\infty$-范畴的定义.

定义 33.2.8 (导出 $\infty$-范畴).

•	设 $\mathcal{A}$ 为具有足够多投射对象的 Abel 范畴. 则其导出 $\infty$-范畴 ${\mathcal{D}}^{-}(\mathcal{A})$ 定义为$${\mathcal{D}}^{-}(\mathcal{A}):=N^{\mathrm{dg}}({\mathsf{Ch}}_{\ast ,-}({\mathcal{A}}_{\mathrm{proj}}))$$
•	设 $\mathcal{A}$ 为具有足够多内射对象的 Abel 范畴. 则其导出 $\infty$-范畴 ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 定义为$${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A}):=N^{\mathrm{dg}}({\mathsf{Ch}}_{\ast ,+}({\mathcal{A}}_{\mathrm{inj}}))$$

33.3稳定 $\infty$-范畴结构

脚注

1.	^ 使用该词的缘由在于在拓扑空间中, 称两个空间具有相同的同伦型, 指存在它们之间的态射诱导同伦群的同构. 这些态射比同伦等价更加一般, 因此称为弱等价.
2.	^ 此处 “好” 在投射模型结构下为带有足够多的投射对象, 在内射模型结构下为带有足够多的内射对象.
3.	^ 投射模型结构源自于 [??, 2.4 最后 Remark 的 item 5](它们互为对偶, 因此一者为链复形而一者为上链复形), 内射模型结构可参见 [??, Theorem 2.4.5. 而证明见 2.5]