Hironaka 奇点消解定理

Hironaka 奇点消解定理是代数几何中的重要定理, 它说明在特征 $0$ 域上, 任何代数簇都可以通过一系列爆破, 最终成为光滑簇. 换言之, 代数簇中的奇点可以经过一系列爆破而消除.

在特征非 $0$ 的域上, 三维以上代数簇的奇点消解问题仍是未解难题.

1陈述

Hironaka 解决奇点消解问题的一个关键想法是, 我们不直接考虑带有奇点的代数簇, 而是考虑光滑簇中的除子和一般的闭子簇, 及其对应的理想层. 这样, 我们可以仅在光滑簇中沿光滑的闭子簇进行爆破, 而消除其中嵌入的闭子簇的奇点.

定理 1.1 (理想消解). 设 $k$ 为特征 $0$ 域. 给定三元组 $(X,\mathcal{I},D)$, 其中

•	$X$ 是 $k$ 上的光滑簇;

•	$\mathcal{I}\subset {\mathcal{O}}_X$ 是非零理想层;

•	$D$ 是 $X$ 上的简单横截除子.

则存在一系列爆破的复合$$\Pi :X_r\stackrel{{\pi }_{r-1}}{⟶}\cdots \stackrel{{\pi }_1}{⟶}{X}_1\stackrel{{\pi }_0}{⟶}{X}_0=X,$$其中每个 ${\pi }_i:X_{i+1}\to X_i$ 是沿光滑闭子簇 $Z_i\subset X_i$ 的爆破. 特别地, $\Pi$ 是双有理态射、射影态射. 并且, 该构造满足以下性质:

•	每个 $Z_i$ 都与 $D$ 和各 $Z_j$ $(j<i)$ 的原像简单横截相交.

•	${\mathcal{O}}_{X_r}$ 中由 ${\Pi }^{-1}\mathcal{I}$ 生成的理想层 ${\Pi }^{-1}\mathcal{I}\cdot {\mathcal{O}}_{X_r}$ 是某个简单横截除子的理想层.

•	$\Pi$ 在 $\mathcal{I}$ 对应的闭子簇之外是同构.

•	该构造关于光滑态射具有函子性: 对任何光滑态射 $f:Y\to X$, 三元组 $(Y,f^{-1}\mathcal{I}\cdot {\mathcal{O}}_Y,f^{\ast }D)$ 的理想消解等于 $(X,\mathcal{I},D)$ 的理想消解沿 $f$ 拉回, 但需删去那些拉回后变成沿 $\varnothing$ 爆破的映射.

•	类似地, 该构造关于域扩张 $K/k$ 具有函子性.

以上定理取自 [Kollár 2007, 3.35]. 定理 1.1 可以用来证明下述代数簇的奇点消解定理:

定理 1.2 (奇点消解). 设 $k$ 为特征 $0$ 域, $X$ 是有限型 $k$-概形. 则存在一系列爆破的复合$$\Pi :X_r\stackrel{{\pi }_{r-1}}{⟶}\cdots \stackrel{{\pi }_1}{⟶}{X}_1\stackrel{{\pi }_0}{⟶}{X}_0=X,$$其中每个 ${\pi }_i:X_{i+1}\to X_i$ 是沿光滑闭子簇 $Z_i\subset X_i$ 的爆破. 特别地, $\Pi$ 是双有理态射、射影态射. 并且, 满足以下性质:

•	$X_r$ 是光滑簇.

•	$\Pi$ 在 $X$ 光滑的那部分点构成的开集上是同构; 其补集 (即 $X$ 的奇点集) 的原像是 $X_r$ 中的简单横截除子.

•	该构造关于光滑态射、域扩张具有函子性.

证明概要. 首先假设 $X$ 是不可约仿射簇. 取闭浸入 $X\hookrightarrow {\mathbb{A}}^n$, 使得 $X$ 的余维数 $\ge 2$. 在定理 1.1 中, 考虑三元组 $({\mathbb{A}}^n,{\mathcal{I}}_X,0)$, 记 ${\eta }_X\in {\mathbb{A}}^n$ 为 $X$ 的一般点. 由于 ${\mathcal{I}}_X$ 在 ${\eta }_X$ 处不是局部主理想, 因此必有某次沿着 $Z_k$ 爆破时有 ${\eta }_X\in Z_k$. 但由于该定理中的 $\Pi$ 在 $X$ 之外是同构, 故 $Z_k=\overline{\{{\eta }_X\}}$, 而不可更大. 又由定理陈述知 $Z_k$ 光滑, 故 $Z_k\to X$ 就是所求的奇点消解.

更一般地, $X$ 可约的情况也可使用类似的过程处理. 最后, 使用定理 1.1 中的函子性, 可以将仿射簇的奇点消解粘合成一般的有限型 $k$-概形上的奇点消解. 详见 [Kollár 2007, 3.36].

$\square$

注 1.3. 上述定理中, 关于光滑态射的函子性也蕴涵了代数空间的奇点消解性质 [Kollár 2007, 3.43].

2参考文献

原始文献:

•	Heisuke Hironaka (1964). “Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: I”. Ann. Math. 79, 109–203. (doi) (zbMATH)

•	Heisuke Hironaka (1964). “Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: II”. Ann. Math. 79, 205–326. (doi) (zbMATH)

教科书:

•	János Kollár (2007). Lectures on resolution of singularities. Ann. Math. Stud. 166. Princeton University Press. (doi) (zbMATH)

3相关概念

术语翻译

奇点消解 • 英文 resolution of singularities