1.3. 抽象的筛法

在构造抽象筛法的时候, 我们可以选择直接推广 $\pi (x;p_1,\dots ,p_r)$, 直接构造整数子集 $\mathcal{A}$, 并让符号 $S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_r)$ 表示满足下列条件的整数 $n$ 的个数:

$$n\in \mathcal{A},n\not\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_i)(1\le i\le r).$$(1.3.1)

很明显 $\pi (x;p_1,\dots ,p_r)$ 恰好就是 $S(\mathcal{A};p_1\dots ,p_r)$ 在 $\mathcal{A}=\{n:n\le x\}$ 的特殊情况.

对于 $N(a,q,x;p_1,\dots ,p_r)$. 由于 $p_i$ 与 $q$ 不互素意味着此筛函数必然有界, 所以在真正用它来研究问题的时候我们会要求 $q$ 不能被任何一个 $p_i$ 整除. 因此根据中国剩余定理可知存在唯一的整数 $a^{\ast }$ 满足:

$$0\le a^{\ast }<q{p}_1{p}_2\cdots p_r,\{\begin{array}{l}{a}^{\ast }\equiv a(\mathrm{mod}q)\\ a^{\ast }\equiv a_i(\mathrm{mod}{p}_i)(1\le i\le r)\end{array},$$

于是当 ${\mathcal{A}}_q$ 表示 $\mathcal{A}$ 里所有能被 $q$ 整除的整数时, 我们发现 $\mathcal{A}=\{n-a^{\ast }:n\le x\}$ 意味着:

$$N(a,q,x;p_1,\dots ,p_r)=S({\mathcal{A}}_q;p_1,\dots ,p_r).$$

利用中国剩余定理, 我们也可以让 $S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_r)$ 兼容 $P(x;p_1,\dots ,p_r)$. 确切地说, 存在唯一一组整数 $a^{\ast },b^{\ast }$ 满足:

$$0\le a^{\ast },b^{\ast }<p_1\dots p_r,\{\begin{array}{l}{a}^{\ast }\equiv a_i(\mathrm{mod}{p}_i)\\ b^{\ast }\equiv b_i(\mathrm{mod}{p}_i)\end{array}(1\le i\le r),$$

所以构造 $\mathcal{A}=\{(n-a^{\ast })(n-b^{\ast }):n\le x\}$ 便有:

$$P(x;p_1,\dots ,p_r)=S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_r).$$

至此我们已经用抽象筛函数 $S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_r)$ 构造出了能够兼容前两节所概述的筛法, 但为了更加便捷地构造筛法. 我们还需要做进一步抽象.

在研究筛函数性质的时候, 我们时常会研究这种差分:

$$S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_{r-1})-S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_{r-1},p_r).$$(1.3.2)

很明显 (1.3.2) 计算的是 $\mathcal{A}$ 中能被 $p_r$ 整除但不能被 $p_1,\dots ,p_{r-1}$ 整除的整数个数, 所以有:

$$S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_{r-1})-S(\mathcal{A};p_1,\dots ,p_{r-1},p_r)=S({\mathcal{A}}_{p_r};p_1,\dots ,p_{r-1}).$$

由于 $p_1<p_2<\cdots$ 不一定取相邻的素数, 所以我们可以构造集合 $\mathcal{P}$ 来表示它们. 利用这个思想, 我们就可以构造 $S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)$ 来表示满足下列条件的整数 $n$ 之个数:

$$n\in \mathcal{A},n\not\equiv 0(\mathrm{mod}p),p\in \mathcal{P}\wedge p<z,$$

则差分公式便能化成:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},p_r)-S(\mathcal{A},\mathcal{P},p_{r+1})=S({\mathcal{A}}_{p_r},\mathcal{P},p_r).$$

迭代使用这个结论, 即得 Buchstab 迭代式 [3]:

定理 1.3.0.1 (Buchstab). 对于所有的 $2\le w<z$, 均有: $$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)=S(\mathcal{A},\mathcal{P},w)-\sum _{w\le p<z}S({\mathcal{A}}_p,\mathcal{P},p).$$特别地, 当 $w=2$ 时: $$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)=|\mathcal{A}|-\sum _{p<z}S({\mathcal{A}}_p,\mathcal{P},p).$$

因此在本讲义的后续章节中我们都会以 $S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)$ 作为筛法研究的起点.

注 1.3.0.2. 历史上第一个抽象的筛法是由 Selberg [13] 构造的. 而符号 $S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)$ 是由 Halberstam 和 Richert [7] 在 1974 年构造并发扬光大的.