40. 高阶代数

现在, 我们使用代数模式具体的给出一些代数结构.

40.1$\mathcal{O}$-幺半范畴与 $\mathcal{O}$-代数

本节来描述代数模式的幺半范畴与代数概念. 为定义出幺半范畴以及代数, 我们需要选择合理的代数模式进行工作.

定义 40.1.1 (Cartesius 模式). 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式, 称其为 Cartesius 模式是指带有代数模式之间态射 $|-{|}_{\mathcal{O}}:\mathcal{O}\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 使得对于任意 $o\in \mathcal{O}$ 都有等价$${\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}\to {\mathsf{Fin}}_{\ast ,|o{|}_{\mathcal{O}}/}^{♭,\text{初}}$$Cartesius 模式之间的态射即为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 上的代数模式之间的态射.

令 $\mathcal{O}$ 为 Cartesius 模式, $o\in \mathcal{O}$ 为 $⟨n⟩$ 上的对象, 即 $|o|=⟨n⟩$, 则 $\infty$-范畴 ${\mathcal{O}}_{o/}^{初}$ 等价于由 $\{{\rho }_i:⟨n⟩\to ⟨1⟩\}$ 所诱导的 $n$ 个从 $o$ 出发的惰性态射所构成的离散集. 记这些惰性态射为 ${\rho }_i^o:o\to o_i$.

引理 40.1.2. 若 $\mathcal{O}$ 为 Cartesius 模式, 则 ${\mathcal{O}}^{初}$ 为生象.

证明.

证明. 由于 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 的初等对象只有 $⟨1⟩$, 因此考虑其上对象 $o\in \mathcal{O}$, 可知 ${\mathcal{O}}_{o/}^{初}\simeq {\mathsf{Fin}}_{\ast ,⟨1⟩/}^{♭,\text{初}}=\{{\rho }_1\}$ 为可缩生象. 根据 Cartesius 模式的定义可知对于任意 $e\in {\mathcal{O}}^{初}$, 都有 $|e|=⟨1⟩$. 因此拉回纤维化$${\mathrm{ev}}_0:\mathrm{Fun}({\Delta }^1,{\mathcal{O}}^{初})\to {\mathcal{O}}^{初}$$的纤维为可缩生象. 从而该函子为范畴等价. 这说明 ${\mathcal{O}}^{初}$ 关于 ${\Delta }^0\to {\Delta }^1$ 是局部的, 即为生象.

$\square$

定义 40.1.3 ($\mathcal{O}$-幺半群). 对于 Cartesius 模式 $\mathcal{O}$, 改称 Segal $\mathcal{O}$-对象为 $\mathcal{O}$-幺半群. 记为$${\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C}):={\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C})$$

注 40.1.4. 可知 $\mathcal{O}$-幺半群可以解释为函子 $F:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$, 使得 ${\rho }_i^o:o\to o_i$ 所诱导的自然态射$$F(o)\to \prod _{i=1}^{n}F(o_i)$$为同构.

不难发现, 考虑 Cartesius 模式之间的态射 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$ 对于 $o\in \mathcal{O}$, 有 $|o|\simeq |f(o)|$ 以及 $f({\rho }_i^o)\simeq {\rho }_i^{f(o)}$. 从而对于幺半群 $F\in {\mathsf{Mon}}_{\mathcal{P}}(\mathcal{C})$, $f({\rho }_i^o)$ 诱导等价 $F(f(o))\to {\prod }_{i=1}^{n}F(f(o_i))$, 这给出拉回$$f^{\ast }:{\mathsf{Mon}}_{\mathcal{P}}(\mathcal{C})\to {\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C}).$$

注 40.1.5.

•

令 $\mathcal{O}$ 为 Cartesius 模式且 $\mathcal{C}$ 为带有有限积的 $\infty$-范畴. 则 ${\mathcal{O}}^{惰}$ 也为 Cartesius 模式. 且函子 $F:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$ 为幺半群当且仅当 $F{\mid }_{{\mathcal{O}}^{惰}}$ 为 ${\mathcal{O}}^{惰}$-幺半群. 此外 $\infty$-范畴 ${\mathsf{Mon}}_{{\mathcal{O}}^{惰}}(\mathcal{C})$ 中的对象为右 Kan 延拓: 因此右 Kan 延拓给出范畴等价$${\mathsf{Mon}}_{{\mathcal{O}}^{惰}}(\mathcal{C})\simeq \mathrm{Fun}({\mathcal{O}}^{初},\mathcal{C})$$

•

令 $\mathcal{C}$ 为带有筛余极限以及有限积且积与筛余极限交换的 $\infty$-范畴. 若 $\mathcal{O}$ 为 Cartesius 模式, 则全子范畴 ${\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C})$ 在 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$ 的筛余极限下稳定: 给定图表 $\mathcal{J}\to {\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C})$, 其余极限是逐点计算的, 满足$$(\underset{\mathcal{J}}{\mathrm{colim}}\varphi )(o)\stackrel{\sim }{\to }\underset{\mathcal{J}}{\mathrm{colim}}(\varphi (o_1)\times \cdots \varphi (o_n))\simeq \left(\underset{\mathcal{J}}{\mathrm{colim}}(\varphi (o_1))\right)\times \cdots \times \left(\underset{\mathcal{J}}{\mathrm{colim}}(\varphi (o_n))\right)$$由此可知对于任意 Cartesius 模式之间的态射 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$, 函子 $f^{\ast }:{\mathsf{Mon}}_{\mathcal{P}}(\mathcal{C})\to {\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C})$ 保筛余极限.

$\mathcal{O}$-幺半 $\infty$-范畴与代数

40.2Morita 等价

定义 40.2.1 (左模模式). 考虑代数模式 $\mathsf{LM}$ 定义如下:

•	底范畴为单形范畴俯范畴之反 $({\mathbb{\Delta }}_{/[1]}{)}^{\mathrm{op}}$ 的全子范畴, 由 $0$ 的原像非空且 $1$ 的原像至多一个元素的那些映射 $[n]\to [1]$ 生成;
•	代数模式结构沿遗忘函子 $([n]\to [1])\mapsto [n]$ 从 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 中继承得来;

称为左模模式, 因为其 Segal 对象就是结合代数及其左模.

$\mathsf{LM}$ 里有两个初等对象: $[1]\to \{0\}\subset \{0,1\}=[1]$ 与 ${\mathrm{id}}_{[1]}$, 分别记作 $\mathfrak{a}$ 与 $\mathfrak{m}$. 称 $\mathfrak{m}$ 为底对象, 因为把 $\mathsf{LM}$ 的 Segal 对象在 $\mathfrak{m}$ 上取值就是取左模的底对象; 称函子$$[n]\mapsto ([n]\to \{0\}\subset \{0,1\}=[1]):{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{LM}$$为底代数, 因为把 Segal 对象沿该函子限制就是取出作用于底对象上的那个结合代数.

40.3充实 $\infty$-范畴