3.3. Goldbach 问题的上界

在前一节中, 我们通过 Dirichlet 级数展开法研究了被筛集合为

时的筛函数 从而改良了之前对 的上界估计. 但在由于当时的上界仅是对于固定 成立, 所以对于 Goldbach 问题我们还是需要用初等方法得到对所有 一致成立的 展开式.

由前一节的推导可知:

所以有:

为了估计 , 设积性函数 满足 , 则交换求和次序可得:

为了继续估计 , 我们代入定理 7.5.3.1, 便有:

化简乘积可知:

所以有:

为了继续将 代入到 中进行计算, 我们需要先估计下面这种形式的和:

其中很明显 , 而 时:

由于 时总有 , 所以当 固定时总有:

由此可知对于所有的 , 均存在 使得:

将这个结果与 结合, 我们就得到了最终的展开式:

现在用 表示将偶数 分解成一个不超过 个素数的乘积与一个不超过 个素数的乘积之和的方法数时, 则根据 的定义可知:

再将其与定理 3.4.1 的展开式结合, 便有:

定理 3.3.0.1. 为大偶数时, 总有: