3.8. 筛法误差项的讨论

在本章前几节中, 我们的关注点都在 Selberg 上界筛的主项, 但其实 Selberg 上界筛的误差项也对筛法后续的发展带来了影响. 在本节中我们就以 Selberg 筛为起点讨论筛法误差项的特点并将 Brun 筛的误差项进行简化.

3.8.1Eratosthenes 与 Brun 筛的误差项

结合本讲义第二章的分析, 我们知道 Eratosthenes 的误差项为:

$$\sum _{d|P(z)}|r(d)|.$$

由于 $z$ 较大时我们没有办法直接将这个误差项限制在 $z^{O(1)}$ 级别, 所以 Eratosthenes 筛法没法从 $\mathcal{A}$ 中筛出殆素数. 因此, Brun 通过特定的规则对筛法的被求和项进行了删减从而得到了上下界筛, 其误差项满足:

$$R_v=\sum _{d|P(z)}{\chi }_v(d)|r(d)|,$$

其中特征函数 ${\chi }_v(d)$ 通过限制 $d$ 的部分素因子大小从而在大多数问题中将 $R$ 本身压缩在了 $z^{O(1)}$ 级别. 正是由于此 Brun 筛法总能从 $\mathcal{A}$ 中筛出殆素数.

3.8.2Selberg 筛的误差项与筛法的支撑级

Brun 筛的 ${\chi }_v(d)$ 控制了 $d$ 的素因子大小, 而 Selberg 筛直接控制了 $d$ 的大小. 由于我们要求了 ${\lambda }_d$ 在 $d\ge \xi$ 时取零, 所以在最终的定理 3.4.1 中我们得到了这样的误差项:

$$R=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<{\xi }^2\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|,$$

所以此时我们称 Selberg 筛的支撑级 (supporting level) 为 $D={\xi }^2$. 同样的, 我们可以把支撑级的概念引入到 Brun 筛中从而提高其通用性.

3.8.3支撑级为 $D$ 的 Brun 筛法

将 $R_v$ 的求和区间拆开, 便知 $D\ge 2$ 时总有:

$$R_v\le \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}|r(d)|+\underset{R_v^{\prime }(D)}{\underbrace{\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d\ge D\end{array}}{\chi }_v(d)|r(d)|}}$$

结合命题 2.1.1, 我们知道无论 $|r(d)|$ 再怎么不规律, 总有 $|r(d)|=O\{g(d)X\}$, 所以:

$$R_v^{\prime }(D)\ll \sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d\ge D\end{array}}{\chi }_v(d)g(d)X\le \frac{X}{D}\sum _{d|P(z)}{\chi }_v(d)dg(d).$$

结合条件 $\Omega (\kappa )$ 我们知道存在 $M>0$ 使得当 $2\le w\le z$ 时总有:

$$T(w,z)=\sum _{w\le p<z}g(p)\le \kappa \log \frac{\log z}{\log w}+\frac{M}{\log w},$$

所以结合分部求和法, 有:

$$\begin{array}{rl}\sum _{p<z}pg(p)& -\kappa {\int }_2^z\frac{\mathrm{d}t}{\log t}-M{\int }_2^z\frac{\mathrm{d}t}{{\log }^{2}t}\\ & ={\int }_z^{2}t\mathrm{d}\left\{T(t,z)-\log \frac{\log z}{\log t}-\frac{M}{\log t}\right\}\\ & ={t\left\{T(t,z)-\log \frac{\log z}{\log t}-\frac{M}{\log t}\right\}|}_z^2\\ & -{\int }_z^2\left\{T(t,z)-\log \frac{\log z}{\log t}-\frac{M}{\log t}\right\}\mathrm{d}t\le \frac{Mz}{\log z},\end{array}$$

所以存在常数 $B>0$ 使 $z$ 充分大时总有:

$$\sum _{p<z}pg(p)<\frac{Bz}{\log z}.$$

将这一点与引理 2.3.3 结合, 便有:

$$R_v^{\prime }(D)\ll \frac{X}{D}{z}^{1+v+\frac{2}{e^{\tau /\kappa }-1}+\epsilon }$$

由 $\Omega (\kappa )$ 可知:

$$V(z)\gg (\log z{)}^{-\kappa }$$

所以当 $D=z^s$ 时, 只要:

$$s>1+v+\frac{2}{e^{\tau /\kappa }-1}$$

就可以让 $R_v(d)$ 被 Brun 筛法的主项吸收. 综上所述, 我们就得到了一个比定理 2.4.1 更加轻便的 Brun 筛法了:

定理 3.8.3.1 (Brun). 在条件 $\Omega (\kappa )$ 下, 若: $$\tau >0,{\tau }^2{e}^{2+\tau }<4,{\eta }_v(\tau )=\sum _{m\ge 1}\frac{e^{m\tau }(m\tau {)}^{2m+v}}{(2m+v)!}$$$$\frac{\log D}{\log z}>1+v+\frac{2}{e^{\tau /\kappa }-1},R=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}|r(d)|,$$则 $v$ 为正奇数时有: $$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<XV(z)[1+{\eta }_v(\tau )]+R,$$$v$ 为非负偶数有: $$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)>XV(z)[1-{\eta }_v(\tau )]-R.$$