仿射子空间

向量空间的仿射子空间 (或仿射子集) 是指由某个子向量空间平移而得到的子集.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$ -向量空间. 称子集 $W \subset V$ 是仿射子空间, 如果满足以下等价条件:

•	存在子向量空间 $W_{0} \subset V$ 及向量 $v \in V$ , 使得 $W = W_{0} + v = {w + v ∣ w \in W_{0}} .$

•	$W$ 非空, 且对任意 $x, y \in W$ 和 $a, b \in k$ , 若 $a + b = 1$ , 则 $a x + b y \in W$ .

更一般地, 设 $V$ 是 $k$ -向量空间 $V_{0}$ 上的仿射空间. 称子集 $W \subset V$ 是仿射子空间, 如果满足以下条件:

•	存在子向量空间 $W_{0} \subset V_{0}$ 及元素 $v \in V$ , 使得 $W = W_{0} + v = {w + v ∣ w \in W_{0}},$ 这里 $w + v$ 表示 $v$ 沿 $w$ 的平移.

•	若 $V$ 是向量空间, $W \subset V$ 是仿射子空间, 则对任意 $x_{1}, \dots, x_{n} \in W$ 和 $a_{1}, \dots, a_{n} \in k$ , 若 $a_{1} + \dots + a_{n} = 1$ , 则 $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} \in W .$

•	凸集
•	仿射变换

术语翻译

仿射子空间 • 英文 affine subspace • 法文 sous-espace affine (m) • 拉丁文 subspatium affine (n)