7.4. “核武器” 引理

在本系列的诸多场景里我们都会要估计下面这种形式的和:

$$\sum _{w\le p<z}g(p)F(p),$$

其中 $g(d)$ 是用于描述 “密度” 的积性函数而 $F(x)$ 是一个解析性质良好的函数. 一方面根据 Mertens 第二定理, 我们知道:

$$\sum _{w\le p<z}\frac{1}{p}=\log \frac{\log z}{\log w}+O\left(\frac{1}{\log w}\right).$$

因此我们可以结合之前对筛法维度的描述来假设 $g(p)$ 满足:

$$T(w,z)=\sum _{w\le p<z}g(p)=\kappa \log \frac{\log z}{\log w}+O\left(\frac{L}{\log w}\right).$$

利用这一点, 我们就可以发现当 $F(x)$ 有界变差且在 $[w,z]$ 上满足 $|F(x)|\le M$ 时:

$$\begin{array}{rl}\sum _{w\le p<z}g(p)F(p)& ={\int }_w^{z}F(t)\mathrm{d}T(w,t)\\ & =\kappa {\int }_w^z\frac{F(t)}{t\log t}\mathrm{d}t+{\int }_w^{z}F(t)\mathrm{d}O\left(\frac{L}{\log w}\right)\\ & =\kappa {\int }_w^z\frac{F(t)}{t\log t}\mathrm{d}t+O\left(\frac{LM}{\log w}\right)\\ & +O\left\{\frac{L}{\log w}{\int }_w^z|\mathrm{d}F(t)|\right\}.\end{array}$$

倘若我们在此基础上假设 $F(x)$ 单调, 就可以得到结论:

引理 7.4.0.1 (核武器). 当 $F(x)$ 是 $[w,z]$ 上单调的有界变差函数, 且存在固定的 $\kappa$ 使数论函数 $g(n)$ 满足: $$\sum _{w\le p<z}g(p)=\kappa \log \frac{\log z}{\log w}+O\left(\frac{L}{\log w}\right),$$则有: $$\sum _{w\le p<z}g(p)F(p)=\kappa {\int }_w^z\frac{F(t)}{t\log t}\mathrm{d}t+O\left\{\frac{L}{\log w}(|F(z)|+|F(w)|)\right\}.$$