4.1. 上下界系数与 Buchstab 变换

根据 Brun 筛法 (定理 3.8.3.1) , 我们发现对于每个 $\kappa >0$ 均存在 $s_1,s_1>0$ 和系数函数 $0\le f(s)<1<F(s)$ 使以下不等式组成立:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<XV(z)[F(s)+o(1)]+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}|r(d)|,s=\frac{\log D}{\log z}\ge s_0$$(4.1.1)$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)>XV(z)[f(s)+o(1)]-\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}|r(d)|.s=\frac{\log D}{\log z}\ge s_1$$(4.1.2)

在 1938 年, Buchstab [3] 通过在 $\kappa =2$ 时迭代使用 Brun 筛, 得到了一种能系统将 $f(s)$ 和 $F(s)$ 的定义延拓到 $s<s_1$ 的办法. 在本文中我们将推导适用于任意 $\kappa$ 的 Brun–Buchstab 筛法.

4.1.1筛函数的迭代式与系数函数的迭代式

由 Buchstab 迭代式可知当 $0<s<s_1,z_1=D^{1/s_1}$ 时:

$$\begin{array}{rl}S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)& >XV(z_1)[f(s_1)+o(1)]\\ & -\sum _{z_1\le p<z}g(p)V(p)X\left[F\left(\frac{\log D_p}{\log p}\right)+o(1)\right]\\ & -\sum _{\begin{array}{c}d|P(z_1)\\ d<D\end{array}}|r(d)|-\sum _{z_1\le p<z}\sum _{\begin{array}{c}d|P(p)\\ d<D_p\end{array}}|r(dp)|.\end{array}$$

现在设 $D_p=D/p$, 则余项可简化为:

$$\sum _{\begin{array}{c}d|P(z_1)\\ d<D\end{array}}|r(d)|+\sum _{z_1\le p<z}\sum _{\begin{array}{c}d|P(p)\\ d<D_p\end{array}}|r(dp)|=\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}|r(d)|.$$

因为单调原理的存在, 我们毫不吝啬地假设 ${\Omega }_2(\kappa )$, 则可根据 “核武器” 引理得到:

$$\begin{array}{rl}\sum _{z_1\le p<z}g(p)\frac{V(p)}{V(z)}F\left(\frac{\log D_p}{\log p}\right)& <[1+o(1)]\sum _{z_1\le p<z}g(p){\left(\frac{\log z}{\log p}\right)}^{\kappa }F\left(\frac{\log D}{\log p}-1\right)\\ & =[1+o(1)]s^{-\kappa }\sum _{z_1\le p<z}g(p){\left(\frac{\log D}{\log p}\right)}^{\kappa }F\left(\frac{\log D}{\log p}-1\right)\\ & =[1+o(1)]\kappa s^{-\kappa }{\int }_{z_1}^{z}F\left(\frac{\log D}{\log t}-1\right){\left(\frac{\log D}{\log t}\right)}^{\kappa }\frac{\mathrm{d}t}{t\log t}\\ & =[1+o(1)]\kappa s^{-\kappa }{\int }_s^{s_1}F(u-1)u^{\kappa -1}\mathrm{d}u.\end{array}$$

再用一次 ${\Omega }_2(\kappa )$, 则有:

$$V(z)[f(s_1)+o(1)]=V(z)[(s_1/s{)}^{\kappa }f(s_1)+o(1)],$$

所以把所有的项合并起来, 便得:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)>XV(z)s^{-\kappa }\left[s_1^{\kappa }f(s_1)-{\int }_s^{s_1}F(u-1)\mathrm{d}{u}^{\kappa }+o(1)\right]-\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}|r(d)|.$$(4.1.3)

因此当 $\hat{f}(s),\hat{F}(s)$ 为适用于 $s<s_1$ 的系数函数时, 可利用 (4.1.3) 得到:

定理 4.1.1.1 (Buchstab). 若 $\hat{F}(s)$ 满足: $$s^{\kappa }\hat{F}(s)=s_0^{\kappa }F(s_0)-{\int }_s^{s_0}f(u-1)\mathrm{d}{u}^{\kappa },$$且 $s_1\le s_0-1$, 则 $\hat{F}(s)$ 可将 (4.1.1) 延拓至 $s\ge s_1+1$.

若 $\hat{f}(s)$ 满足: $$s^{\kappa }\hat{f}(s)=s_1^{\kappa }f(s_1)-{\int }_s^{s_1}F(u-1)\mathrm{d}{u}^{\kappa },$$且 $s_0\le s_1-1$, 则 $\hat{f}(s)$ 可将 (4.1.2) 延拓至 $s\ge s_0+1$.

这个定理本身看着非常的绕, 所以接下来我们将给出计算 $\hat{f}(s),\hat{F}(s)$ 的具体手段.

4.1.2系数 $\hat{f}(s),\hat{F}(s)$ 的计算方法

由筛函数本身的单调性以及 ${\Omega }_2(\kappa )$, 易知 $s^{\kappa }F(s)$ 在 $s\ge s_0$、$s^{\kappa }f(s)$ 在 $s\ge s_1$ 时单调不减. 现在设 $\beta =\max (s_0,s_1)$ 以及:

$$s^{\kappa }{F}_0(s)=\{\begin{array}{ll}{s}^{\kappa }F(s)& s\ge \beta \\ {\beta }^{\kappa }F(\beta )& s<\beta \end{array},$$(4.1.4)$$s^{\kappa }{f}_{-1}(s)=\{\begin{array}{ll}{s}^{\kappa }f(s)& s\ge \beta \\ 0& s<\beta \end{array}.$$(4.1.5)

则 $F_0(s),f_{-1}(s)$ 可以直接将 (4.1.1) 和 (4.1.2) 延拓到 $s>0$. 将这个事实与定理 4.1.1.1 结合, 便知倘若 $\hat{F}(s),\hat{f}(s)$ 能使 (4.1.1) 和 (4.1.1) 对一切 $s>0$ 成立, 则 $s<s_0$ 时有:

$${\int }_s^{\beta }\hat{F}(u-1)u^{\kappa -1}\mathrm{d}u\le (\beta -1{)}^{\kappa }\hat{F}(\beta -1){\int }_s^{\beta }\frac{u^{\kappa -1}}{(u-1{)}^{\kappa }}\mathrm{d}u,$$

因此对于 $m\ge 0$, 我们设:

$$(\beta -1{)}^{\kappa }{F}_m(\beta -1)={\beta }^{\kappa }F(\beta )-\kappa {\int }_{\beta -1}^{\beta }{f}_{m-1}(u-1)u^{\kappa -1}\mathrm{d}u,$$$$s^{\kappa }{f}_m(s)={\beta }^{\kappa }f(\beta )-\kappa (\beta -1{)}^{\kappa }{F}_m(\beta -1){\int }_s^{\beta }\frac{u^{\kappa -1}}{(u-1{)}^{\kappa }}\mathrm{d}u,$$

将上面两个式子结合, 便知:

$$(\beta -1{)}^{\kappa }{F}_m(\beta -1)=A+R[(\beta -1{)}^{\kappa }{F}_{m-1}(\beta -1)]$$(4.1.6)

其中:

$$A={\beta }^{\kappa }F(\beta )-\kappa {\beta }^{\kappa }f(\beta ){\int }_{\beta -1}^{\beta }\frac{u^{\kappa -1}}{(u-1{)}^{\kappa }}\mathrm{d}u$$$$R={\kappa }^2{\int }_{\beta -1}^{\beta }{\int }_{v-1}^{\beta }\frac{(uv{)}^{\kappa -1}}{(u-1{)}^{\kappa }(v-1{)}^{\kappa }}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

假设 $\beta$ 满足 $|R|<1$, 则可以设数列 $F_m(\beta -1)$ 收敛至 ${\hat{F}}_0(\beta -1)$, 于是结合 (4.1.6) 就有:

$$(\beta -1{)}^{\kappa }{\hat{F}}_0(\beta -1)=\frac{A}{1-R}.$$