下降

下降是范畴论和代数几何中的一般方法, 指的是对景中一对象 $X$, 从 $X$ 的一个覆盖 $\{U_i\to X\}$ 上对象及性质来得到 $X$ 上对象及性质. 由于我们将 $\{U_i\}$ 视为在 “上面”, 下降因此得名.

下降就是用各种拓扑下的局部信息来得到整体信息, 所以其应用非常广泛. 交换代数研究局部性质时化归到局部环, 平展上同调中化归到严格 Hensel 局部环, Hodge 理论中用奇点消解定义混合 Hodge 理论, 无不体现下降的威力.

1定义

景有用覆盖和用筛两种定义, 下降也类似. 这里用筛也是更为一般的. 下设 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 是范畴, $\mathcal{D}$ 有任意极限, 并设 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{C}$ 上取值在 $\mathcal{D}$ 的预层.

定义 1.1 (沿覆盖下降). 设 $X$ 是 $\mathcal{C}$ 中对象, $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 是一族态射, 满足纤维积 $U_{ij}=U_i{\times }_X{U}_j$ 存在, 对任意 $i,j\in I$. 称 $\mathcal{F}$ 对 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 满足下降, 或称 $\mathcal{F}$ 能沿 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 下降, 指的是图表$$\mathcal{F}(X)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{i,j\in I}\mathcal{F}(U_{ij})$$是等子. 展开来说, 就是对任一族 $(s_i\in \mathcal{F}(U_i){)}_{i\in I}$ 满足 $s_i{|}_{U_{ij}}=s_j{|}_{U_{ij}}$, 都存在唯一 $s\in \mathcal{F}(X)$ 使得 $s{|}_{U_i}=s_i$. 参见层条目中的层公理.

注 1.2. 设 $\mathcal{C}$ 中有余积且与纤维积满足分配律$$\left(\coprod _{i\in I}{U}_i\right){\times }_X\left(\coprod _{j\in J}{V}_j\right)=\coprod _{i\in I,j\in J}{U}_i{\times }_X{V}_j,$$而 $\mathcal{F}$ 把余积变为积. 则依定义容易发现, $\mathcal{F}$ 对 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 满足下降, 当且仅当它对一个映射 ${\coprod }_{i\in I}{U}_i\to X$ 满足下降.

定义 1.3 (沿筛下降). 设 $X$ 是 $\mathcal{C}$ 中对象, $S\subseteq h_X$ 是 $X$ 上的筛. 称 $\mathcal{F}$ 对 $S$ 满足下降, 或称 $\mathcal{F}$ 能沿 $S$ 下降, 指的是$$\mathcal{F}(X)=\underset{(f:U\to X)\in S(U)}{\lim }\mathcal{F}(U).$$参见层条目中的层公理.

2例子

例 2.1. 取 $\mathcal{D}=\mathsf{Set}$, 下降就是映射和截面的粘合:

•	固定集合 $A$, 取 $\mathcal{C}=\mathsf{Set}$, $\mathcal{F}(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$. 则只要映射族 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 合起来满, $\mathcal{F}$ 就能沿它下降.
•	固定拓扑空间 $X$ 以及映射 $f:Y\to X$. 取 $\mathcal{C}=\mathsf{Open}(X)$ 为 $X$ 的开子集沿含入映射组成的范畴, $$\mathcal{F}(U)=\{s:U\to f^{-1}(U)\mid f\circ s={\mathrm{id}}_U\},$$即 $U$ 上的连续截面. 则只要 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 构成 $U$ 的开覆盖, $\mathcal{F}$ 就能沿它下降. 这是连续截面沿开覆盖粘合.
•	对概形 $S$ 及其上拟凝聚层 $\mathcal{F}$, 取 $\mathcal{C}={\mathsf{Sch}}_S$ 为 $S$ 上概形范畴, $$\mathcal{F}(f:X\to S)=\Gamma (X,f^{\ast }\mathcal{F}),$$则 $\mathcal{F}$ 可沿 fpqc 覆盖下降. 这是拟凝聚层截面的平坦下降.
•	对概形 $S$ 及其上平展层 $\mathcal{F}$, 取 $\mathcal{C}={\mathsf{Sch}}_S$ 为 $S$ 上概形范畴, $$\mathcal{F}(f:X\to S)=\Gamma (X,f^{-1}\mathcal{F}),$$则 $\mathcal{F}$ 可沿泛商态射下降. 这是能沿比 fpqc 更细的拓扑下降的一个例子.

例 2.2. 取 $\mathcal{D}=\mathsf{Cat}$, 把等子图表按 $2$-范畴理解, 下降就是对象的粘合:

•	固定拓扑空间 $X$, 取 $\mathcal{C}=\mathsf{Open}(X)$, $$\mathcal{F}(U)=\{(V,f)\mid V\in \mathsf{Top},f:V\to U\},$$则 $\mathcal{F}$ 可沿开覆盖下降. 这是相对空间的粘合.
•	固定概形 $X$, 取 $\mathcal{C}=\mathsf{Open}(X)$, $$\mathcal{F}(U)=\{(V,f)\mid V\in \mathsf{Sch},f:V\to U\},$$则 $\mathcal{F}$ 可沿开覆盖下降. 这是相对概形的粘合.
•	固定拓扑空间 $X$, 取 $\mathcal{C}=\mathsf{Open}(X)$, $$\mathcal{F}(U)=\{{\mathcal{O}}_U\in \mathsf{Sh}(U,\mathsf{CRing})\mid (U,{\mathcal{O}}_U)\in \mathsf{Sch}\},$$则 $\mathcal{F}$ 可沿开覆盖下降. 这是绝对概形的粘合.
•	固定概形 $X$, 取 $\mathcal{C}={\mathsf{Sch}}_X$, $$\mathcal{F}(U)=\mathsf{QCoh}(U),$$则 $\mathcal{F}$ 可沿 fpqc 覆盖下降. 这是拟凝聚层的平坦下降.

3性质

设 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 是范畴, $\mathcal{D}$ 有任意极限, 并设 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{C}$ 上取值在 $\mathcal{D}$ 的预层.

命题 3.1. 如映射族 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 和 $\{V_j\to X{\}}_{j\in J}$ 满足:

•	它们在 $X$ 上的纤维积都存在;
•	$\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 是 $\{V_j\to X{\}}_{j\in J}$ 的加细;
•	$\mathcal{F}$ 对 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 满足下降;
•	对任意 $j\in J$, 态射 $\mathcal{F}(V_j)\to {\prod }_{i\in I}\mathcal{F}(U_i{\times }_X{V}_j)$ 为单射;

则 $\mathcal{F}$ 也对 $\{V_j\to X{\}}_{j\in J}$ 满足下降.

注意只要 $\mathcal{F}$ 对 $\{U_i{\times }_X{V}_j\to V_j{\}}_{i\in I}$ 满足下降, 这里最后一条就会自动满足.

证明.

证明. 依加细的定义取 $\phi :I\to J$ 以及映射 $U_i\to V_{\phi (i)}$. 作交换图$$\mathcal{F}(X){\prod }_{j\in J}\mathcal{F}(V_j){\prod }_{j_0,j_1\in J}\mathcal{F}(V_{j_0}{\times }_X{V}_{j_1})\mathcal{F}(X){\prod }_{i\in I}\mathcal{F}(U_i){\prod }_{i_0,i_1\in I}\mathcal{F}(U_{i_0}{\times }_X{U}_{i_1})$$其中中间的箭头是 $(s_j{)}_{j\in J}\mapsto (s_{\phi (i)}{|}_{U_i}{)}_{i\in I}$, 右边的类似. 要从下面一行是等子推出上面一行也是. 用 Yoneda 引理可设 $\mathcal{D}=\mathsf{Set}$.

首先由 $\mathcal{F}(X)\to {\prod }_{i\in I}\mathcal{F}(U_i)$ 是单射, 可得 $\mathcal{F}(X)\to {\prod }_{j\in J}\mathcal{F}(V_j)$ 是单射, 于是有唯一性. 欲证存在性, 设 $(s_j{)}_{j\in J}\in {\prod }_{j\in J}\mathcal{F}(V_j)$ 沿两个箭头在 ${\prod }_{j_0,j_1\in J}\mathcal{F}(V_{j_0}{\times }_X{V}_{j_1})$ 中的像一样, 则它打下来到 ${\prod }_{i\in I}\mathcal{F}(U_i)$ 之后, 亦沿两个箭头在 ${\prod }_{i_0,i_1\in I}\mathcal{F}(U_{i_0}{\times }_X{U}_{i_1})$ 中的像一样. 这样由条件就得到元素 $s\in \mathcal{F}(X)$. 要证 $s{|}_{V_j}=s_j$. 由条件只需对每个 $i\in I$ 证明 $s{|}_{U_i{\times }_X{V}_j}=s_j{|}_{U_i{\times }_X{V}_j}$. 依定义 $s{|}_{U_i}=s_{\phi (i)}{|}_{U_i}$, 所以由 $(s_j{)}_{j\in J}\in {\prod }_{j\in J}\mathcal{F}(V_j)$ 沿两个箭头在 ${\prod }_{j_0,j_1\in J}\mathcal{F}(V_{j_0}{\times }_X{V}_{j_1})$ 中的像一样, 便有$$s_j{|}_{U_i{\times }_X{V}_j}=(s_j{|}_{V_{\phi (i)}{\times }_X{V}_j}){|}_{U_i{\times }_X{V}_j}=(s_{\phi (i)}{|}_{V_{\phi (i)}{\times }_X{V}_j}){|}_{U_i{\times }_X{V}_j}=(s_{\phi (i)}{|}_{U_i}){|}_{U_i{\times }_X{V}_j}=(s{|}_{U_i}){|}_{U_i{\times }_X{V}_j}=s{|}_{U_i{\times }_X{V}_j}.$$

$\square$

推论 3.2. 若 $\mathcal{F}$ 对复合映射 $U\to V\to X$ 和纤维积 $U{\times }_{X}V\to V$ 满足下降, 则它自动对后一映射 $V\to X$ 满足下降.

推论 3.3. 如映射 $V\to X$ 有截面且 $V{\times }_{X}V$ 存在, 则每个预层都能沿该映射下降.

证明.

证明. 只需注意到

•	有截面相当于被 $\mathrm{id}$ 加细;
•	每个预层都能沿 $\mathrm{id}$ 下降;
•	有截面这一条件在基变换下封闭;

即可得到结论.

$\square$

推论 3.4. 固定概形 $X$. 对 ${\mathsf{Sch}}_X$ 上的预层 $\mathcal{F}$,

•	$\mathcal{F}$ 是光滑层当且仅当它是平展层.
•	$\mathcal{F}$ 是 fppf 层当且仅当它可沿拟有限 fppf 覆盖下降.

下面的定理是上面的命题的筛版本, 可用来作范畴的典范拓扑.

定理 3.5. 称 $\mathcal{C}$ 中的筛 $S\subseteq h_X$ 为 $\mathcal{F}$-筛, 指的是对任意 $Y\in \mathcal{C}$ 以及 $f:Y\to X$, $\mathcal{F}$ 都可沿筛 $f^{\ast }S\subseteq h_Y$ 下降. 则 $\mathcal{C}$ 关于 $\mathcal{F}$-筛构成景, 且这是使 $\mathcal{F}$ 是层的最细的景.

4相关概念

•	平坦下降
•	∞-下降
•	超下降
•	典范拓扑

术语翻译

下降 • 英文 descent • 德文 Abstieg (m) • 法文 descente (f)