5.2. 命题 1+7

现在设 $h$ 为偶数, 并定义:

$$\mathcal{A}=\{p-h:p\le x\},$$

则根据 Dirichlet 素数定理可知:

$$X=\mathrm{li}x,g(d)=\{\begin{array}{ll}0& (d,h)>1\\ 1/\phi (d)& (d,h)=1\end{array}.$$

利用 Bombieri–Vinogradov 定理和引理 (2.3.3), 可以发现当 $D=x^{\frac{1}{2}}{\log }^{-B}x$ 时:

$$\begin{array}{rl}{R}_v(z)& =\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<D\end{array}}{\chi }_v(d)|r(d)|+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d\ge D\end{array}}{\chi }_v(d)|r(d)|\\ & \ll \sum _{d<D}\underset{(a,d)=1}{\max }\left|\pi (x;d,a)-\frac{\mathrm{li}x}{\phi (d)}\right|+\frac{x}{D}\sum _{d|P(z)}{\chi }_v(d)\\ & {\ll }_A\frac{x}{{\log }^{A}x}+x^{\frac{1}{2}}(\log x{)}^B{z}^{1+\frac{2}{e^{\tau }-1}+\epsilon }.\end{array}$$

因为 $\tau =0.513$ 时:

$$1-{\eta }_0(\tau )>1-0.69=0.31,$$$$1+\frac{2}{e^{\tau }-1}<3.99<\frac{1}{2}\cdot 8,$$

另一方面当 $z=x^{1/8}$ 时:

$$\begin{array}{rl}V(z)& =\prod _{\begin{array}{c}p<z\\ p\nmid h\end{array}}\left(1-\frac{1}{p-1}\right)\\ & =\prod _{\begin{array}{c}p|h\\ 2<p<z\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\prod _{2<p<z}\frac{p(p-2)}{(p-1{)}^2}\cdot \prod _{2<p<z}\left(1-\frac{1}{p}\right)\\ & \sim \frac{2e^{-\gamma }}{\log z}\prod _{\begin{array}{c}p|h\\ p>2\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\prod _{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1{)}^2}\right),\end{array}$$

所以根据定理 2.4.1, 我们知道当 $P_h(x,z)$ 表示 $\mathcal{A}$ 中不能被 $\le z$ 素数整除的整数个数时有

$$P_h(x,x^{1/8})>4.96e^{-\gamma }\frac{x}{{\log }^{2}x}\prod _{\begin{array}{c}p|h\\ p>2\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\prod _{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1{)}^2}\right).$$(5.2.1)

通过在 (5.2.1) 中选取不同的 $h$, 我们就能得到下面两个结论:

定理 5.2.0.1. 对于每个固定的正整数 $k$, 存在无穷个素数 $p$ 使 $p+2k$ 的素因子个数不超过 7.

定理 5.2.0.2 (1+7). 每个大偶数都是一个素数和一个不超过 7 个素数的乘积之和.