讲义: 筛法

本讲义旨在按历史发展的顺序将解析数论中的经典筛法向读者呈现出来, 并证明 Goldbach 猜想研究中的划时代结论:

定理 0.1 (陈景润). 每个大偶数都是一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和. 存在无穷个素数 使 为不超过两个素数的乘积.

作者: 刘子灏

目录

1筛法的起源

1.1Eratosthenes 筛法和等差数列上的筛法

1.2孪生素数与 Goldbach 问题中的筛法

1.3抽象的筛法

2Brun 筛法

2.1等差数列上的殆素数

2.2命题 9+9

2.3孪生素数的倒数和

2.4Brun–Titchmarsh 不等式

3Selberg 上界筛法

3.1Brun–Titchmarsh 不等式的改良

3.2孪生素数个数上界的改良

3.3Goldbach 问题的上界

3.4筛法的单调原理

3.5通用的主项渐近展开式

3.6Ankeny & Onishi 方法

3.7王元方法

3.8筛法误差项的讨论

4Brun–Buchstab–Selberg 下界筛

4.1上下界系数与 Buchstab 变换

4.2命题 6+6

4.3Kuhn 加权筛与命题 2+3

5大筛法

5.1Bombieri–Vinogradov 定理

5.2命题 1+7

5.3命题 1+4

5.4命题 1+3

5.5转化原理与陈景润定理

6Rosser–Iwaniec 筛法

6.1Rosser 筛法

6.2筛法基本引理

6.3差分微分方程

6.4Jurkat–Richert 定理

6.5陈景润定理的改良

7附录

7.1Dirichlet 卷积

7.2分部求和法

7.3阶乘的初等性质

7.4“核武器” 引理

7.5常用的渐近展开式

1相关链接

TravorLZH 的《筛法》专栏

TravorLZH 的《哥德巴赫猜想》专栏

Brun 筛法的数值计算工具

参考文献

[1]

Ankeny, N., & Onishi, H. (1964). The general sieve. Acta Arith., 10(1), 31–62. https://doi.org/10.4064/aa-10-1-31-62

[2]

Brun, V. (1920). Le crible d’Eratosthene et le theoreme de Goldbach. Skr. Norske Vid. Akad, 3, 1–36.

[3]

Buchstab, A. (1938). Neue Verbesserungen in der Methode des Eratosthenischen Siebes. Mat. Sbornik, 46(2), 375–387.

[4]

Davenport, H. (1980). Multiplicative Number Theory (Vol. 74). Springer New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5927-3

[5]

Diamond, H. G., Halberstam, H., & Galway, W. F. (2008). A Higher-Dimensional Sieve Method. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511542909

[6]

Friedlander, J. B., & Iwaniec, H. (2010). Opera de cribro. American Mathematical Society.

[7]

Halberstam, H., & Richert, H.-E. (1974). Sieve methods. Academic Press.

[8]

Iwaniec, H. (1996). Sieve methods. Unpublished lecture notes.

[9]

Montgomery, H. L. (1978). The analytic principle of the large sieve. Bull. Amer. Math. Soc., 84(4), 547–568. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14497-8

[10]

潘承洞, 王元, & 丁夏畦. (1975). On the representation of every large even integer as a sum of a prime and an almost prime. Scientia Sinica, 18(5), 599–610.

[11]

Rademacher, H. (1924). Beiträge zur viggo brunschen methode in der zahlentheorie. Abh. Math. Semin. Univ. Hambg., 3(1), 12–30. https://doi.org/10.1007/BF02954614

[12]

Selberg, A. (1942). On the zeros of Riemann’s zeta-function. Skr. Norske Vid. Akad, 10.

[13]

Selberg, A. (1947). On an Elementary Method in the Theory of Primes. Norske Vid. Selsk. Forh. Trondhjem., 19, 64–67.

[14]

Shapiro, H. N., & Warga, J. (1950). On the representation of large integers as sums of primes. Part I. Comm. Pure Appl. Math., 3(2), 153–176. https://doi.org/10.1002/cpa.3160030204

[15]

Titchmarsh, E. C. (1930). A divisor problem. Rend. Circ. Mat. Palermo, 54, 414–429.

[16]

王元. (1956). 表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和. 数学学报, 6(3), 500–513.

[17]

王元. (1956). 表大偶數為一個素數及一個不超過四個素數的乘積之和——廣義 Riemann 猜測下之結果. 数学学报, 6(4), 565–582.

[18]

王元. (1958). 论筛法及其有关的若干应用 (I)——表大整数为殆素数之和. 数学学报, 8(3), 413–429.

[19]

王元. (1962). On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime. Scientia Sinica, 11(8), 1033–1054.

[20]

王元 (Ed.). (2002). The Goldbach conjecture (2nd ed). World Scientific.