3.7. 王元方法

上一节中我们给出了基于 Ankeny 和 Onishi 的精确 Selberg 上界筛. 前者的结果是上世纪六七十年代发表的, 但笔者通过文献检索, 发现事实上王元 [16] 早在上世纪五十年代研究 Goldbach 问题时也对 $c>1$ 时的 $G(x,z)$ 进行过估计. 在本文中, 我们将用现代的角度推广王元的方法并说明其与 Ankeny 和 Onishi 的结果是平行的.

3.7.1互素条件与交错和

很明显当 $x\ge z$ 时所有 $G(x,z)$ 中取到的 $d$ 均整除 $d|P(x)$, 但倘若设 $P(z,x)=P(x)/P(z)$, 则有

$$(d|P(z),d<x)⟺(d<x,{\mu }^2(d)=(d,P(z,x))=1).$$

将这一点与 Möbius 反演相结合, 便有:

$$G(x,z)=\sum _{\begin{array}{c}d<x\\ (d,P(z,x))=1\end{array}}{\mu }^2(d)h(d)=\sum _{d|P(z,x)}\mu (d)h(d)G_d\left(\frac{x}{d}\right).$$

对于最右侧的和式, 我们可以把根据素因子的个数重新排列 $d|P_{z,x}$ 则有:

$$G(x,z)=\sum _{r\ge 0}(-1{)}^r\sum _{\begin{array}{c}d|P(z,x)\\ \omega (d)=r\\ d<x\end{array}}h(d)G_d\left(\frac{x}{d}\right).$$(3.7.1)

在具体的筛法问题中我们一般会让 $\log x/\log z=c$ 为常数, 所以 (3.7.1) 的实际求和范围不超过 $0\le r<c$.

3.7.2$G_d(x/d)$ 的初步估计

事实上由于 $d$ 的素因子都 $>z$, 所以实际上我们可以用 $G(x/d)$ 来估计 $G_d(x/d)$:

$$\begin{array}{rl}G\left(\frac{x}{d}\right)-G_d\left(\frac{x}{d}\right)& =\sum _{\begin{array}{c}t<x/d\\ (t,d)>1\end{array}}{\mu }^2(t)h(t)=\sum _{\begin{array}{c}k|d\\ k>1\end{array}}\sum _{\begin{array}{c}t<x/d\\ (t,d)=r\end{array}}{\mu }^2(d)h(d)\\ & =\sum _{k|d}h(k)\sum _{\begin{array}{c}m<x/dk\\ (m,d)=1\end{array}}{\mu }^2(m)h(m).\end{array}$$

现在我们引入条件 ${\Omega }_2(\kappa )$, 则利用 (3.5.4) 可知:

$$\begin{array}{rl}G\left(\frac{x}{d}\right)-G_d\left(\frac{x}{d}\right)& \ll {\log }^{\kappa }z\sum _{\begin{array}{c}k|d\\ k>1\end{array}}h(k)={\log }^{\kappa }z\sum _{p|d}\sum _{\begin{array}{c}k\\ p|k|d\end{array}}h(k)\\ & ={\log }^{\kappa }z\sum _{p|d}h(p)\sum _{\begin{array}{c}t|d\\ p\nmid t\end{array}}h(t)\\ & \ll {\log }^{\kappa }z\sum _{p|d}g(p)\sum _{t|P(z,x)}h(t)\\ & ={\log }^{\kappa }z\sum _{p|d}g(p)\prod _{z\le p<x}(1-g(p){)}^{-1}.\end{array}$$

根据 ${\Omega }_2(\kappa )$ 可知 $g(p)\log p$ 有界, 所以:

$$\sum _{p|d}g(p)\ll \sum _{p|d}\frac{1}{\log p}\ll \frac{1}{\log z},$$

另一方面由于 ${\Omega }_2(\kappa )$ 蕴含 $\Omega (\kappa )$, 所以最右侧的乘积是有界的. 合并这些结论便有:

$$G\left(\frac{x}{d}\right)-G_d\left(\frac{x}{d}\right)\ll {\log }^{\kappa -1}z.$$

因此再套用 (3.5.4), 就有:

$$G_d\left(\frac{x}{d}\right)=C{\log }^{\kappa }\frac{x}{d}+O({\log }^{\kappa -1}z),$$

其中:

$$C=\frac{1}{\Gamma (\kappa +1)}\prod _p(1-g(p){)}^{-1}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{\kappa }.$$(3.7.2)

现在将此结果代入回 (3.7.1) 中, 便有:

$$G(x,z)=C\sum _{0\le r<c}(-1{)}^r\underset{K_r(z,x)}{\underbrace{\sum _{\begin{array}{c}d|P(z,x)\\ \omega (d)=r\\ d<x\end{array}}h(d){\log }^{\kappa }\frac{x}{d}}}.$$(3.7.3)

3.7.3$K_r(z,x)$ 的估计

将 $K_r(z,x)$ 中的求和展开, 便可通过不断套用 “核武器” 引理得到:

$$\begin{array}{rl}{K}_r(z,x)& =\sum _{\begin{array}{c}z\le p_1<p_2<\cdots <p_r<x\\ p_1{p}_2\cdots p_r<x\end{array}}h(p_1{p}_2\cdots p_r){\log }^{\kappa }\frac{x}{p_1{p}_2\cdots p_r}\\ & ={\kappa }^r\underset{\begin{array}{c}z\le t_1<t_2<\cdots <t_r<x\\ t_1{t}_2\cdots t_r<x\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{t}_1}{t_1\log t_1}\cdots \frac{\mathrm{d}{t}_r}{t_r\log t_r}{\log }^{\kappa }\frac{x}{t_1{t}_2\cdots t_r}+O({\log }^{\kappa -1}z).\end{array}$$

对于 $1\le i\le r$, 设 $u_i=\log t_i/\log z$, 则得:

$$K_r(z,x)=f_r(c){\log }^{\kappa }z+O({\log }^{\kappa -1}z),$$

其中:

$$\begin{array}{rl}{f}_r(c)& ={\kappa }^r\underset{\begin{array}{c}1\le u_1<u_2<\cdots <u_r<c\\ u_1+u_2+\cdots +u_r<c\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_r}{u_1{u}_2\cdots u_r}(c-u_1-u_2-\cdots -u_r{)}^{\kappa }\\ & ={\kappa }^r\underset{\begin{array}{c}1\le u_1<u_2<\cdots <u_r<c\\ u_1+u_2+\cdots +u_r<c\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_r}{u_1{u}_2\cdots u_r}{\int }_0^{c-u_1-\cdots -u_r}\kappa {\beta }^{\kappa -1}\mathrm{d}\beta \\ & ={\kappa }^{r+1}{\int }_0^c{\beta }^{\kappa -1}\mathrm{d}\beta \underset{\begin{array}{c}1\le u_1<u_2<\cdots <u_r<c\\ u_1+u_2+\cdots +u_r<c-\beta \end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_r}{u_1{u}_2\cdots u_r}=\frac{{\kappa }^{r+1}}{r!}{\int }_0^c{\beta }^{\kappa -1}{I}_r(c-\beta )\mathrm{d}\beta \end{array}$$

其中 $I_r(c)$ 被称为 Dickman 多重对数, 满足:

$$I_r(c)=\underset{\begin{array}{c}{u}_1,u_2,\dots ,u_r\ge 1\\ u_1+\cdots +u_r\le c\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_r}{u_1{u}_2\cdots u_r}=r!\underset{\begin{array}{c}1\le u_1<u_2<\cdots <u_r\\ u_1+u_2+\cdots +u_r\le c\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_r}{u_1\cdots u_r}$$(3.7.4)

3.7.4结论

将以上内容结合, 我们就得到了适用于所有固定 $c>0$ 的 $G(x,z)$ 展开式了:

定理 3.7.4.1 (王元). 当 ${\Omega }_2(\kappa )$ 时, 对于所有固定的 $c>0$ 总有: $$G(z^c,z)=C{\log }^{\kappa }z\sum _{0\le r<c}\frac{(-\kappa {)}^r}{r!}{\int }_0^c{I}_r(c-\beta )\mathrm{d}({\beta }^{\kappa })+O({\log }^{\kappa -1}z)$$

特别地, 当我们设置:

$$j_{\kappa }(c)=\frac{e^{-\gamma \kappa }}{\Gamma (\kappa +1)}\sum _{r\ge 0}\frac{(-\kappa {)}^r}{r!}{\int }_0^c{I}_r(c-\beta )\mathrm{d}({\beta }^{\kappa }),$$(3.7.5)

即可得到定理 3.6.5.1.

注 3.7.4.2. 王元本人实际上仅仅证明了 (3.7.5) 在 $\kappa =2,0<c\le 4$ 和 $\kappa =1,0<c\le 3$ 的特殊情况. 这些特殊情况被他用来证明哥猜命题 3+4[16]、2+3[18]、1+4[17] 以及 1+3[19]. 1975 年, 潘承洞、王元和丁夏畦 [10] 基于 (3.7.5) 在 $\kappa =1$ 的特殊情况给出了 1+2 的一种简化证明.

3.7.5与 Ankeny & Onishi 方法的等价性

利用 $I_r(c)$ 的性质, 我们可以从 (3.7.5) 还原出 $j_{\kappa }(c)$ 的微分方程. 现在根据 (3.7.4), 可知:

$$\begin{array}{rl}{I}_r^{\prime }(c)& =\underset{\begin{array}{c}{u}_1,u_2,\dots ,u_r\ge 1\\ u_1+u_2+\cdots +u_r=c\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_r}{u_1{u}_2\cdots u_r}=\frac{1}{c}\underset{\begin{array}{c}{u}_1,u_2,\dots ,u_r\ge 1\\ u_1+u_2+\cdots +u_r=c\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_{r-1}}{u_1{u}_2\cdots u_{r-1}}\frac{u_1+u_2+\cdots +u_r}{u_r}\mathrm{d}{u}_r\\ & =\frac{r}{c}{\int }_{u_r\ge 1}\mathrm{d}{u}_r\underset{\begin{array}{c}{u}_1,u_2,\dots ,u_{r-1}\ge 1\\ u_1+u_2+\cdots +u_{r-1}=c-u_r\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_{r-1}}{u_1{u}_2\cdots u_{r-1}}=\frac{r}{c}\underset{\begin{array}{c}{u}_1,u_2,\dots ,u_{r-1}\ge 1\\ u_1+u_2+\cdots +u_{r-1}\le c-1\end{array}}{\int \cdots \int }\frac{\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_{r-1}}{u_1{u}_2\cdots u_{r-1}}.\end{array}$$

最后结合 (3.7.4) 便得适用于 $I_r(c)$ 的微分方程:

$$[c{I}_r(c){]}^{\prime }=r{I}_{r-1}(c-1)+I_r(c),$$(3.7.6)

所以当我们设置

$$w_r(c)={\int }_0^c{I}_r(c-t)\mathrm{d}(t^{\kappa })={\int }_0^{\infty }{I}_r(c-t)\mathrm{d}(t^{\kappa })$$(3.7.7)

时, 则根据

$$c{w}_r(c)={\int }_0^{\infty }(c-t)I_r(c-t)\mathrm{d}(t^{\kappa })+\kappa {\int }_0^{\infty }{I}_r(c-t)t^{\kappa }\mathrm{d}t,$$

可知:

$$\begin{array}{rl}[c{w}_r(c){]}^{\prime }& ={\int }_0^{\infty }[r{I}_{r-1}(c-1-t)+I_r(c-t)]\mathrm{d}(t^{\kappa })+\kappa {\int }_0^{\infty }{I}_r^{\prime }(c-t)t^{\kappa }\mathrm{d}t\\ & =r{w}_{r-1}(c-1)+w_r(c)+\kappa {\int }_0^{\infty }{I}_r(c-t)\mathrm{d}(t^{\kappa }).\end{array}$$

再套用一次 (3.7.7), 便得 $w_r(c)$ 的微分方程:

$$c{w}_r^{\prime }(c)=r{w}_{r-1}(c-1)+\kappa w_r(c),$$

所以对两侧乘上 $(-\kappa {)}^r/r!$ 就有:

$$c\frac{(-\kappa {)}^r}{r!}{w}_r(c)=-\kappa \frac{(-\kappa {)}^{r-1}}{(r-1)!}{w}_{r-1}(c-1)+\kappa \frac{(-\kappa {)}^r}{r!}{w}_r(c)$$

现在再对两侧进行求和, 便得:

$$c{j}_{\kappa }^{\prime }(c)=-\kappa j_{\kappa }(c-1)+\kappa j_r(c).$$

至此, 我们成功地从 (3.7.5) 中还原出了 (3.6.4). 这说明王元的方法与 Ankeny & Onishi 的方法是平行的!