7.3. 阶乘的初等性质

在筛法中我们经常要对出现在分母上的阶乘进行放缩. 虽然我们有 Stirling 公式来描绘其渐近性质:

$$N!=\sqrt{2\pi N}{\left(\frac{N}{e}\right)}^N\left\{1+O\left(\frac{1}{N}\right)\right\},$$

但是为了做精密的数值估计, 我们需要得到适用于阶乘的严格不等式. 因此在本节中我们将对其进行推导.

对阶乘取对数, 则通过积分放缩法可知其具有下界:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n\le N}\log n& \ge \sum _{n\le N}{\int }_{n-1}^n\log t\mathrm{d}t={\int }_0^N\log t\mathrm{d}t\\ & =N\log N-N=\log \frac{N^N}{e^N}.\end{array}$$

于是:

定理 7.3.0.1. 对于所有的 $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$, 恒成立: $$\frac{1}{N!}\le {\left(\frac{e}{N}\right)}^N.$$

另一方面, 再根据

$$\log n\ge {\int }_{n-1}^n\log t\mathrm{d}t,$$

我们还可以得到:

推论 7.3.0.2. 对于所有的 $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$, 函数 $N^N{e}^{-N}/N!$ 单调递减.