2.4. Brun–Titchmarsh 不等式

设 $(a,q)=1$, 定义:

$$\mathcal{A}=\{n\le x:n\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)\}$$

并用 $\mathcal{P}$ 表示全体素数, 则 $\mathcal{A}$ 中的素数要么整除 $P(z)$ 要么就与 $z$ 互素, 所以:

$$\pi (x;q,a)\le S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)+z.$$(2.4.1)

结合命题 2.1.1, 可知:

$$X=\frac{x}{q},g(d)=\{\begin{array}{ll}0& (d,q)>1\\ 1& (d,q)=1\end{array},|r(d)|\le 1,$$

这意味着:

$$V(z)=\prod _{\begin{array}{c}p<z\\ p\nmid q\end{array}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim \frac{e^{-\gamma }}{\phi (q)\log z}.$$

另一方面, 通过数值计算可知 $\tau =0.5$ 时:

$$\frac{2}{e^{\tau }-1}<3.083,$$$${\eta }_3(\tau )<0.003,$$

于是根据定理 2.4.1 和引理 (2.3.3) 可知当 $z$ 充分大时:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<[1+{\eta }_3(\tau )]\frac{x}{q}\frac{e^{-\gamma }}{\phi (q)\log z}+z^{7.083}.$$

接着代入 $z=(x/q{)}^{1/7.09}$ 时, 即得:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/7.09})<1.003\cdot 7.09e^{-\gamma }\frac{x}{\phi (q)\log (x/q)},$$

最后再结合 (2.4.1) 以及 $e^{-\gamma }<0.57$, 即得 Brun–Titchmarsh 不等式:

定理 2.4.0.1 (Brun–Titchmarsh). 当 $x/q$ 充分大时: $$\pi (x;q,a)<\frac{4.2x}{\phi (q)\log (x/q)}.$$

注 2.4.0.2. 这个结果最早是由 Titchmarsh [15] 在 1930 年用 Brun 筛法证明的, 故称之为 Brun–Titchmarsh 不等式.