平方和问题 (多项式)

平方和问题, 又称 Hilbert 第十七问题, 是 Hilbert 的 23 个问题之一. 它问的是, 实系数多元有理函数如恒非负, 是否总能将其表为平方和? 此问题由 Emil Artin 于 1927 年用其序域理论解决.

1问题与动机

注意一元实多项式如果恒非负, 那么一定能表为平方和: 平方和之积仍是平方和; 恒非负一元实多项式是恒非负二次多项式的乘积; 二次情形是显然的. 多元情形并不那么简单. Hilbert 自己于 1888 年证明了, 恒非负的实多元多项式中, 只有二次和二元三次者一定能表为多项式平方和, 其余不行. 他的证明是非构造的, 但后人给出反例$$x^4{y}^2+x^2{y}^4-3x^2{y}^2+1.$$

既然在多项式范围内并不总能写平方和, Hilbert 便问允许分母行不行, 这就是平方和问题. 它的严格陈述是:

定理 1.1 (平方和问题). 对实闭域 $K$ (例如实数 $\mathbb{R}$), 多项式 $f\in K[x_1,\cdots ,x_n]$ 是若干分式 $g_i\in K(x_1,\cdots ,x_n)$ 的平方之和$$f=g_1^2+\cdots +g_m^2$$当且仅当对任意 $a_1,\cdots ,a_n\in K$, $f(a_1,\cdots ,a_n)$ 非负.

此问题现在得到了肯定的回答.

2解决

这里呈现的证明是 Artin 的学生 Serge Lang 的简化, 使用以下实 Hilbert 零点定理:

定理 2.1 (Lang). 设 $k$ 是实闭域, $K/k$ 是域扩张, $K$ 形式实. 则 $K$ 的任意有限生成 $k$-子代数都有到 $k$ 的 $k$-代数同态. 换言之, 分式域形式实的代数簇都有实点.

定理 2.2 (Artin). $k$ 是实闭域, $f\in k(X_1,\dots ,X_n)$ 为 $n$ 元有理函数. 如对任意 $(x_1,\dots ,x_n)\in k^n$, 只要 $f$ 在该点有定义, 就有 $f(x_1,\dots ,x_n)\ge 0$, 则 $f$ 为平方和.

证明. 假设不然, 则 $f\ne 0$, 且 $K=k(X_1,\dots ,X_n,\sqrt{-f})$ 形式实. 令 $A=k[X_1,\dots ,X_n,\sqrt{-f},f^{-1}]$, 用定理 2.1 取出同态 $A\to k$. 设 $X_i\mapsto x_i\in k$, 则由于 $f,f^{-1}\in A$, 有 $f(x_1,\dots ,x_n)$ 有定义且非零. 由于 $\sqrt{-f}\in A$, $f(x_1,\dots ,x_n)=-(\sqrt{-f}(x_1,\dots ,x_n){)}^2<0$, 与条件矛盾! 故 $f$ 为平方和.

$\square$

3后续

另一证明

随着数理逻辑的发展, Robinson 利用实闭域具有量词消去给出了一个简短证明.

定理 2.2 的证明, 通过数理逻辑. 假设不然, 则 $f\ne 0$, 且 $K=k(X_1,\dots ,X_n,\sqrt{-f})$ 形式实. 从而可以取 $K$ 的实闭包 $R$ 使得 $f<0$. 那么有$$R\models \exists x_1\cdots x_{n}f(x_1,\cdots ,x_n)<0,$$因为取 $x_i=X_i$ 满足 $f(x_1,\cdots ,x_n)=f<0$. 由于 $\mathsf{RCF}$ 具有量词消去和模型完备, 所以它完备, 故得到$$k\models \exists x_1\cdots x_{n}f(x_1,\cdots ,x_n)<0,$$与条件矛盾.

$\square$

4相关概念

•	实闭域
•	实代数几何

术语翻译

平方和问题 • 英文 the sum-of-squares problem • 德文 das Quadratsummen-Problem • 法文 le problème de somme des carrés