4. 概形的部分性质

在前面的几章中, 我们初步介绍了什么是概形, 在本章中, 我们将聚焦于研究概形的性质, 以几个观点作为引子, 而后进行具体介绍. 由 Yoneda 引理, 研究数学对象时可以不仅仅关心数学对象本身, 还应该关心该数学对象与其它对象之间的联系. 在这几章中, 我们的顺序进路是$$\text{整体}\text{概形}\text{概形间的态射(相对概形)}\text{(相对)概形的性质}\text{局部(偏交换代数)}$$

4.1概形之间的态射

概形态射的定义已经在定义 3.3.2 中说明, 现在我们对其进行探讨, 不难发现:

•	对于 $x\in X$ 以及 $y=f(x)$, 可以得到局部环同态 ${\mathcal{O}}_{Y,y}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$.
•	进一步, ${\kappa }_Y(y)\hookrightarrow {\kappa }_X(x)$ 为域扩张.

引理 4.1.1.

1.	$U\subset X$ 为开集, 则 $f{\mid }_U:U\to Y$ 为概形之间的态射. 对于 $\iota :V\subset Y$ 为开集, 使得 $f(X)\subset V$, 此时存在唯一的态射 $g:X\to V$ 使得 $f=\iota \circ g$.
2.	对于任意 $x\in X$, 则可以构造概形之间的态射 $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{X,x}\to X$. 更进一步, 对于 $\kappa (x)$ 有 $\mathrm{Spec}\kappa (x)\to X$ 为态射, 它由 $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{X,x}\to X$ 以及 $\mathrm{Spec}\kappa (x)\to {\mathcal{O}}_{X,x}$ 给出.

事实上, 对于 $X=\mathrm{Spec}A$ 的情况, $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{X,\mathfrak{p}}\to X$ 无非是由局部化 $A\to A_{\mathfrak{p}}$ 所给出的. 更一般的, 对于 $x\in U=\mathrm{Spec}A\subset X$, 则 $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{X,x}\to X$ 与 $U$ 无关.

证明. 留作习题.

$\square$

点

接下来我们在概形的意义下描述什么是 “点”, 合理的看法是将其看成某种概形之间的态射.

定义 4.1.2 (相对概形). 设 $S$ 为概形. 则 $S$ 上的相对概形, 或称为 $\mathbf{S}$-概形, 是指概形态射 $f:X\to S$. 此时, 也常常直接称 $X$ 为 $S$-概形.

$S$-概形 $X,Y$ 之间的态射是指概形态射 $X\to Y$, 满足交换图表$$XYS\text{ .}$$我们注意到, $S$-概形的范畴就是俯范畴 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$, 其中 $\mathsf{Sch}$ 是概形的范畴. $S$-概形 $X,Y$ 之间的态射集记为 ${\mathrm{Hom}}_S(X,Y)$. 此外, 若 $S=\mathrm{Spec}A$, 则 $\mathrm{Spec}A$-概形简记为 $A$-概形.

现在, 我们可以定义概形的点.

定义 4.1.3. 取 $A$ 为环, $X$ 为 $A$-概形且 $B$ 为 $A$-代数. 称 $X$ 上全体 $B$-点所构成的集合为 $X(B):={\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Spec}B,X)$.

例 4.1.4.

1.	取 $k$ 为域, $L\mid k$ 为域扩张, 且 $X$ 为 $k$-概形. 则 $X$ 上的 $L$-点体现为交换图表$$\mathrm{Spec}LX\mathrm{Spec}k$$不难发现 $\mathrm{Spec}L$ 上只有一个点, 因此 $X$ 上的 $L$-点是拓扑意义下的点 $x\in X$. 此外, 还需要记录层的信息, 这相当于说有环同态 ${\mathcal{O}}_{X,x}\to L$, 而其自动穿过 $\kappa (x)$, 注意到这一切都是在域 $k$ 上进行的, 因此给出交换图表$$\kappa (x)Lk$$如果 $L=k$, 则 $X(k)=\{x\in X:\kappa (x)=k\}$.
2.	取 $X={\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}^1=\mathrm{Spec}\mathbb{R}[t]$, 则 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{C})$ 为使得 $x-(t^2+1)\in {\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}^1$ 的点, 正好有两个, 因为其实际上对应于$$\mathbb{C}\mathbb{C}\mathbb{R}.i-i$$
3.	令 $k$ 为域, $X$ 为 $k$-概形, 对于对偶数环 $k[\epsilon ]=k[t]/(t^2)$, $X$ 上的 $k[\epsilon ]$-点. 这相等于在说给出交换图表$$\mathrm{Spec}k[\epsilon ]X\mathrm{Spec}k$$等价于说使得 $\kappa (x)=k$ 的 $x\in X$, 此时有 ${\mathcal{O}}_{X,x}\to k[\epsilon ]$, 这相当于说有 $k$-同态 ${\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2\to k$ (不难发现其为对偶空间 $({\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2{)}^{\vee }$ 中的元素), 而还有 ${\mathcal{O}}_{X,x}/{\mathfrak{m}}_x\to {\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2$ 使得 ${\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2$ 为 ${\mathcal{O}}_{X,x}/{\mathfrak{m}}_x$-模. 由此可知 ${\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2$ 为 $k$-线性空间. 现在我们来解释其背后的几何直观, 把 ${\mathfrak{m}}_x$ 视为在 $x$ 处取 $0$ 的全体芽. 此时 $k$-线性映射 ${\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2\to k$ 可以视为在 $x$ 处的 “求导”. 首先, 其为 $k$-线性映射; 其次, 其满足 Leibniz 法则, 即 $(f\cdot g{)}^{\prime }=f(x)g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)g(x)=0$(因为 $f,g\in {\mathfrak{m}}_x$); 从而可以看出, 这相当于说给出剩余域为 $k$ 的点 $x$ 以及其上的导子, 而求导相当于说在 $x$ 上给出切方向, 这就是代数几何中给一点以切方向的尝试.

从而可以给出

定义 4.1.5. 令 $k$-为域, $X$ 为 $k$-概形, 则 $X$ 在 $x$ 处的切空间 $T_{x}X:={\mathrm{Hom}}_k({\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2,k)=({\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2{)}^{\vee }$.

总结一下: $X(k[\epsilon ])=\{(x,v):x\in X,\kappa (x)=k,v\in T_{x}X\}$ 此处 $v$ 为切向量. 感兴趣的读者可以思考一下该如何描述加法和数乘?

例 4.1.6 (还是点的例子). 令 $k$ 为域, $A$ 为 $k$-代数, 则 ${\mathbb{A}}_k^n(A)=A^n$(加法群). 此外考虑乘法群 $G_{m,k}=\mathrm{Spec}k[t,1/t]$, 则 $G_{m,k}(A)=A^{\ast }$(乘法群).

练习 4.1.7. ${\mathbb{P}}_k^n(A)$ 是什么呢?

开浸入与闭浸入

现在来定义开子概形.

定义 4.1.8. 称环化空间态射 $j:(U,{\mathcal{O}}_U)\to (X,{\mathcal{O}}_X)$ 为开浸入, 是指它满足以下条件:

•	拓扑空间的映射 $j:U\to X$ 是开嵌入, 即从 $U$ 到 $X$ 的开子空间的同胚.

•	结构层的映射 $j^{♯}:{\mathcal{O}}_U\simeq j^{-1}({\mathcal{O}}_X)$ 是同构.

此时亦称 $U$ 是 $X$ 的开子空间.

若 $j:U\to X$ 是概形态射, 且是开浸入, 则称 $U$ 是 $X$ 的开子概形.

例 4.1.9.

•	$\mathrm{Spec}{A}_f\to \mathrm{Spec}A$ 即为开浸入, 在拓扑空间上其同胚于 $D(f)$, 在结构层上有 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}{A}_f}\simeq j^{-1}({\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$.

•	令 $p$ 为素数, 取 $X={\mathbb{A}}_{{\mathbb{F}}_p}^1$, 考虑 Frobenius 态射, 即 ${\mathrm{Frob}}_X:X\to X$, 具体写出即为 ${\mathbb{F}}_p[t]\to {\mathbb{F}}_p[t],t\mapsto t^p$. 此时其在拓扑上是恒等, 但是在层上却并非同构. 因此 Frobenius 态射并非开浸入.

接下来定义闭的情况, 这个时候就比较复杂. 回忆到我们在定义概形的时候就对其具有记录重数的希望, 而在定义概形时我们的一大目的是为了区分 “重数” 这一概念. 则考虑 $(x=0)\in {\mathbb{A}}_k^1$ 以及 $(x^2=0)\in {\mathbb{A}}_k^1$, 其在拓扑上均为 $\{0\}$, 但是我们希望对其区分, 使得 $(x=0)$ 为一重的点, 而 $(x^2=0)$ 为二重的点. 为对其进行区分, 我们要通过层对其进行区分, 不难发现 $(x=0)$ 所对应的概形为 $\mathrm{Spec}k$, 而 $(x^2=0)$ 所对应的概形为 $\mathrm{Spec}k[\epsilon ]$. 这样我们就对其进行了区分, 不过这就给出闭浸入的概念

定义 4.1.10. 称概形态射 $i:Z\to X$ 为闭浸入, 是指它满足以下条件:

•	拓扑空间的映射 $i:Z\to X$ 是闭嵌入, 即从 $Z$ 到 $X$ 的某个闭子空间的同胚.

•	结构层的映射 $i^{♯}:{\mathcal{O}}_X\to i_{\ast }{\mathcal{O}}_Z$ 是层满射.

此时亦称 $Z$ 是 $X$ 的闭子概形, 称 $\ker (i^{♯})\subset {\mathcal{O}}_X$ 为 $Z$ 对应的理想层.

另外, 若 $Z,X$ 是某个域 $k$ 上的代数簇, 且 $i$ 是 $k$-概形的态射 (即代数簇态射), 也称 $Z$ 为 $X$ 的闭子簇.

例 4.1.11.

1.	根据前文的讨论, $\mathrm{Spec}k\to {\mathbb{A}}_k^1$ 为单点, $\mathrm{Spec}k[\epsilon ]\to {\mathbb{A}}_k^1$ 为二重点, 不过它们在集合意义下是一致的.
2.	对于理想 $I\subset A$, 有闭浸入 $\mathrm{Spec}A/I\to \mathrm{Spec}A$, 其像为 $V(I)$.
3.	Frobenius 态射也并非闭浸入, 这是因为其在层上也并非层满射.
4.	$A=k[x,y]$, $I=(x^2,xy)$, $\mathrm{Spec}A\to {\mathbb{A}}_k^2$. 其图像可表述为其中淡红色的部分为原点, 其为二重点.
5.	“ $V(I)$ 上的极小闭子概形结构” 即为 $\mathrm{Spec}A/\sqrt{I}\to \mathrm{Spec}A$. 此时称为是既约的, 即没有非平凡的幂零元, 可以发现概形的既约闭子概形完全由其点集所确定.

定理 4.1.12 ([Hartshorne, $\S 2.3$. Exercise 3.12.]). 令 $X\simeq \mathrm{Spec}A$ 为仿射概形, 且 $i:Z\to X$ 为闭浸入, 则 $Z\simeq \mathrm{Spec}A/I$ 且该闭浸入等同于 $\mathrm{Spec}A/I\to \mathrm{Spec}A$.

我们分两步来证明这件事情, 首先证明 $Z$ 是仿射的.

引理 4.1.13. 令 $X$ 为概形, $f\in {\mathcal{O}}_X(X)$, 定义 $X_f:=\{x\in X:f_x\in {\mathcal{O}}_{X,x}^{\ast }\}$, 即 $f(x)\in \kappa (x{)}^{\ast }$, 则

1.	$X_f\subset X$ 为开子集.
2.	若 $X$ 有有限仿射覆盖 (即存在有限多个仿射开集 $U_i$ 构成 $X$ 的覆盖, 且 $U_i\cap U_j$ 也可被有限多个仿射开集所覆盖), 则 ${\mathcal{O}}_X(X)\stackrel{\text{限制}}{\to }{\mathcal{O}}_X(X_f)$ 诱导 ${\mathcal{O}}_X(X{)}_f\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_X(X_f)$.

证明.

证明.

1.

由于 $X_f:=\{x\in X:f_x\in {\mathcal{O}}_{X,x}^{\ast }\}$ 中 $f$ 在 $x$ 处的芽是可逆的, 因此, 可知存在 $x$ 的邻域 $U$ 使得 $f{\mid }_U\ne 0$, 从而自然为开集.

2.

$f{\mid }_{X_f}$ 上可逆, 因此给出良定的态射$${\mathcal{O}}_X(X{)}_f\to {\mathcal{O}}_X(X_f)$$而后来证明这是同构, 由 2., 取 $X$ 的仿射覆盖 $(U_i{)}_{i\in I}$, 则 $X_f$ 也被仿射开集 $(V_i=U_i\cap X_f)$ 所覆盖, 不难发现 $V_i=D(f{\mid }_{U_i})$(这是因为 $V_i$ 相当于 $f$ 不为零的所有点交上 $U_i$). 从而 ${\mathcal{O}}_X(U_i{)}_{f{\mid }_{U_i}}={\mathcal{O}}_X(V_i)$. 现在我们将这些切碎的东西重新拼凑起来, 则考虑序列$$0{\mathcal{O}}_X(X{)}_f{\prod }_i{\mathcal{O}}_X(U_i{)}_{f{\mid }_{U_i}}{\prod }_{i,j}{\mathcal{O}}_X(U_i\cap U_j{)}_{f{\mid }_{U_i\cap U_j}}0{\mathcal{O}}_X(X_f){\prod }_i{\mathcal{O}}_X(V_i){\prod }_{i,j}{\mathcal{O}}_X(V_i\cap V_j)\simeq$$不难发现下面一行是正合的, 且中间一列为同构, 并且根据局部化为正合函子, 可知上一行也是正合的. 接下来我们使用五引理 (定理 27.3.10) 中的后四列证明即可, 那么需要说明两侧的纵向箭头为单态射. 那么通过简单的追图可知有单态射 ${\mathcal{O}}_X(X{)}_f\hookrightarrow {\mathcal{O}}_X(X_f)$. 而后由我们的假设可知有 $U_i\cap U_j$ 的有限仿射覆盖, 因此 ${\prod }_{i,j}{\mathcal{O}}_X(U_i\cap U_j){\mid }_{f{\mid }_{U_i\cap U_j}}\hookrightarrow {\prod }_{i,j}{\mathcal{O}}_X(V_i\cap V_j)$. 从而由 (定理 27.3.10) 的后四列版本表明 ${\mathcal{O}}_X(X{)}_f\to {\mathcal{O}}_X(X_f)$ 为满. 而由其为 Abel 范畴 (将局部环空间范畴视为其自身构成的模所组成的范畴, 因此态射自然严格) 可知 ${\mathcal{O}}_X(X{)}_f\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_X(X_f)$.

$\square$

命题 4.1.14 (仿射判别). 令 $X$ 为概形, 若 $X$ 被有限多个元素 $f_1,\cdots ,f_r\in {\mathcal{O}}_X(X)$ 所覆盖, 使得 $(f_1,\cdots ,f_r)={\mathcal{O}}_X(X)$. 且每个 $X_{f_i}$ 都是仿射的. 则 $X$ 是仿射的.

证明.

证明. 只需令 $A={\mathcal{O}}_X(X)$, 则 $A_i={\mathcal{O}}_X(X_{f_i})$. 从而 $1\in (f_1,\cdots ,f_r)$ 相当于说 $(X_{f_i})$ 构成 $X$ 的覆盖. 此时引理 4.1.13 说明 $A_{f_i}\stackrel{\sim }{\to }{A}_i$. 最后只需要给出态射 $u:X\to \mathrm{Spec}A$ 使得其为同构. 由 $A\to A_i$ 所给出限制态射 $u{\mid }_{X_{f_i}}:X_{f_i}\to \mathrm{Spec}A$, 并且不难验证重叠部分是相等的, 因此给出 $u:X\to \mathrm{Spec}A$. 而不难发现 $X_{f_i}\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Spec}{A}_i\simeq \mathrm{Spec}{A}_{f_i}$ 并且 $u^{-1}(D(f_i))=X_{f_i}$. 从而这说明 $u$ 为同构.

$\square$

定理 4.1.12证明.

定理 4.1.12 证明. 未完待续

$\square$