37. 可表现范畴

本章来讲述一下可表现 $\infty$-范畴. 本章主要复述 [Nikolaus 24, Chapter 2] 的大致内容, 以此顺带为外篇的连续 K 理论以及流形上的层部分作为基础.

37.1可表现 $\infty$-范畴

令 $\kappa$ 为正则基数, 则

定义 37.1.1.

1.	$\infty$-范畴 $I$ 被称为是 $\kappa$-滤的, 是指对于任意图表 $K\to I$, 都可以被延拓到其右锥 (定义 31.3.26) 上: $K^{⊳}\to I$.
2.	对于具有小余极限的 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, 称其上对象 $X\in \mathcal{C}$ 是$\kappa$-紧的, 是指 $\mathrm{Hom}(X,-)$ 保 $\kappa$-滤余极限, 换句话说, 对于对于任意 $\kappa$-滤范畴 $I$, 以及图表 $Y:I\to \mathcal{C}$, 都有同构$$\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y_i)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{Y}_i).$$记全体 $\kappa$-紧对象所生成的全子范畴为 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$.

当 $\kappa =\omega$ 时 (见词条序数), 将 $\kappa$-紧和 $\kappa$-滤简称为紧和滤.

例 37.1.2.

1.	在 $\mathsf{Set}$ 中, $\kappa$-紧对象为 $\kappa$-小集合, 即基数小于 $\kappa$ 的集合. 对于给定集合 $S$, 其全体 $\kappa$-小子集构成 $\kappa$-滤范畴, 因为全体少于 $\kappa$ 个 $\kappa$-小子集的并仍为 $\kappa$-小的.
2.	选定环 $R$, ${\mathsf{Mod}}_R$ 中的 $\kappa$-紧对象为少于 $\kappa$ 个生成元和关系所生成的可表现模.
3.	$\mathcal{D}(R)$ 中的 $\kappa$-紧对象为由少于 $\kappa$ 个生成元所构成的复形.
4.	$\mathsf{Ani}$ 中的 $\kappa$-紧对象为由具有少于 $\kappa$ 个非退化单形的单纯集及其收缩核所给出的单纯集.

引理 37.1.3.

1.	在 $\mathsf{Ani}$ 中, $\kappa$-小极限与 $\kappa$-滤余极限交换.
2.	$\kappa$-紧对象的 $\kappa$-小余极限也是 $\kappa$-紧对象.

证明. 后文中会在一般的可表现 $\infty$-范畴上说明这一点.

$\square$

37.2$\infty$-意象

事实上, 景只是为了定义层的中间产物. 而层范畴才是我们真正想定义出的某种抽象的空间, 称为意象. 在 $\infty$-范畴语境下, 层范畴自然是 $\infty$-意象.

定义 37.2.1 ($\infty$-意象). 令 $\mathcal{X}$ 为 $\infty$-范畴, 则称 $\mathcal{X}$ 为 $(\infty ,1)$-意象是指存在小 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 以及可达左正合局部化函子 $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})\to \mathcal{X}$.

一般而言, 对于 $\infty$-意象, 我们会使用 Giraud 公理所定义出的版本, 为介绍该版本的 $\infty$-意象, 引入两个概念:

定义 37.2.2. 令 $\mathcal{C}$ 为可表现的 $\infty$-范畴, 称 $\mathcal{C}$ 中余极限是万有的是指对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:T\to S$, 其诱导的拉回函子$$f^{\ast }:{\mathcal{C}}^{/S}\to {\mathcal{C}}^{/T}$$保 (小) 余极限.

定义 37.2.3 (群胚对象). $\mathcal{C}$ 中的群胚对象是指单纯对象 $U$, 它使得任意 $[n]$ 中满足 $S\cap S^{\prime }=\{s\}$ 的分划 $S\cup S^{\prime }$ 都会给出拉回图表

定义 37.2.4. 令 $U_{\bullet }$ 为 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象, 称其为有效群胚是指其可以被延拓为余极限图表 $U_{\bullet }^{+}:{\mathbb{\Delta }}_{+}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$. 使得 $U_{\bullet }^{+}$ 为 Čech 脉.

定理 37.2.5. 令 $\mathcal{X}$ 为 $\infty$-范畴. 以下条件等价:

1.	$\infty$-范畴 $\mathcal{X}$ 为 $\infty$-意象.
2.	$\infty$-范畴 $\mathcal{X}$ 满足 Giraud 公理的 $\infty$-范畴版本, 即 1. $\mathcal{X}$ 是可表现的. 2. $\mathcal{X}$ 中的余极限是万有的. 3. $\mathcal{X}$ 中余积是无交的, 即对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$ 有为拉回图表 (确实是拉回). 4. $\mathcal{C}$ 中的群胚对象都是有效的.

证明. [HTT, Theorem 6.1.0.6.]

$\square$

下述引理将揭示 $\infty$-意象的性质.

引理 37.2.6. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-景, 且 $\mathcal{D}$ 为完备 $\infty$-范畴, $\mathcal{X}:=\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$. 则复合上函子 $\mathcal{C}\to \mathcal{X}$ 给出 $\infty$-范畴的等价$$\mathrm{Sh}(\mathcal{X},\mathcal{D})\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D}).$$

证明.

证明. [SAG, Proposition 1.3.1.7]. 证明思路为由 Yoneda 嵌入忠实性, 任意 $\mathcal{F}\in \mathcal{X}$ 都可以写为可表层的余极限 (层化作为左伴随保余极限). 因此过渡回 $\mathcal{C}$ 上.

$\square$

37.3可表现范畴—线性代数对应

本节来说明如何将可表现 $\infty$-范畴理论视为线性代数的 $(\infty ,1)$-范畴化, 不过说到底这只是粗略的类比.

积分变换

37.4紧聚集范畴