2.1. 等差数列上的殆素数

当 $\mathcal{P}$ 表全体素数, $(a,q)=1$ 时, 设置:

$$\mathcal{A}=\{n:n\le x,n\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)\}$$

则筛函数 $S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)$ 计算的恰好就是 $\mathcal{A}$ 中不能被 $<z$ 素数整除的整数个数. 结合命题 2.1.1 我们不难发现:

$$X=\frac{x}{q},g(d)=\{\begin{array}{ll}0& (d,q)>1\\ 1/d& (d,q)=1\end{array},|r(d)|\le 1.$$

因此有:

$$V(z)=\prod _{\begin{array}{c}p<z\\ p\nmid q\end{array}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim \frac{q}{\phi (q)}\frac{e^{-\gamma }}{\log z}.$$

此刻根据定理 2.4.1 以及引理 2.3.3, 可知 $z$ 充分大时:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)>e^{-\gamma }[1-{\eta }_0(\tau )]\frac{x}{\phi (q)\log z}-z^{1+\frac{2}{e^{\tau }-1}+\epsilon }.$$(2.1.1)

其中当 $\tau =0.52$ 时通过数值计算, 得:

$$1-{\eta }_0(\tau )>1-0.79=0.21,$$

$$1+\frac{2}{e^{\tau }-1}<1+2.94=3.94<4.$$

因此结合 (2.1.1), 我们得知 $x$ 充分大时总有:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},x^{1/4})>0.84e^{-\gamma }\frac{x}{\phi (q)\log x}.$$

利用这个结论我们就可以发现大小 $\mathcal{A}$ 中不能被 $\le x^{1/4}$ 素数整除的整数个数满足:

$$>0.84e^{-\gamma }\frac{x}{\phi (q)\log x}-x^{3/4}\gg \frac{x}{\phi (q)\log x},$$

因此再结合抽屉原理我们就能得到改良的定理 1.1.0.1:

定理 2.1.0.1. 每个首项与公差互素的等差数列上都总有无穷个不超过 3 个素数的乘积.

虽然这个结论远弱于 Dirichlet 定理, 但它的推导过程是极其初等的.