35. Grothendieck-Lurie 构造

本节来介绍 $\infty$-范畴上的 “纤维丛” 概念.

35.1Lurie-Grothendieck 构造

我们从经典的 Grothendieck 构造开始了解其含义. 令 $\mathcal{D}$ 为 $1$-范畴, 而 $\mathsf{Cat}$ 为 $(1,1)$-范畴所构成的范畴, $\mathsf{Gpd}$ 为 $(1,0)$-范畴 (即群胚) 所构成的范畴, 问题起源于我们该如何描述 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Gpd}$, 或者更一般的, 如何描述 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Cat}$?
让我们先用较为 “几何” 的视野来看待这一问题, 对于 $X,Y\in \mathcal{D}$, $F(X)$ 和 $F(Y)$ 无非是群胚 (或 $1$-范畴) 而态射 $\alpha :X\to Y$ 可以被视为函子 $F(\alpha )$ 使得对于任意 $u\in F(X)$, 存在 $w\in F(Y)$ 使得 $F(\alpha )(u)=w$.对于函子 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Gpd}$, 可以通过一种称为 Grothendieck 构造的方式定义出范畴 $\int F$ :

•	$\int F$ 中的对象为二元组 $(X,u)$ 其中 $X\in \mathcal{D}$ 且 $u$ 为群胚 $F(X)$ 中的对象.
•	给定 $\int F$ 中的对象 $(X,u)$ 和 $(Y,v)$, 态射 $(X,u)\to (Y,v)$ 为一对二元组 $(\alpha ,f)$ 其中 $\alpha :X\to Y$ 为 $\mathcal{D}$ 中的态射, 且 $f:F(\alpha )(u)\simeq v$ 为 $F(D^{\prime })$ 中的同构.
•	态射复合的定义是显然的.

具有显然的遗忘函子 $U:\int F\to \mathcal{D}$ 将 $(X,u)$ 映为 $X$. 如图所示事实上, 可以通过 $\int F$ 以及 $U$ (在等价意义下) 来确定函子 $F$. 举例明之, 若 $X\in \mathcal{D}$ 为对象, 则有拉回事实上, Grothendieck 构造建立起了 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Gpd}$ 与二元组 $(\int F,U)$ 之间的对应. 现在我们反过来考虑这一问题: 是否对于所有函子 $U:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 都存在 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Gpd}$(或打到 $\mathsf{Cat}$) 与之对应. 这显然并不成立, 因此需要对于满足上述条件的对象进行区分 (在此暂且只考虑 $\mathsf{Gpd}$ 的情况)

定义 35.1.1 (群胚异纤维化). 令 $U:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为范畴间的函子. 称 $U$ 为群胚异纤维化是指其满足以下两个条件

1.	对于任意的 $X\in \mathcal{C}$, 以及 $\mathcal{D}$ 中的态射 $\bar{f}:U(X)\to \bar{Y}$ 都存在 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:X\to Y$ 使得 $\bar{Y}=U(Y)$ 且 $\bar{f}=U(f)$.
2.	对于 $\mathcal{C}$ 中的态射 $g:X\to Y$ 以及 $Z\in \mathcal{C}$, 以下图表总是拉回

此时, 也称 $\mathcal{C}$ 在 $\mathcal{D}$ 上群胚异纤维.

注 35.1.2. 当然, 还有其对偶概念, 成为群胚纤维化, 见 [Kerodon, 0157].

例 35.1.3. 令 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Gpd}$ 为函子, 则 $U:\int F\to \mathcal{D}$ 为群胚异纤维化.

上例在此时就可以反过来, 此时对于群胚异纤维化 $U:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 以及对象 $X\in \mathcal{D}$, 其纤维为 ${\mathcal{C}}_X=\mathcal{C}\underset{\mathcal{D}}{\times }\{X\}$ 为群胚. 此外对于每个 $\mathcal{D}$ 中的态射 $\alpha :X\to Y$, 都对应于函子 ${\alpha }_{†}:{\mathcal{C}}_X\to {\mathcal{C}}_Y$¹使其对于每个 $u\in {\mathcal{C}}_X$ 都可以选定态射 $\bar{f}:u\to w$ 其 “覆盖” $\alpha :X\to Y$, 并且有 ${\alpha }_{†}(u)=w$, 虽然 $\bar{f}$ 不是唯一确定的, 但其在同构意义下是唯一确定的并且关于 $u$ 具有函子性. 因此这样给出在同构意义下良定的函子 ${\alpha }_{†}$. 由此可以试着通过以下公式定义出函子 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Gpd}$.$$\begin{array}{rl}X& \mapsto {\mathcal{C}}_X\\ f& \mapsto f_{†}\end{array}$$但是由于 $f_{†}$ 是同构意义下唯一的, 因此 $(f\circ g{)}_{†}$ 也只能在同构意义下等于 $f_{†}\circ g_{†}$, 而不能实现为严格相等. 因此在 $\infty$-范畴上考虑这一问题是更为合理的 ².

定义 35.1.4 (左 (右) 纤维化的第一种刻画方式). 对于单纯集之间的态射 $f:X\to S$, 称其为左 (右) 纤维化是指它关于 $\{{\Lambda }_i^n\hookrightarrow {\Delta }^n:0\le i<n\}$($\{{\Lambda }_i^n\hookrightarrow {\Delta }^n:0<i\le n\}$) 具有右提升性质, 即对于 $0\le i<n$ (或 $0<i\le n$) 以下提升问题有解

注 35.1.5. 后文我们将提出另一种定义方式.

下一则命题将说明在单纯集下, 群胚异纤维化被刻画为左纤维化, 而对偶的群胚纤维化概念被刻画为右纤维化.

命题 35.1.6 (右 (左) 纤维化与群胚 (异) 纤维化). 令 $U:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为范畴间的函子. 则

1.	$U$ 为群胚异纤维化当且仅当 $N(U):N(\mathcal{C})\to N(\mathcal{D})$ 为单纯集之间的左纤维化.
2.	$U$ 为群胚纤维化当且仅当 $N(U):N(\mathcal{C})\to N(\mathcal{D})$ 为单纯集之间的右纤维化.

证明.

证明. 只证明 1., 2. 的证明是完全类似的.

($\Rightarrow$).

假定 $U$ 为群胚异纤维化, 需要证明对于 $0\le i<n$, 以下提升问题有解由脉的定义可知对于 $0<i<n$ 的情况提升自动存在, 接下来证明 $i=0$ 的情况. ∘ $n=1$ 时, 图表交换性相当于说给定一点 $X\in \mathcal{C}$ 以及给定 $\mathcal{D}$ 中的态射 $\bar{f}:U(X)\to \bar{Y}$, 由定义 35.1.1 可知存在 $f:{\Delta }^1\to \mathcal{C}$ 使得 $f:X\to Y$, $\bar{Y}=U(Y)$ 且 $\bar{f}=U(f)$. ∘ $n=2$ 时, 图表的交换性相当于给出 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:X\to Y$ 以及 $h:X\to Z$ 使得 $U(h)=\bar{g}\circ U(f)$, 其中 $\bar{g}\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(Y),F(Z))$ 因此根据定义 35.1.1 可知存在 $g:Y\to Z$ 使得 $U(g)=\bar{g}$, 即 $h\simeq g\circ f$, 即有 $\sigma :{\Delta }^2\to \mathcal{C}$ 表示该复合. ∘ $n=3$ 时, ${\sigma }_0$ 给出 $\mathcal{C}$ 中对象 $\{X_j{\}}_{0\le j\le 3}$ 以及态射 $\{f_{jk}:X_j\to X_k{\}}_{0\le j\le k\le 3}$ 使得$$f_{03}=f_{23}\circ f_{02},f_{03}=f_{13}\circ f_{01},f_{02}=f_{12}\circ f_{01}$$图示如下只需要给出 $f_{13}=f_{23}\circ f_{12}$ 即可 (结合律由范畴的结合律所保证所保证), 而这由 $n=2$ 的情况可以保证. ∘ $n\ge 4$ 时, ${\Lambda }_i^n$ 包含了 ${\Delta }^n$ 的 $2$-骨架, 不难说明其可延拓性.

($\Leftarrow$).

假定 $N(U)$ 是左纤维化, 现说明 $U$ 为群胚异纤维化, 而根据 ($\Rightarrow$) 可以轻松反向推导出定义 35.1.1 的 1., 只需要说明 2. 即可, 考虑图表可知存在 $g:Y\to Z$ 使得左侧图表交换, 且有 $U(g)=\bar{g}$, 只需要说明唯一性, 设还存在 $g^{\prime }$ 满足前文所述条件, 则考虑由左纤维化定义可知存在填充, 因此 $g^{\prime }={\mathrm{id}}_Z\circ g^{\prime }=g$.

$\square$

现在我们来考虑 $\mathsf{Cat}$ 的情况. 我们同样有着如下的 Grothendieck 构造. 令 $F:\mathcal{D}\to \mathsf{Cat}$, 可以定义范畴 $\int F$ 为以下信息:

•	$\int F$ 中的对象为二元组 $(X,u)$, 其中 $X\in \mathcal{D}$ 而 $u$ 为 $F(C)$ 中的对象.
•	给定 $\int F$ 中的对象 $(X,u)$ 和 $(Y,v)$, 态射 $(X,u)\to (Y,v)$ 为二元组 $(\alpha ,f)$ 其中 $\alpha :X\to Y$ 为 $\mathcal{D}$ 中的态射, 且 $f:\eta \to F(\alpha )(v)$ 为 $F(D)$ 中的态射.

这一范畴称为异纤维范畴, 即为 $\mathcal{C}$ 上由范畴拼接成的纤维丛. 当然, 其在 $\infty$-范畴中也有其对应, 称为推出纤维化. 接下来不再废话, 直接给出其定义 (也将给出左纤维化的新刻画方式):

定义 35.1.7 (推出纤维化). 令 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴之间的函子.

1.	不正式的说, $\mathcal{E}$ 中态射 $f:x\to y$ 称为 $p$-推出是指其满足以下条件: 对于任意 $\mathcal{E}$ 中的边 $g:x\to z$ 以及填充 $\sigma :{\Delta }^2\to \mathcal{C}$ 都存在 (可缩意义下) 唯一的填充 $\tau :{\Delta }^2\to \mathcal{E}$ 使得 $p(\tau )=\sigma$ 图解如下, 其中带虚线的 $2$-箭头表示这一提升的过程. 让我们正式点说, $f:x\to y$ 被称为是 $\mathbf{p}$-推出是指对于任意 $z\in \mathcal{E}$, 图表为生象的同伦拉回图表 (即 $p_{\ast }{f}^{\ast }$ 同伦于 $p(f{)}^{\ast }{p}_{\ast }$).
2.	令 $p\text{-}\mathsf{Cocart}\subseteq \mathrm{Fun}([1],\mathcal{E})$ 为由 $p$-推出边所张成的全子范畴. 则称 $p$ 为推出纤维化是指以下图表中的典范态射为 $\infty$-范畴的等价. 其中 $P$ 为拉回. $s$ 表示来源. 因此 $\mathcal{P}$ 相当于是从 $p$ 的像中某一点出发的全体态射. 因此 $p\text{-}\mathsf{Cocart}\to \mathcal{P}$ 自动全忠实.
3.	此时可以给出左纤维化的另一刻画方式 (后文将说明区别), 称 $p$ 为左纤维化是指其为推出纤维化并且满足以下等价条件: i $\mathrm{St}(p):\mathcal{C}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 穿过 $\mathsf{Ani}$. ii $p$ 的导出纤维是生象, 即对于任意 $p$ 在 Joyal 模型结构中的分解 (取 $(\mathsf{W}\cap \mathsf{Cof},\mathsf{Fib})$) $\mathcal{E}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{E}}^{\prime }\twoheadrightarrow \mathcal{C}$ ${\mathcal{E}}^{\prime }\to \mathcal{C}$ 的纤维都是生象. iii $p$ 是保守函子, 即对于 $\mathcal{E}$ 中的边 $f$, 其为同构当且仅当 $p(f)$ 为同构. iv $\mathcal{E}$ 中的全体边都是 $p$-推出边.

对偶地, 可以给出拉回纤维化以及新的右纤维化概念.

注 35.1.8. 上述推出纤维化的定义比起 [HTT, Definition 2.4.2.1.] 或 [Kerodon, 01UA] 缺少了内纤维化条件, 这虽然更加自然, 但是会导致我们所得到的推出纤维化概念是在相差范畴等价 (或称 Joyal 等价) 的意义下成立的. 这一新定义的好处在于可以避免一些单纯集上的不便, 当然, 如果你执着于将每一点的纤维都变为 $\infty$-范畴, 就需要加上内纤维化条件.
此外左纤维化的定义也有略微区别, 体现在其定义的 ii, 可以发现与推出纤维化的差别是一致的. 我们以后称新定义的推出/拉回纤维化和左/右纤维化为推出/拉回纤维化和左/右纤维化.

引理 35.1.9 (相容性). 定义 35.1.7 中虚线箭头 $q$ 自动全忠实. 特别地, 对于函子 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$, 以下条件等价:

1.	$p$ 是推出纤维化/左纤维化.
2.	对于 $p$ 在 Joyal 模型结构中的分解 (取 $(\mathsf{W}\cap \mathsf{Cof},\mathsf{Fib})$) $\mathcal{E}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{E}}^{\prime }\twoheadrightarrow \mathcal{C}$ , 有 ${\mathcal{E}}^{\prime }\to \mathcal{C}$ 为旧版本 (即 [HTT] 和 [Kerodon] 版本) 的推出纤维化/左纤维化.

证明. [MG15].

$\square$

接下来来介绍本章的核心定理: 直化定理

定理 35.1.10 (直化/反直化). 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. 则

1.	令 $\mathsf{Cocart}(\mathcal{C})\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$ 为由 $\mathcal{C}$ 上推出纤维化以及保持推出边的态射所给出的 (非全) 子范畴. 则有 $\infty$-范畴之间的等价此处 $\mathrm{St}$ 和 $\mathrm{Un}$ 分别称为直化和反直化函子. 对于推出纤维化 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$, 在范畴等价意义下其对应于函子 $\mathrm{St}(p):\mathcal{C}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 而其在 $x\in \mathcal{C}$ 的取值对应于导出纤维 $p^{-1}(\{x\})$.
2.	令 $\mathsf{Cart}(\mathcal{C})\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$ 为由 $\mathcal{C}$ 上拉回纤维化所给出的 (非全) 子范畴. 则有 $\infty$-范畴之间的等价
3.	令 $\mathsf{Left}(\mathcal{C})\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$ 为由 $\mathcal{C}$ 上左纤维化所给出的全子范畴. 则有 $\infty$-范畴之间的等价
4.	令 $\mathsf{Right}(\mathcal{C})\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$ 为由 $\mathcal{C}$ 上右纤维化所给出的全子范畴. 则有 $\infty$-范畴之间的等价

让我们回到 $2$-范畴上, 可以给出对应$$\{\text{纤维范畴}\mathcal{E}\to \mathcal{C}\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }\{\text{2-预层}{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}\}$$可见于 [Kerodon, 01SU], 当然可以说明它还是 2-范畴的等价. 这相当于说纤维范畴就是 2-预层.

35.2直化/反直化定理的证明

本节来对于定理 35.1.10 进行初步证明, 这绕不开一些模型范畴的操作. 我们只证明拉回纤维化的情况, 推出纤维化是完全类似的. 为方便起见, 本节的推出纤维化要求为内纤维化.

传输函子

首先, 令 $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为拉回纤维化, $f:x\to y$ 为 $\mathcal{D}$ 中的态射, 我们需要构建出 $\infty$-范畴之间的函子 ${\mathcal{C}}_x\to {\mathcal{C}}_y$. 为此, 我们需要引入截面所构成的 $\infty$-范畴.

定义 35.2.1. 对于拉回纤维化 $p:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 记 $\mathsf{Sect}(p)$ 为拉回$$\mathsf{Sect}(p)\mathrm{Fun}(\mathcal{D},\mathcal{C})\{{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\}\mathrm{Fun}(\mathcal{D},\mathcal{D}).p_{\ast }$$而根据假设, 拉回纤维化自动为范畴纤维化, 且范畴纤维化在拉回下稳定, 因此 $\mathsf{Sect}(p)$ 确为 $\infty$-范畴.

接下来取 $\mathcal{D}=[1]$, 且令$${\mathsf{Sect}}_{/[1]}^{\mathsf{Cart}}(p)\subseteq \mathsf{Sect}(p)$$为由 $\mathcal{C}$ 中的 $p$-推出态射所构成的全子范畴.

命题 35.2.2. 令 $p:\mathcal{C}\to [1]$ 为 $\infty$-范畴间的拉回纤维化, 则求值函子$${\mathrm{ev}}_1:{\mathsf{Sect}}_{/[1]}^{\mathsf{Cart}}(p)\to {\mathcal{C}}_1,$$为范畴等价.

证明.

证明. 由于有足够的 $p$-拉回态射, 因此自然本质满. 只需说明其全忠实, 为此考虑 ${\mathsf{Sect}}_{[1]}^{\mathsf{Cart}}(p)$ 中的对象 $x\stackrel{f}{\to }y$ 以及 $x^{\prime }\stackrel{f^{\prime }}{\to }{y}^{\prime }$, 不难发现态射生象为拉回$${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Sect}}_{[1]}^{\mathsf{Cart}}(p)}(f,f^{\prime }){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_0}(x,x^{\prime }){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_1}(y,y^{\prime }){\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y^{\prime }).$$由于 $f$ 为 $p$-拉回态射, 因此有同构 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_0}(x,x^{\prime })\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y^{\prime })$. 从而有同构 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Sect}}_{[1]}^{\mathsf{Cart}}(p)}(f,f^{\prime })\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_1}(y,y^{\prime })$. 从而验证全忠实性.

$\square$

现在我们可以构造传输函子.

标记单纯集

35.3覆叠空间

根据左纤维化定义以及同伦假设我们知道实际上可以将左纤维化 $S\to \mathcal{C}$ 对应为 $\mathcal{C}\to \mathsf{Ani}$. 但是, 不难发现 $\mathsf{Set}\subset \mathsf{Ani}$, 现在我们来考虑当对应的函子 $\mathcal{C}\to \mathsf{Ani}$ 穿过 $\mathsf{Set}$ 时, 又会发生什么呢?

35.4Quillen 定理 A

使用直化定理, 就可以证明 Quillen 定理 A