2.3. 孪生素数的倒数和

类似于之前研究的 9+9 问题, 本节中我们依然考虑相同的集合:

则有:

并且当

通过数值计算, 可知 时有:

因此根据定理 2.4.1 和引理 2.3.3 可知:

现在代入 , 便能发现当 充分大时:

现在用 表示满足以下条件的素数个数:

则由于 当且仅当 , 可知当 充分大时:

(2.3.1)

利用这一点, 我们就可以得到结论:

定理 2.3.0.1 (Brun). 对于每个固定的偶数 , 所有满足 为素数的素数 之倒数和收敛, 换言之:

证明. 对于固定的 , 我们根据 (2.3.1) 可知: 因此根据 Cauchy 准则可知级数收敛.