39. 高阶代数初步

高阶代数是范畴代数在 $\infty$-范畴中的推广. 不过在 $\infty$-范畴上, 我们可以使用代数模式的语言来描述高阶代数. 不过在引入代数模式之前, 我们先回顾使用算畴语言定义的代数结构.

39.1$\infty$-算畴

对称幺半 $\infty$-范畴

趁此机会介绍对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴, 它是对称幺半范畴在 $\infty$-范畴中的对应. 首先介绍带点有限集范畴及其上的结构

定义 39.1.1 (范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$). 考虑带基点有限集范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 即其对象为选定了一个元素 (称为基点) 的有限集, 映射为保持基点的映射.

对自然数 $n$, 以 $⟨n⟩$ 记集合 $\{0,\dots ,n\}$, 基点为 $0$; 对于去掉基点的情况, 记为 ${⟨n⟩}^{\circ }$. 以 ${\alpha }_n$ 记映射 $⟨n⟩\to ⟨1⟩$, 把 $0$ 映到 $0$, 其它元素映到 $1$; 对正整数 $i\le n$, 以 ${\iota }_{n,i}$ 记映射 $⟨n⟩\to ⟨1⟩$, 把 $i$ 映到 $1$, 把其它元素映到 $0$.

现在考虑函子$${\mathsf{Fin}}_{\ast }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$$它将 $⟨n⟩$ 映为 $\infty$-范畴 ${\mathcal{C}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$. 我们想将其视为 ${\mathcal{C}}^n$(准确来说是 ${\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^n$), 即 $n$ 个 ${\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$ 中对象的排列组合, 并且使得 $(X_1,X_2)=(X_2,X_1)$. 那么我们该如何定义出这样的东西呢? 不难发现 ${\iota }_{n,i}:⟨n⟩\to ⟨1⟩$ 相当于说将 $(X_1,\cdots ,X_n)$ 映为第 $i$ 位的 $X_i$, 因此我们只需要让$${\iota }_{n,1}\times \cdots \times {\iota }_{n,n}:{\mathcal{C}}_{⟨n⟩}^{\otimes }\to ({\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }{)}^n$$为范畴等价即可. 那么此时对称性和结合律该作何解? 让我们细细道来, 首先还是需要定义出 $\otimes$ 这一概念. 接下来记 ${\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$ 为 $\mathcal{C}$, 观察到我们将 ${\iota }_{n,i}$ 视为打到第 $i$ 个分量的态射, 那么 ${\alpha }_n$ 就应该是求和的态射, 因此对于 $n=2$ 的时候, ${\iota }_{2,1},{\iota }_{2,2}$ 以及 ${\alpha }_2$ 可以给出函子$$-\otimes -:\mathcal{C}\times \mathcal{C}\simeq {\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }\times {\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }\stackrel{{\iota }_{2,1}\times {\iota }_{2,2}}{\leftarrow }{\mathcal{C}}_{⟨2⟩}^{\otimes }\stackrel{{\alpha }_2}{\to }{\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }\simeq \mathcal{C}$$这给出 $(A,B)\mapsto A\otimes B$. 同理, 对于 $n$ 元的情况也可以类似结果. 接下来我们给出其对称性的说明, 至于结合律留给读者自行思考.
对于 $n=2$ 时, 考虑 $\sigma :⟨2⟩\to ⟨2⟩$ 使得 $\sigma (1)=2,\sigma (2)=1$, 则 $\alpha \circ \sigma =\alpha$ 且 ${\iota }_{2,i}\circ \sigma ={\iota }_{2,\sigma (i)}$. 这给出$$(A,B)\mapsto A\otimes B\text{以及}(A,B)\mapsto B\otimes A$$$n$ 元的情况是类似的. 因此我们可以说明所得到的结构就是一个对称幺半 $\infty$-范畴, 而由定理 35.1.10 可知这对应一个推出纤维化, 因此得到定义:

定义 39.1.2. 对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴指 $(\infty ,1)$-范畴的推出纤维化 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 满足:

•	对任意自然数 $n$, 沿 ${\iota }_{n,1},\dots ,{\iota }_{n,n}$ 做推出, 在纤维上得到的函子 ${\mathcal{C}}_{⟨n⟩}^{\otimes }\to ({\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }{)}^n$ 是范畴等价.

称 $⟨1⟩\in {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 上的纤维 ${\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$ 为对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 的底范畴, 记作 $\mathcal{C}$. 没有歧义时, 常以 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 甚至 $\mathcal{C}$ 代表对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$.

对 $n\in \mathbb{N}$ 以及 $X_1,\dots ,X_n\in \mathcal{C}$, 可将 $(X_1,\dots ,X_n)\in {\mathcal{C}}^n\cong {\mathcal{C}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$ 沿 ${\alpha }_n$ 做推出, 所得对象记作$$X_1\otimes \cdots \otimes X_n\in \mathcal{C},$$称作 $X_1,\dots ,X_n$ 的张量积. 当 $n=0$ 时, 此对象记作$$1_{\mathcal{C}}\in \mathcal{C},$$称作对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 的幺元; 无歧义时也可只写 $1$.

$\infty$-算畴

为构造代数结构, 我们需要引入 $\infty$-算畴概念. 它可以视为算畴和多元范畴在高阶代数中的推广. 它是只对于某些特殊态射 (称为惰性态射) 具有足够的 $p$-推出态射, 关于 ${\iota }_{i,n}$ 具有推出纤维性 (体现为任意态射 $f$ 所对应的提升都由 ${\iota }_{i,n}\circ f$ 所对应的提升所决定), 且能够模拟对称幺半结构的 $\infty$-范畴 $\mathcal{O}$. 对于 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的态射 $f:⟨m⟩\to ⟨n⟩$, 称其为惰性的是指 $f{\mid }_{⟨n⟩\setminus f^{-1}(0)}:⟨n⟩\setminus f^{-1}(0)\stackrel{\sim }{\to }⟨m⟩\setminus \{0\}$ 为同构.

定义 39.1.3 ($(\infty ,1)$-算畴). $(\infty ,1)$-算畴指二元组 $\mathcal{O}=({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$, 其中

•	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 是 $\infty$-范畴, 称为 $\mathcal{O}$ 的全范畴.

•	$p:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 是 $\infty$-范畴间的函子.

它们满足如下条件: 记 ${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }=p^{-1}(⟨n⟩)$ 为 $p$ 于 $⟨n⟩$ 处的纤维, 则

1.	(惰性态射提升) 对 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的任意惰性态射 $f:⟨m⟩\to ⟨n⟩$, 及任意 $C\in {\mathcal{O}}_{⟨m⟩}^{\otimes }$, $f$ 总可以提升为 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中的 $p$-推出态射 $\bar{f}:C\to C^{\prime }$. 特别地, $f$ 诱导了 $\infty$-范畴间的函子 $f_{†}:{\mathcal{O}}_{⟨m⟩}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$.
2.	(态射生象条件) 对任意态射 $f:⟨m⟩\to ⟨n⟩$, 及 $C\in {\mathcal{O}}_{⟨m⟩}^{\otimes },C^{\prime }\in {\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$, 记 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^f(C,C^{\prime })=p^{-1}(f)\subset {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(C,C^{\prime })$. 对每个 $1\le i\le n$, 将 ${\iota }_{n,i}$ 提升为 $p$-推出态射 ${\bar{\iota }}_{n,i}:C^{\prime }\to C_i^{\prime }$. 则诸 ${\bar{\iota }}_{n,i}$ 诱导的映射$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^f(C,C^{\prime })\to \prod _{i=1}^n{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{{\iota }_{n,i}\circ f}(C,C_i^{\prime })$$为同伦等价.
3.	(Segal 条件) 等价于说对任意 $n$, 映射 $({\iota }_{n,i}{)}_{†}$ 诱导了 $\infty$-范畴的等价$${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }\simeq ({\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }{)}^n.$$

注 39.1.4.

•	上述定义无非是多元范畴的 $\infty$-版本.

•	事实上, 条件 1. 2. 保证了该函子是全忠实的.

•	将 $\infty$-范畴 ${{\mathcal{O}}^{\otimes }}_{⟨1⟩}$ 也记作 $\mathcal{O}$. 由上条注记, ${{\mathcal{O}}^{\otimes }}_{⟨n⟩}$ 的对象可以典范地记作 $C=(C_1,C_2,\dots ,C_n)$, 其中 $C_i\in \mathcal{O}$.

定义生象$$\mathcal{O}((C_i{)}_{1\le i\le n},C^{\prime })={\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{\beta }((C_1,\dots ,C_n),C^{\prime }),$$其中 $\beta$ 为态射 $\beta (k)=1,\beta (\ast )=\ast$. 此空间在同伦意义下是典范的.

因此, 我们可以认为 $(\infty ,1)$-算畴 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 包含了 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{O}$ 及其上配备的 “多元态射” $\mathcal{O}(-,-)$ 的结构, 这些态射的复合满足类似于多元范畴的结合律, 但是仅在同伦意义下成立. 这样的定义避免了对高维的结合律 (例如五边形公理) 的复杂讨论.

定义 39.1.5. 设 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$ 为 $(\infty ,1)$-算畴. 若 $f$ 为 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 的态射, 使得 $p(f)$ 惰性且 $f$ 是 $p$-推出, 则称 $f$ 为惰性态射.

定义 39.1.6 ($(\infty ,1)$-算畴态射). 设 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$ 和 $({\mathcal{O}}^{\prime \otimes },p^{\prime })$ 均为 $(\infty ,1)$-算畴. 则 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$ 到 $({\mathcal{O}}^{\prime \otimes },p^{\prime })$ 的态射即为 $(\infty ,1)$-函子 $F:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\prime \otimes }$, 使得 $p^{\prime }\circ F=p$, 且 $F$ 将惰性态射映到惰性态射.

由此, 可构造 $\infty$-算畴所构成的 $\infty$-算畴为 $\mathsf{Operad}$.

例 39.1.7. ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 配备恒等函子是 $(\infty ,1)$-算畴, 记作 $\mathsf{Comm}$ 或 ${\mathbb{E}}_{\infty }$, 称为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$ 算畴. 事实上, 它就是将交换算畴视为 $(\infty ,1)$-算畴而得到的.

定义-命题 39.1.8 ($\mathcal{O}$-幺半范畴). 给定算畴 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$, 令 $p:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为推出纤维化, 则以下条件等价:

1.	复合 $q:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 给出 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 上的 $\infty$-算畴结构.
2.	对于任意对象 $T\simeq T_1\otimes \cdots \otimes T_n\in {\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$, 惰性态射 $T\to T_i$ 诱导 $\infty$-范畴的等价 ${\mathcal{C}}_T^{\otimes }\to {\prod }_{1\le i\le n}{\mathcal{C}}_{T_i}^{\otimes }$

此时称 $p$ 为 $\infty$-算畴的推出纤维化, 此时也称 $p$ 给出 $\mathcal{O}$-幺半 $\infty$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$.

证明. [HA, Proposition 2.1.2.12].

$\square$

定义 39.1.9 ($\infty$-算畴代数). 设 $p:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为 $\infty$-算畴, ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 为对称幺半 $\infty$-范畴, 亦看作 $\infty$-算畴. 则 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 中的 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$-代数即为 $\infty$-算畴态射 ${\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 即 $\infty$-范畴函子 ${\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 使得如下图表交换: $${\mathcal{O}}^{\otimes }{\mathcal{C}}^{\otimes }{\mathsf{Fin}}_{\ast }.$$

所有 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 中的 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$-代数构成了函子范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{O}}^{\otimes },{\mathcal{C}}^{\otimes })$ 的子范畴, 记作 $\mathcal{O}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$. 当 $\mathcal{O}={\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 时, 记 $\mathcal{O}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$ 为 $\mathsf{CAlg}(\mathcal{C})$, 称为 $\mathcal{C}$ 中的交换代数对象.

定义 39.1.10 ($\mathcal{O}$-幺半函子). 令 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为 $\infty$-算畴, 且 $p:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 以及 $q:{\mathcal{D}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为 $\infty$-算畴的推出纤维化. 称 $\infty$-算畴态射 $f\in \mathcal{O}\text{-}\mathsf{Alg}$ 为 $\mathcal{O}$-幺半函子是指其将 $p$-推出态射映为 $q$-推出态射, 记 ${\mathrm{Fun}}_{\mathcal{O}}^{\otimes }(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 为 ${\mathrm{Fun}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中由 $\mathcal{O}$-幺半函子所张成的全子范畴.

例 39.1.11. 对称幺半 $\infty$-范畴就是 $\mathsf{Comm}$-幺半 $\infty$-范畴, 松对称幺半函子即为 $\mathsf{Comm}$-幺半函子.

幺半 $\infty$-范畴

但是幺半范畴只要求结合律, 因此我们需要舍弃交换律. 首先我们想象该如何定义幺半 $\infty$-范畴. 回忆到在对称幺半 $\infty$-范畴的定义中, 我们使用带点有限集这一概念, 在其上我们考虑 ${\iota }_{n,i}:⟨n⟩\to ⟨1⟩$, 其对称性实际上来源于带点态射. 因此若想去掉对称性, 只需考虑一般的单形范畴的反范畴 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ (取反是为了给出余面态射之反, 这样可以合理体现落在第 $i$-位). 对于 $[n]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 将其写为偏序.可知其上有 $n$ 个 $([n]\to [1])\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 分别为 $\{0,1\},\{1,2\},\cdots ,\{n-1,n\}:[1]\to [n]$ 之反, 上图中以 $\text{i-th}$ 表示 $\{i-1,i\}$. 那么很显然, 我们可以将这些 $\text{i-th}$ 视为打向第 $i$ 位这一操作 (在 $\mathbb{\Delta }$ 中看其本就是嵌入到第 $i$ 位). 注意到我们将要定义的底范畴实际上是 $[1]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 在上述推出纤维化所对应的函子 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的像, 因此 $X_i$ 其实指代的是边. 现在, 可以给出幺半 $\infty$-范畴的定义.

定义 39.1.12 (幺半 $\infty$-范畴). 幺半 $\infty$-范畴指 $\infty$-范畴的推出纤维化 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 满足:

•	对任意自然数 $n$, 沿 $n$ 个含入映射 $\{0,1\},\{1,2\},\dots ,\{n-1,n\}:[1]\to [n]$ 之反做推出, 在纤维上得到的函子 ${\mathcal{C}}_{[n]}^{\otimes }\to ({\mathcal{C}}_{[1]}^{\otimes }{)}^n$ 是范畴等价.

称 $[1]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上的纤维 ${\mathcal{C}}_{[1]}^{\otimes }$ 为幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的底范畴, 记作 $\mathcal{C}$. 没有歧义时, 常以 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 甚至 $\mathcal{C}$ 代表幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$.

对 $n\in \mathbb{N}$ 以及 $X_1,\dots ,X_n\in \mathcal{C}$, 可将 $(X_1,\dots ,X_n)\in {\mathcal{C}}^n\cong {\mathcal{C}}_{[n]}^{\otimes }$ 沿映射 $\{0,n\}:[1]\to [n]$ 之反做推出, 所得对象记作$$X_1\otimes \cdots \otimes X_n\in \mathcal{C},$$称作 $X_1,\dots ,X_n$ 的张量积. 当 $n=0$ 时, 此对象记作$$1_{\mathcal{C}}\in \mathcal{C},$$称作幺半 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 的幺元; 无歧义时也可只写 $1$.

练习 39.1.13. 讨论结合律的具体体现.

问题

遗憾的是, 当我们想通过算畴语言定义出幺半 $(\infty ,1)$-范畴所对应的高阶代数时, 就没有这么自然了. 不难发现 $\infty$-算畴既描述了高阶的交换律又描述了高阶的结合律. 如果我们想使用 $\infty$-算畴来描述结合的代数结构, 则要求我们给其配上偏序, 使得能够体现结合律.

定义 39.1.14 (结合算畴). 结合 $\infty$-算畴 ${\mathsf{Assoc}}^{\otimes }$ 是范畴 $\mathsf{Assoc}$ 的脉, 范畴 $\mathsf{Assoc}$ 定义如下:

•	对象为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的对象.
•	从 $⟨m⟩\to ⟨n⟩$ 的态射为二元组 $(\alpha ,\{{⪯}_i{\}}_{1\le i\le n})$. 其中 $\alpha :⟨m⟩\to ⟨n⟩$ 为带点有限集之间的态射, 而对于 $1\le i\le n$, ${⪯}_i$ 为 ${\alpha }^{-1}(\{i\})\subseteq ⟨m⟩$.
•	态射$$(f,\{{⪯}_i{\}}_{1\le i\le n}):⟨m⟩\to ⟨n⟩,(g,\{{⪯}_j^{\prime }{\}}_{1\le j\le p}):⟨n⟩\to ⟨p⟩$$的复合定义为二元组 $(g\circ f,\{{⪯}_k^{\prime \prime }{\}}_{1\le k\le p}$ 其中 ${⪯}_k^{\prime \prime }$ 为由以下信息给出的字典序: 对于使得 $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(b)=j$ 的 $a,b\in {⟨m⟩}^{\circ }$, 有 $a{⪯}_k^{\prime \prime }b$ 当且仅当 $f(a)=f(b)=i$ 时 $f(a){⪯}_k^{\prime }f(b)$ 且 $a{⪯}_{i}b$.

而幺半 $\infty$-范畴定义为 $\mathsf{Assoc}$-幺半 $\infty$-范畴. 松幺半函子为 $\mathsf{Assoc}$-幺半函子.

解决之道一: 平面算畴

由前文对于幺半 $\infty$-范畴定义的讨论可知 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 是讨论结合律的好地方. 可以直接通过 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 来定义出某种新的 “算畴”. 为此我们需要定义出新的惰性态射, 称 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $f:[n]\to [m]$ 是惰性的是指其为区间含入, 即对 $0\le k<m$, $f(k+1)=f(k)+1$. 接下来为方便起见, 我们在 $\mathbb{\Delta }$ 上讨论条件.

定义 39.1.15 (平面算畴). 平面 $\infty$-算畴是指二元组 $\mathcal{O}=({\mathcal{O}}^{⊛},q)$, 其中

•	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 是 $\infty$-范畴, 称为 $\mathcal{O}$ 的全范畴.

•	$q:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 是 $\infty$-范畴间的函子.

记 ${\mathcal{O}}_{[n]}^{⊛}=q^{-1}([n])={\mathcal{O}}^{⊛}\underset{{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}{\times }[n]$. 为 $p$ 于 $⟨n⟩$ 处的纤维, 则

1.	(惰性提升) 对于任意 $C\in {\mathcal{O}}^{⊛}$ 以及 $\mathbb{\Delta }$ 的惰性态射 $f:[n]\to q(C)$, 都存在 $q$-推出边 $\bar{f}:C\to D$ 使得 $q(\bar{f})=f$.
2.	(态射生象条件平替) 令 ${\alpha }_i:=\{i-1,i\}:[1]\to [n]$, 对应任意使得 $q(C)=[n]$ 的 $C\in {\mathcal{O}}^{⊛}$, 考虑提升 ${\bar{\alpha }}_i:C\to C_i$. 此时都有 $q$ 上的积 $C={\prod }_{1\le i\le n}{C}_i$.
3.	(Segal 条件) 对于任意 $n\ge 0$. $C\mapsto \{C_i\}$ 给出范畴等价$${\mathcal{O}}_{[n]}^{⊛}\stackrel{\sim }{\to }({\mathcal{O}}_{[1]}^{⊛}{)}^n$$

但是 ${\mathcal{O}}^{⊛}\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 一般不为 $\infty$-算畴. 问题依旧没有得到很好地解决.

39.2代数模式

不过基于上面的观察, 我们应该提出一个更为宽泛的结构, 即由 Rune Haugseng 以及 Hongyi Chu 在 [Chu–Haugseng 2021] 提出的代数模式概念, 它的想法是将 $\infty$-范畴中的态射分解为惰性态射与活性态射的复合 (即给出一个分解系统), 这样我们可以在其上自然地给出诸多高阶代数结构.

定义 39.2.1 (分解系统). $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的分解系统是指其一对宽子对象 $({\mathcal{C}}^L,{\mathcal{C}}^R)$, 使得对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:x\to y$, 空间$$\{(g:x\to z,h:z\to y):g\in {\mathcal{C}}^L,h\in {\mathcal{C}}^R,h\circ g=f\}$$为可缩生象.

不难发现, 分解系统其实可以构成全子范畴

定义 39.2.2. 记 $\mathsf{Fact}$ 为 $\mathrm{Fun}({\Lambda }_1^2,{\mathsf{Cat}}_{\infty })$ 的全子范畴, 它由描述分解系统的余对应$${\mathcal{C}}^L\to \mathcal{C}\leftarrow {\mathcal{C}}^R$$给出, 考虑拉回有 ${\mathrm{Fun}}_{L,R}({\Delta }^2,\mathcal{C})\to \mathrm{Fun}({\Delta }^{\{0,2\}},\mathcal{C})$ 为等价.

定义 39.2.3 (代数模式). 代数模式是指 $\infty$-范畴 $\mathcal{O}$ 配备上分解系统 $({\mathcal{O}}^{\text{惰}},{\mathcal{O}}^{\text{活}})$ 以及 ${\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 的全子范畴 ${\mathcal{O}}^{\text{初}}$, ${\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 和 ${\mathcal{O}}^{\text{活}}$ 的态射分别称为惰性态射和活性映射, ${\mathcal{O}}^{\text{初}}$ 中的对象称为初等对象. 对于代数模式 $\mathcal{O}$ 和 $\mathcal{P}$, 从 $\mathcal{O}$ 到 $\mathcal{P}$ 的代数模式之间的态射是指保持活性和惰性态射以及初等对象的函子 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$.

定义 39.2.4. 代数模式构成的 $\infty$-范畴 $\mathsf{AlgPatt}$ 是指$$\mathsf{Fact}\underset{{\mathsf{Cat}}_{\infty }}{\times }\mathrm{Fun}({\Delta }^1,{\mathsf{Cat}}_{\infty })$$中包含$${\mathcal{C}}^{\prime }\to {\mathcal{C}}^L\to \mathcal{C}\leftarrow {\mathcal{C}}^R$$的全子范畴, 其中 ${\mathcal{C}}^{\prime }\hookrightarrow {\mathcal{C}}^L$ 为全子范畴的嵌入.

符号说明. 记惰性态射为 $X\rightarrowtail Y$, 活性态射为 $X⇢Y$. 这只是为了记号的方便 (由于香蕉空间的 cd 环境无法给出其它更好的箭头, 只能使用 $⇢$ 作为权宜之计).

对于 $X\in \mathcal{O}$, 记$${\mathcal{O}}_{X/}^{\text{初}}:={\mathcal{O}}^{\text{初}}\underset{{\mathcal{O}}^{\text{惰}}}{\times }{\mathcal{O}}_{X/}^{\text{惰}}$$为惰性态射 $X\rightarrowtail E$ 所构成的 $\infty$-范畴, 其对象为惰性态射 $X\rightarrowtail E$, 而态射为使得以下图表交换的惰性态射 $E\rightarrowtail E^{\prime }$ 介绍代数模式的主要原因在于它可以通过 Segal 条件来刻画代数结构, 称为 Segal 对象.

定义 39.2.5 (Segal 对象). 设 $\mathcal{O}$ 为代数模式, $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. 则 $\mathcal{C}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象是指函子 $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$, 满足对于任意 $o\in \mathcal{O}$, $X$ 将图表 $o\to {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}$ 打为极限图表. 若对于任意 $o\in \mathcal{O}$ , $\mathcal{C}$ 中由 ${\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}$ 所给出的极限均存在, 则称 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{O}$-完备的. 此时有等价$$X(o)\simeq \underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }X(e).$$

符号说明. 称 $\mathsf{Ani}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象为 Segal $\mathcal{O}$-生象, 而 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象为 Segal $\mathcal{O}$-范畴. 记 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C})$ 为由 Segal $\mathcal{O}$-对象所张成的 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$ 的全子范畴.

命题 39.2.6. 令 $\mathcal{C}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-完备的 $\infty$-范畴, 则 $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$ 为 Segal 对象当且仅当 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{惰}}}$ 为 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{初}}}$ 的右 Kan 延拓.

证明. 由于 $\mathcal{C}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-完备的 $\infty$-范畴, 因此 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{初}}}$ 沿 ${\mathcal{O}}^{\text{初}}\hookrightarrow {\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 的右 Kan 延拓存在当且仅当对于任意 $o\in {\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 都有等价$$X(o)\stackrel{\sim }{\to }\underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }X(e).$$并且右 Kan 延拓即为上述极限, 即为 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{惰}}}$.

$\square$

我们还需要给出 Segal 对象的相对版本.

定义 39.2.7 (相对 Segal 对象). 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式且 $\mathcal{C}$ 为 $\mathcal{O}$-完备的 $\infty$-范畴, $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-对象. $\mathcal{C}$ 的 $\mathbf{X}$-相对 Segal 对象是指 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$ 中的态射 $\pi :Y\to X$ 使得对于任意 $o\in \mathcal{O}$ 都有自然的拉回图表记 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})\subseteq \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C}{)}_{/X}$ 为由 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象所张成的全子范畴.

若 $Y\to X$ 使得 $Y$ 为 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象, 则根据拉回的传递性可知 $Z\to Y$ 使得 $Z$ 为 $Y$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象当且仅当其复合上 $Y\to X$ 使其为 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象. 此外, 态射 $X\to \ast$ 为相对 Segal $\mathcal{O}$-对象当且仅当 $X$ 为 $\mathcal{C}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象. 由上述两点观察可知若 $X$ 为 Segal $\mathcal{O}$-对象, 则 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象不过是复合上 $X\to \ast$ 为 Segal $\mathcal{O}$ 对象的 $Y\to X$, 即有$${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})\simeq {\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C}{)}_{/X}$$

引理 39.2.8. 若 $X\to Y$ 为 $\mathcal{C}$ 中的相对 Segal $\mathcal{O}$-对象. 则对于任意态射 $\eta :Y^{\prime }\to Y$, 拉回 $X^{\prime }:=X\underset{Y}{\times }{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ 也为 Segal $\mathcal{O}$-对象. 换句话说, 沿着 $\eta$ 的拉回给出函子 ${\eta }^{\ast }:{\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/Y}\to {\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/Y^{\prime }}(\mathcal{C})$.

证明.

证明. 对于 $o\in \mathcal{O}$, 考虑交换图表由定义可知左右前三个面均为拉回, 因此背面也为拉回.

$\square$

定义 39.2.9. 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式. 对于 $o\in \mathcal{O}$, 记 $h(o{)}_{\mathsf{Seg}}=\underset{e\in ({\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}{)}^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}{h}_{\mathcal{O}}(e)$ , 其中 $h_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})$ 表示 Yoneda 嵌入. 若 $\mathcal{C}$ 为余完备的 $\infty$-范畴, 即在 $\mathsf{Ani}$ 上是张量的, 则可以考虑 $C\otimes h_{\mathcal{O}}(o)$ 和 $C\otimes h(o{)}_{\mathsf{Seg}}$, 其中 $C\in \mathcal{C}$.

引理 39.2.10. 任意一个可表现 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的全子范畴$${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})\subseteq \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C}{)}_{/X}$$为自反局部化. 特别地, 其为可表现 $\infty$-范畴.

证明.

证明. 考虑 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$ 中以下态射. $$S={\left\{C\otimes h(o{)}_{\mathsf{Seg}}\to C\otimes h_{\mathcal{O}}(o)\right\}}_{o\in \mathcal{O},C\in K}$$此处 $K$ 为 $\mathcal{C}$ 的紧生成元所构成的集合. 根据 Yoneda 引理以及 $\mathsf{Ani}$-张量性质可知 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})}(C\otimes h_{\mathcal{O}}(o),Y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})}(h_{\mathcal{O}}(o),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y(o))$. 同理, 再配合上余极限和极限的泛性质可知. $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})}(C\otimes h(o{)}_{\mathsf{Seg}},Y)& \simeq \underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})}(h_{\mathcal{O}}(e),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y))\\ & \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,\underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }Y(e)).\end{array}$$根据定义 39.2.7 可知 $Y$ 为 $X$ 相对 Segal $\mathcal{O}$-对象当且仅当对于全体 $f\in S$ 均为拉回图表. 不难发现这相当于说 $\pi :Y\to X$ 关于 $S$ 具有右提升性质. 或者说 $Y$ 为 $X$ 相对 Segal $\mathcal{O}$-对象是指其在 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C}{)}_{/X}$ 上为以下集合的局部对象根据 [HTT, Proposition 5.5.4.15.] 可知全体 $X$ 相对 Segal $\mathcal{O}$-对象所张成的全子范畴 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})$ 是自反局部化, 并且是可表现的.

$\square$

接下来给出一些常见的例子

定义 39.2.11 (${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 上的代数模式). 称 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的态射 $\phi :⟨n⟩\to ⟨m⟩$ 为

•	活性: 指 ${\phi }^{-1}(0)=\{0\}$
•	惰性: 指 $\phi {\mid }_{⟨n⟩\setminus {\phi }^{-1}(0)}:⟨n⟩\setminus {\phi }^{-1}(0)\stackrel{\sim }{\to }⟨m⟩\setminus \{0\}$ 为同构.

则惰性态射和活性态射所张成的宽子对象构成 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 上的分解系统, 当选取 $⟨1⟩$ 为初等对象时, 就得到了一个代数模式 ${\mathsf{Fin}}^{♭}$. 此外, 可以将 $({\mathsf{Fin}}_{\ast }{)}_{⟨n⟩/}^{\text{初}}$ 表为集合 $\{{\rho }^i:⟨n⟩\to ⟨1⟩\}$, 其中 ${\rho }^i$ 为由$${\rho }^i(j)=\{\begin{array}{ll}\ast ,& j\ne i,\\ 1,& j=i.\end{array}$$所确定的惰性态射 ${\rho }^i:⟨n⟩\to ⟨1⟩$. 函子 $X:{\mathsf{Fin}}_{\ast }\to \mathcal{C}$ 为 Segal ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$-对象是指对于任意 $n$ 都有由 ${\rho }_i$ 所诱导的映射$$X(⟨n⟩)\to \prod _{i=1}^{n}X(⟨1⟩)$$不难发现其为交换代数.

定义 39.2.12 (${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上的代数模式). 在单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 上可以给出分解系统, 称 $f:[m]\to [n]$ 为:

•	活性: 指 $f$ 保持最大值, 最小值, 即 $f(0)=0$, $f(m)=n$.
•	惰性: 指 $f$ 为区间含入, 即对 $0\le k<m$, $f(k+1)=f(k)+1$.

在 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上也称对应态射为活性, 惰性. ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上可以定义两种代数模式, 一种为取初等对象为 $[0]$ 和 $[1]$, 此时得到的代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♮}$. 或者取初等对象为 $[1]$, 此时得到的代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$.

现在我们可以重新给出结合代数的定义

定义 39.2.13.

•	Segal ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♮}$-生象即为 Segal 生象.
•	$\mathcal{C}$ 中的 Segal ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$-对象为 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数 (即结合代数).

注意到此时 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 称为结合模式或者 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-模式更加恰当, 简记为 ${\mathbb{A}}_{\infty }$. 更进一步, 我们可以考虑 $\mathbb{\Delta }$ 的截断, 这样可以给出 ${\mathbb{A}}_n$-模式.

定义 39.2.14 (${\mathbb{A}}_n$-模式). 对于正整数 $n$, 考虑 $n$-截断单形范畴 ${\mathbb{\Delta }}_{\le n}^{\mathrm{op}}$, 即不多于 $n+1$ 个元素的 $[i]$ 依保序映射构成的范畴的反范畴, 它是 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的全子范畴. ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 在其上自然诱导出一个代数模式, 称为 ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$-模式. 不难发现有一列嵌入态射$${\mathbb{A}}_1\to {\mathbb{A}}_2\to \cdots \to {\mathbb{A}}_{\infty }={\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$$

至于 ${\mathbb{A}}_n$-代数的定义我们稍后谈及.

定义 39.2.15 (Segal 态射). 代数模式之间的态射 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$ 被称为是 Segal 的是指其诱导的函子 $f^{\ast }:\mathrm{Fun}(\mathcal{P},\mathsf{Ani})\to \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})$ 限制到 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{P}}(\mathsf{Ani})$ 上给出函子$$f^{\ast }:{\mathsf{Seg}}_{\mathcal{P}}(\mathsf{Ani})\to {\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathsf{Ani})$$

接下来给出推出纤维化在代数模式上的类比, 称为 Segal 纤维化.

定义 39.2.16 (Segal 纤维化). 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式. Segal $\mathcal{O}$-纤维化是指推出纤维化 $\pi :\mathcal{E}\to \mathcal{O}$, 使得其对应的函子 $\mathcal{O}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为 Segal $\mathcal{O}$-对象.

如同推出纤维化一般, Segal 纤维化应当使得 $\mathcal{E}$ 也为代数模式, 那么首先给出 $\mathcal{E}$ 上的惰性和活性态射.

定义 39.2.17. 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式, 且 $\pi :\mathcal{C}\to \mathcal{O}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-纤维化. 则称 $\mathcal{E}$ 中的态射是:

•	惰性是指其为推出态射并且在 $\mathcal{O}$ 的惰性态射之上.
•	活性是指其在 $\mathcal{O}$ 的活性态射之上.

其为初等对象是指其在 $\mathcal{O}$ 的初等对象之上.

引理 39.2.18. $\mathcal{E}$ 配上上述信息构成代数模式, 且 $\mathcal{E}\to \mathcal{O}$ 为 Segal 态射.

稳固模式

现在来介绍一些技术上的细节.

定义 39.2.19. 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式

•	对于代数模式 $\mathcal{O}$ 中的态射 $f:X\to Y$. 对于初等对象 $(\alpha :Y\rightarrowtail E)\in {\mathcal{O}}_{Y/}^{初}$, 那么根据分解系统定义, $\alpha :f$ 可以被分解为以下图表$$X{f}_{\alpha †}XYE{f}_{\alpha }f(\alpha \circ f{)}^{\text{活}}\alpha$$这给出函子 $f_{(-)}:{\mathcal{O}}_{Y/}^{初}\to {\mathcal{O}}_{X/}^{惰}$. 称该图表为惰性-活性分解.

•

对于活性态射 $\omega :X\to Y$, 定义 ${\mathcal{O}}^{初}(\omega )$ 为拉回此处 $(s,t)$ 表示来源与目标. 此时 ${\mathcal{O}}^{初}(\omega )$ 中的对象可以被刻画为 $\mathcal{O}$ 中的以下图表$$X{f}_{\alpha †}X{E}^{\prime }YE{\omega }_{\alpha }\omega \alpha$$此处 $E,E^{\prime }$ 均为初等对象, 且 $\omega$ 为固定态射. ${\mathcal{O}}^{初}(\omega )$ 中的态射为使得 $\omega :X⇢Y$ 不变且在其它对象上均为惰性态射的自然变换.

注 39.2.20. 根据前文构造, 可知 ${\mathcal{O}}^{初}(\omega )\to {\mathcal{O}}_{Y/}^{初}\times {\mathcal{O}}_{X/}^{初}$ 为双纤维化, 其对应于函子$$({\mathcal{O}}_{Y/}^{初}{)}^{\mathrm{op}}\times {\mathcal{O}}_{X/}^{初}\to \mathsf{Ani},(\alpha :Y\rightarrowtail E,\beta :X\rightarrowtail E^{\prime })\mapsto {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_{X/}^{惰}}({\omega }_{\alpha },\beta ).$$

令 $\mathcal{O}$ 为代数模式, 记 ${\mathsf{Act}}_{\mathcal{O}}(o)$ 为 $\mathcal{O}$ 中打向 $o$ 的活性态射所构成的生象. 不难发现其等价于 $({\mathcal{O}}^{惰}{)}_{/o}^{活}$.

定义 39.2.21. 称 $\mathcal{O}$ 是可延拓的是指

•	对于任意 $o\in \mathcal{O}$, 态射$${\mathsf{Act}}_{\mathcal{O}}(o)\to \underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }{\mathsf{Act}}_{\mathcal{O}}(e)$$是范畴等价, 换句话说 ${\mathsf{Act}}_{\mathcal{O}}(o)$ 为 Segal $\mathcal{O}$-空间.

•	对于任意 $\mathcal{O}$ 中的活性态射 $o\stackrel{\varphi }{⇢}{o}^{\prime }$, 对于每个函子 $F:{\mathcal{O}}^{初}\to \mathsf{Ani}$, 典范函子 ${\mathcal{O}}^{初}(\varphi )\to {\mathcal{O}}_{o/}^{初}$ 都诱导等价$$\underset{{\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }F\stackrel{\sim }{\to }\underset{{\mathcal{O}}^{初}(\varphi )}{\lim }F$$

定义 39.2.22. 称代数模式 $\mathcal{O}$ 为稳固模式, 是指对于任意活性态射 $\omega :X⇢Y$, 函子 ${\mathcal{O}}^{初}(\omega )\to {\mathcal{O}}_{X/}^{初}$ 保极限.

例 39.2.23. ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 是稳固模式.

恢复出算畴

不难发现 Segal 纤维化所对应的推出纤维化是不足以定义出算畴这一概念的, 我们需要更弱的东西, 根据两种算畴的定义, 可以给出以下模式.

定义 39.2.24. 设 $\mathcal{O}$ 是代数模式. $\mathcal{O}$ 上的纤维模式指函子 $\pi :\mathcal{P}\to \mathcal{O}$, 满足:

1.	$\mathcal{O}$ 中惰性映射都有 $\pi$-推出提升.
2.	对所有 $o\in \mathcal{O}$, $$\mathcal{P}\underset{\mathcal{O}}{\times }{\mathcal{O}}_{/o}^{活}{\lim }_{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}(\mathcal{P}\underset{\mathcal{O}}{\times }{\mathcal{O}}_{/e}^{活}){\mathcal{O}}_{/o}^{活}{\lim }_{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\mathcal{O}}_{/e}^{活}$$是范畴的纤维方块. 这里的横向箭头由惰性-活性分解诱导.

此时定义 $\mathcal{P}$ 中

•	惰性映射为在 $\mathcal{O}$ 中惰性映射上的推出边;
•	活性映射为在 $\mathcal{O}$ 中活性映射上的映射;
•	初等对象为在 $\mathcal{O}$ 中初等对象上的对象;

则 $\mathcal{P}$ 也成为代数模式.

注 39.2.25.

•	条件 2. 相当于在说 $\mathcal{P}\underset{\mathcal{O}}{\times }{\mathsf{Ar}}_{活}(\mathcal{O})\to {\mathsf{Ar}}_{活}(\mathcal{O})$ 的直化, 即 ${\mathrm{St}}_{\mathcal{O}}^{惰}(\mathcal{P})$ 为相对 Segal $\mathcal{O}$-范畴.

•

对于很多代数模式 $\mathcal{O}$, 函子 ${\mathcal{O}}_{/-}^{活}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-范畴; 若 $\mathcal{O}$ 为可延拓的代数模式, 则根据定义 39.2.7 下的讨论可知 2. 等价于说函子 ${\mathrm{St}}_{\mathcal{O}}^{\mathrm{惰}}(\mathcal{P})$ 为相对 Segal $\mathcal{O}$-范畴, 即对于任意 $o\in \mathcal{O}$ 都有范畴等价$$\mathcal{P}\underset{\mathcal{O}}{\times }{\mathcal{O}}_{/o}^{活}\stackrel{\sim }{\to }\underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }\mathcal{P}\underset{\mathcal{O}}{\times }{\mathcal{O}}_{/e}^{活}$$

配合以下命题, 就可以恢复出 $\infty$-算畴概念.

命题 39.2.26. 对于任意稳定模式 $\mathcal{O}$, 函子 $\pi :\mathcal{P}\to \mathcal{O}$ 为纤维模式当且仅当:

1.	$\mathcal{P}$ 具有 $\mathcal{O}$ 上的 $\pi$-推出态射.
2.	对于任意 $o\in \mathcal{O}$, 沿 $\alpha :o\to e$ 所给出的转移函子给出范畴等价$${\mathcal{P}}_o^{\simeq }\to \underset{\alpha :o\to e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }{\mathcal{P}}_e^{\simeq },$$
3.	对于 $o_0,o_1\in \mathcal{O}$, 以及任意 $x_0\in {\mathcal{P}}_{o_0},x_1\in {\mathcal{P}}_{o_1}$, 都有拉回图表$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}(x_0,x_1)\underset{\alpha :o\to e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}(x_0,{\alpha }_{†}{x}_1){\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}}(o_0,o_1)\underset{\alpha :o\to e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}}(o_0,e)$$

对于 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$, 考虑其上的纤维模式 $p:\mathcal{O}\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$, 那么其满足以下几条性质:

1.

对于任意惰性态射都具有 $p$-推出提升.

2.

对于任意 $⟨n⟩\in \mathcal{O}$, 记 ${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{活}:=\mathcal{O}\underset{{\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}}{\times }{\mathsf{Fin}}_{/⟨n⟩}^{活}\simeq {\mathcal{O}}^{活}\underset{\mathsf{Fin}}{\times }{\mathsf{Fin}}_{/⟨n⟩}$ 为在 $⟨n⟩$ 处活性态射对应的纤维. 根据定义 39.2.11 可知, ${\mathsf{Fin}}_{/⟨n⟩}^{初}=\{{\rho }^i\}$. 此时有$${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{活}\to \prod _{{\rho }^i}\mathcal{O}\underset{{\mathsf{Fin}}_{\ast }}{\times }{\mathsf{Fin}}_{/⟨1⟩}\simeq ({\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{活}{)}^n.$$取 $p(o)=⟨m⟩$ 的 $o\in {\mathcal{O}}^{活}$, 对于活性态射 $\alpha :⟨m⟩⇢⟨n⟩$, ${\alpha }_j:=({\rho }_j\circ \alpha {)}^{惰}:⟨m⟩\rightarrowtail ⟨1⟩$ 给出提升 $P\mapsto (P_1,\cdots ,P_n)$. 其中 $P\rightarrowtail P_j$ 为 ${\alpha }_j$ 对应的提升. 带入命题 39.2.26 的 3. 可知这给出同构 $\mathrm{Hom}(o,P)\simeq {\prod }_{0\le j\le n}\mathrm{Hom}(o,P_j)$.

不难发现由此恢复出 $\infty$-算畴的定义.

练习 39.2.27. 试恢复出平面算畴定义.