2.2. 命题 9+9

设 $h\le x$ 为一个非负偶数, 并定义:

$$\mathcal{A}=\{n(n-h):n\le x\}$$

则结合命题 2.1.1, 可知:

$$X=x,g(p)=\{\begin{array}{ll}1& p|h\\ 2& p\nmid h\end{array},|r(d)|\le 2^{\omega (d)}.$$

并且 $x^{\epsilon }\le z\le x$ 时:

$$\begin{array}{rl}V(z)& =\prod _{\begin{array}{c}p<z\\ p|h\end{array}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\prod _{\begin{array}{c}p<z\\ p\nmid h\end{array}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\\ & =\prod _{\begin{array}{c}p|h\\ 2<p<z\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\prod _{2<p<z}\left(1-\frac{2}{p}\right)\sim \frac{c_h}{{\log }^{2}z},\end{array}$$

其中奇异级数 $c_h$ 的定义为:

$$c_h=2e^{-2\gamma }\prod _{\begin{array}{c}p|h\\ p>2\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\prod _{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1{)}^2}\right).$$

这意味着 $g(d)$ 满足 $\Omega (2)$. 另一方面, 通过数值计算, 可知 $\tau =0.5027$ 时:

$${\eta }_2(\tau )<0.019,$$$$\frac{2}{e^{\tau /2}-1}<6.999.$$

所以根据定理 2.4.1 和引理 2.3.3 可知:

$$\begin{array}{rl}S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)& >[1-{\eta }_2(\tau )]XV(z)-z^{3+\frac{2}{e^{\tau /2}-1}}\\ & >[1-0.019]\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}z}-z^{9.999}.\end{array}$$

此刻代入 $z=x^{1/10}$, 便知当 $x$ 充分大时:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/10})>98\frac{c_{h}x}{{\log }^{2}x}>3.$$(2.2.1)

这意味着对于每个非负偶数 $h$, 存在 $x_h>0$ 使得当 $x>x_h$ 时总可以找到 $1<n<x$ 使 $|n-h|$ 没有 $\le x^{1/10}$ 的素因子. 当 $h=2$ 时利用抽屉原理便知:

定理 2.2.0.1 (Brun). 存在无穷个整数 $n$ 使 $n$ 和 $n-2$ 的素因子个数不超过 9.

另一方面, 当 $h=x$ 为大偶数时, 有:

定理 2.2.0.2 (Brun). 每个大偶数都是两个不超过 9 个素数的乘积之和.

定理 2.2.0.1 和 2.2.0.2 被统称为命题 9+9.

注 2.2.0.3. 事实上 Brun 在原始论文 [2] 中只证明了 $S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/10})>0.4x/{\log }^{2}x$, 而本文中的加强结论 (2.2.1) 源自 Rademacher [11] 的改良.