3. Selberg 上界筛法

在前一章节中, 我们通过 Brun 筛法得到了若干数论量的上下界估计, 但这些估计并不是最优的. 在本文中, 我们将引入 Selberg 方法 [13] 来优化上界筛法, 而这些方法最初被用来研究 Riemann $\zeta$ 函数的零点问题 [12].

3.1Selberg 的构造

不同于 Brun 的组合方法, Selberg 利用了平方的非负性构造了满足下列条件的实数列 ${\lambda }_d$:

$${\lambda }_1=1,d\ge \xi \Rightarrow {\lambda }_d=0.$$(3.1)

这意味着:

$${\left(\sum _{d|n}{\lambda }_d\right)}^2\ge \{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n>1\end{array}.$$

利用这一点, 我们就能发现当 ${\mathcal{A}}_d$ 满足命题 2.1.1 时有如下上界估计:

$$\begin{array}{rl}S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)& \le \sum _{a\in \mathcal{A}}{\left(\sum _{d|(a,P(z))}{\lambda }_d\right)}^2=\sum _{d_1,d_2|P(z)}{\lambda }_{d_1}{\lambda }_{d_2}\sum _{\begin{array}{c}a\in \mathcal{A}\\ d_1|a,d_2|a\end{array}}1\\ & =\sum _{d_1,d_2|P(z)}{\lambda }_{d_1}{\lambda }_{d_2}|{\mathcal{A}}_{[d_1,d_2]}|\le QX+R,\end{array}$$

其中:

$$Q=\sum _{d_1,d_2|P(z)}{\lambda }_{d_1}{\lambda }_{d_2}g([d_1,d_2]),$$(3.2)$$R=\sum _{d_1,d_2|P(z)}|{\lambda }_{d_1}{\lambda }_{d_2}r([d_1,d_2])|.$$(3.3)

通过后续的处理, $Q$ 最终就会变成上界筛的主项, 而 $R$ 将变成误差项.

3.2主项 $Q$ 的计算

结合 $[d_1,d_2]$ 和 $(d_1,d_2)$ 的定义, 读者可以自证:

$$g([d_1,d_2])g((d_1,d_2))=g(d_1)g(d_2),$$

于是 (3.2) 就可以改写成:

$$Q=\sum _{d_1,d_2|P(z)}\frac{1}{g((d_1,d_2))}{\lambda }_{d_1}g(d_1){\lambda }_{d_2}g(d_2).$$

在此基础上, 我们定义函数 $f(k)$:

$$\frac{1}{g(m)}=\sum _{k|m}f(k),$$(3.4)

则有:

$$Q=\sum _{d_1,d_2|P(z)}{\lambda }_{d_1}g(d_1){\lambda }_{d_2}g(d_2)\sum _{k|(d_1,d_2)}f(k)=\sum _{k|P(z)}f(k)y_k^2,$$

其中:

$$y_k=\sum _{\begin{array}{c}d\\ k|d|P(z)\end{array}}{\lambda }_{d}g(d).$$(3.5)

现在根据定理 7.1.2.3 可知:

$${\lambda }_d=\sum _{\begin{array}{c}k\\ d|k|P(z)\end{array}}\mu \left(\frac{k}{d}\right)y_k.$$(3.6)

结合 (3.5) 和 (3.6), 我们发现 ${\lambda }_d$ 满足 (3.1) 当且仅当:

$$\sum _{k|P(z)}\mu (k)y_k=1,k\ge \xi \Rightarrow y_k=0,$$(3.7)

因此结合 Cauchy–Schwarz 不等式, 可知当

$$G=\sum _{\begin{array}{c}k|P(z)\\ k<\xi \end{array}}\frac{1}{f(k)}$$(3.8)

时, 有:

$$1^2={\left(\sum _{k|P(z)}\mu (k)y_k\right)}^2\le QG.$$(3.9)

最后对 $y_k$ 进行仔细的选取, 就有:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)\le \frac{X}{G}+R.$$

然后我们就只需要估计 $R$ 的大小了.

3.3余项 $R$ 的估计

很明显 (3.9) 取等当且仅当

$$y_k=\{\begin{array}{ll}\mu (k)/f(k)G& k<\xi \\ 0& k\ge \xi \end{array},$$

故结合 (3.6) 可知:

$${\lambda }_{d}g(d)=\frac{1}{G}\sum _{\begin{array}{c}d|k|P(z)\\ k<\xi \end{array}}\mu \left(\frac{k}{d}\right)\frac{\mu (k)}{f(k)}=\frac{\mu (d)}{f(d)G}\sum _{\begin{array}{c}m|P(z)\\ m<\xi /d\\ (m,d)=1\end{array}}\frac{1}{f(m)}.$$(3.10)

另一方面, 根据 (3.8) 可知:

$$\begin{array}{rl}G& =\sum _{r|d}\sum _{\begin{array}{c}k|P(z)\\ k<\xi \\ (k,d)=r\end{array}}\frac{1}{f(k)}=\sum _{r|d}\frac{1}{f(r)}\sum _{\begin{array}{c}m|P(z)\\ m<\xi /r\\ (m,r)=1\\ (mr,d)=r\end{array}}\frac{1}{f(m)}\\ & =\sum _{r|d}\frac{1}{f(r)}\sum _{\begin{array}{c}m|P(z)\\ m<\xi /r\\ (m,d)=1\end{array}}\frac{1}{f(m)}\ge \frac{1}{f(d)}\underset{g(d)}{\underbrace{\sum _{r|d}f\left(\frac{d}{r}\right)}}\sum _{\begin{array}{c}m|P(z)\\ m<\xi /d\\ (m,d)=1\end{array}}\frac{1}{f(m)},\end{array}$$

所以将这个结论与 (3.10) 相结合, 就可以发现 $|{\lambda }_d|\le 1$. 于是 (3.3) 就可以化成:

$$\begin{array}{rl}R& \le \sum _{\begin{array}{c}{d}_1,d_2|P(z)\\ d_1,d_2<\xi \end{array}}|r([d_1,d_2])|=\sum _{d|P(z)}|r(d)|\sum _{\begin{array}{c}{d}_1,d_2|P(z)\\ [d_1,d_2]=d\\ d_1,d_2<\xi \end{array}}1\\ & \le \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<{\xi }^2\end{array}}|r(d)|\sum _{\begin{array}{c}{d}_1,d_2|P(z)\\ [d_1,d_2]=d\end{array}}1=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<{\xi }^2\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|.\end{array}$$

终于, 我们就可以整合这两节的成果物了.

3.4结论

对 (3.4) 应用 Möbius 反演公式, 可知 $m$ 无平方因子时:

$$f(m)=\sum _{d|m}\frac{\mu (d)}{g(m/d)}=\frac{1}{g(m)}\prod _{p|m}(1-g(p))=\prod _{p|m}\frac{1-g(p)}{g(p)},$$

所以我们的结论就可以写成:

定理 3.4.1 (Selberg). 若 $|{\mathcal{A}}_d|$ 满足命题 2.1.1, 则对于所有的 $\xi >0$ 均有$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)\le \frac{X}{G(\xi ,z)}+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<{\xi }^2\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|,$$其中: $$G(x,z)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}h(d)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}\prod _{p|d}\frac{g(p)}{1-g(p)}.$$

3.5$G(x,z)$ 的平凡下界

$G(x,z)$ 的原始表达式比较难直接进行渐近展开, 因此在本节中我们给一种估计 $G(x,z)$ 下界的简单办法. 利用等比数列的求和公式, 可知:

$$G(x,z)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}{\mu }^2(d)h(d)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}\prod _{p|d}\sum _{a\ge 1}[g(p){]}^a,$$

所以当定义完全积性函数 $g_1(n)$ 满足 $g_1(p)=g(p)$, 则有:

$$\begin{array}{rl}G(x,z)& =\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<x\end{array}}\prod _{p|d}\sum _{a\ge 1}{g}_1(p^a)=\sum _d\sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ p|d⟺p|n\end{array}}{g}_1(n)\\ & \ge \sum _{n<x}{g}_1(n)\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ p|d⟺p|n\end{array}}1.\end{array}$$

由于 $n<z$ 时 $n$ 的素因子必然 $<z$, 所以:

引理 3.5.1. 设 $g_1(n)$ 为完全积性函数满足当 $p$ 为素数时 $g_1(p)=g(p)$, 则有: $$G(x,z)\ge \sum _{n<\min (x,z)}{g}_1(n).$$