3.1. Brun–Titchmarsh 不等式的改良

设 $(a,q)=1$ 并定义

$$\mathcal{A}=\{n\le x:n\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)\},$$

则有:

$$X=\frac{x}{q},g(d)=\{\begin{array}{ll}0& (d,q)>1\\ 1/d& (d,q)=1\end{array},|r(d)|\le 1.$$

因此根据定理 3.4.1 可知 $\xi =z$ 时:

$$\pi (x;q,a)\le S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)+z\le \frac{x}{qG}+R+z,$$(3.1.1)

其中:

$$G=\sum _{\begin{array}{c}n<z\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{1}{n}>\frac{\phi (q)}{q}\log z.$$

证明.

证明. 对于所有正整数 $q$, 我们知道: $$\begin{array}{rl}\frac{q}{\phi (q)}G& =\prod _{p|q}\frac{1}{1-p^{-1}}\sum _{\begin{array}{c}n<z\\ (n,q)=1\end{array}}\frac{1}{n}=\sum _{\begin{array}{c}n<z\\ (n,q)=1\end{array}}\sum _{\begin{array}{c}m\ge 1\\ p|m\Rightarrow p|q\end{array}}\frac{1}{mn}\\ & \ge \sum _{t<z}\frac{1}{t}\sum _{\begin{array}{c}t=mn\\ p|m\Rightarrow p|q\\ p|n\Rightarrow p\nmid q\end{array}}1=\sum _{t<z}\frac{1}{t}\end{array}$$最后代入$$\sum _{n<z}\frac{1}{n}>\log z$$即得结论.

$\square$

对于余项, 利用 Cauchy–Schwarz 不等式可知:

$$\begin{array}{rl}R& \le \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<z^2\end{array}}\frac{3^{\omega (d)}}{\sqrt{d}}\cdot \sqrt{d}\le {\left(\sum _{d|P(z)}\frac{9^{\omega (d)}}{d}\right)}^{1/2}{\left(\sum _{d<z^2}d\right)}^{1/2}\\ & <z^2\prod _{p<z}{\left(1+\frac{9}{p}\right)}^{1/2}\le z^2\exp \left(\sum _{p<z}\frac{5}{p}\right)\ll z^2{\log }^{5}z.\end{array}$$

将这些结果代入回 (3.1.1) 中, 可知:

$$\pi (x;q,a)<\frac{x}{\phi (q)\log z}+O(z^2{\log }^{5}z).$$

为了继续化简, 我们设:

$$z={\left(\frac{x}{q}\right)}^{1/2}{\log }^{-4}\left(\frac{x}{q}\right),$$

则有:

$$\log z=\frac{1}{2}\log \frac{x}{q}-4\log \log \frac{x}{q}.$$

整合起来, 就得到了优于定理 2.4.0.1 的 Brun–Titchmarsh 不等式:

定理 3.1.0.1 (Brun–Titchmarsh). 对于所有的 $x\ge q\ge 1$ 均有: $$\pi (x;q,a)\le \frac{2x}{\phi (q)\log (x/q)}\left\{1+O\left(\frac{\log \log (x/q)}{\log (x/q)}\right)\right\}.$$

将被筛的集合更换成 $\mathcal{A}=\{x<n\le x+y:n\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)\}$, 我们还能得到区间上的 Brun–Titchmarsh 不等式:

定理 3.1.0.2 (Brun–Titchmarsh). 对于所有的 $y\ge q\ge 1$ 均有: $$\pi (x+y;q,a)-\pi (x;q,a)\le \frac{2y}{\phi (q)\log (y/q)}\left\{1+O\left(\frac{\log \log (y/q)}{\log (y/q)}\right)\right\}.$$