7.2. 分部求和法

在解析数论中我们常常会处理此类和式:

$$\sum _{n\le x}{c}_{n}f(n),$$(7.2.1)

其中 $c_n$ 是复数列, 而 $f(x)$ 一般是一个解析性质良好的函数. 为了高效地分析这类和式的渐近性质, 我们常常会定义 $c_n$ 的部分和:

$$C(x)=\sum _{n\le x}{c}_n,$$

从而能够优雅地处理 (7.2.1).

当 $N=\lfloor x\rfloor$ 时:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n\le x}{c}_{n}f(n)& =\sum _{n\le N}[C(n)-C(n-1)]f(n)\\ & =C(N)f(N)-\sum _{n\le N-1}C(n)[f(n+1)-f(n)].\end{array}$$

如果 $f(x)$ 在区间 $[1,x]$ 上具有连续导数, 则可以将后面的式子更换成积分:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n\le N-1}C(n)[f(n+1)-f(n)]& =\sum _{n\le N-1}C(n){\int }_n^{n+1}{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & =\sum _{n\le N-1}{\int }_n^{n+1}C(t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_1^{N}C(t)f(t)\mathrm{d}t\\ & =C(x)f(x)-C(N)f(N)+{\int }_1^{x}C(t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$

将此结论向上回代, 即得:

定理 7.2.0.1 (分部求和法). 当 $\{c_n{\}}_{n\ge 1}$ 为复数列、$f(x)\in C^1[1,x]$ 时总有: $$\sum _{n\le x}{c}_{n}f(n)=C(x)f(x)-{\int }_1^{x}C(t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t,$$其中: $$C(x)=\sum _{n\le x}{c}_n.$$

当然很多时候我们也会用差分形式的分部求和法来研究小区间和式的渐近性质:

推论 7.2.0.2. 当 $\{c_n{\}}_{n\ge 1}$ 为复数列、$f(x)\in C^1[a,b]$ 时总有: $$\sum _{a<n\le b}{c}_{n}f(n)=C(b)f(b)-C(a)f(a)-{\int }_a^{b}C(t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t,$$其中: $$C(x)=\sum _{a<n\le x}{c}_n.$$

注 7.2.0.3. 事实上 Riemann–Stieltjes 积分可以直接用来处理 (7.2.1).