1. 引论

在代数拓扑和同调代数之间, 存在着一些奇妙的类比.

代数拓扑同调代数
空间-链复形
映射链映射
同伦链同伦
同伦等价链同伦等价
同伦群 同调群
弱同伦等价拟同构
CW 逼近投射/内射消解
同伦范畴 导出范畴
纬悬、环路 移位
…………

( 是交换环; 表示映射同伦类的集合; 表示在第 位置为 , 其余为 的上链复形)

在这份讲义中, 我们引入同伦代数的语言, 以解释这种类比. 当然, 同伦代数的功能远不限于此, 它已经在当代数学的很多分支中展现了威力. 1

什么是无穷范畴?

同伦代数主要通过无穷范畴的语言来表述. 无穷范畴描述的是范畴的 “高阶结构”, 这在普通范畴论中是看不见的. 粗略地说, 一个无穷范畴由下列信息组成: 有一些对象, 有这些对象之间的态射, 而这些态射之间还有高阶的态射: 在普通态射之间有 -态射, 可以视为普通态射之间的同伦; 在 -态射之间还有 -态射, 可以视为 -态射之间的同伦, 如此等等.

我们将在几节之后再来严格地定义无穷范畴, 因为我们还要准备一些前置知识. 但现在, 我们可以看几个简单的例子, 以建立我们对无穷范畴的第一印象.

例 1.1. 考虑拓扑空间范畴 . 我们可以如下赋予其无穷范畴结构:

对象: 拓扑空间.

-态射 (对象之间): 拓扑空间之间的连续映射.

-态射 (-态射之间): 连续映射之间的同伦.

-态射 (-态射之间): 同伦之间的同伦.

……

例 1.2. 对交换环 , 考虑 上的上链复形的范畴 . 我们可以如下赋予其无穷范畴结构:

对象: 上的上链复形.

-态射: 上链复形之间的链映射.

-态射: 链映射之间的链同伦.

-态射: 链同伦之间的链同伦.

……

例 1.3. 对拓扑空间 , 考虑 的基本群胚 . 我们可以如下赋予其无穷范畴结构:

对象: 中的点.

-态射: 两个点之间的道路.

-态射: 道路之间的同伦 (固定端点).

-态射: 同伦之间的同伦.

……

注意, 此时态射复合的结合律 并不严格成立, 而只是 “相差一个同伦” 成立 (因为相差一个参数化). 这也是无穷范畴理论中的一个主要的困难.

同伦范畴

在很多情况下, 无穷范畴都作为 (带额外结构的) 普通范畴的同伦范畴而得到. 下面, 我们来展示一个具体的例子.

定义 1.4. 范畴 定义如下:

对象: 拓扑空间.

态射: 连续映射的同伦类.

这里关键的想法是, 是在 中 “将所有同伦等价变得可逆” 而得到的范畴. 我们下面严格地描述这一过程.

定义 1.5. 弱等价范畴 (category with weak equivalences) 是二元组 , 其中 是范畴, 是一类态射, 满足如下性质:

中所有同构都在 中.

满足三选二: 对 中任意图表如果 中有两个在 中, 那么第三个也在 中.

例如, 二元组 是弱等价范畴, 其中 中所有同伦等价构成的类.

定义 1.6. 是弱等价范畴. 关于 局部化 (localization) 是范畴 , 带有一个函子 , 满足以下泛性质:

对任意函子 , 如果 中的所有态射都映到同构, 那么存在 (相差自然同构的意义下) 唯一的函子 , 使得图表在相差自然同构的意义下交换.

大致来说, 范畴 就是在 中将所有 中的态射变得可逆而得到的范畴. 事实上, 通过这一想法, 可以给出 的一个具体构造.

构造 1.7. 是弱等价范畴. 定义范畴 如下: 其对象与 的对象相同, 其态射集 的元素为 中的态射列其中箭头可以向左或向右, 但向左的箭头必须在 中, 并且要商掉以下等价关系: 恒同态射可以直接去掉; 相邻同向箭头可以复合; 相邻异向箭头如果代表同一个态射, 就可以同时去掉.

不难验证 2 上述构造确实满足定义 1.6 中的泛性质. 唯一的问题是态射集 可能太大, 而超出了集合允许的大小. 但我们暂时无视这个问题, 实在不行就换到一个更大的宇宙也无妨.

命题 1.8. .

证明. 明显的函子 映到同构, 从而诱导了函子这一函子显然是本质满且完全 (full) 的. 为证明它是忠实的, 设 中的态射 被映到 的同一态射. 则 同伦于 . 设 为该同伦, 则在 中有其中 是向第一分量的投影, 而 表示 作为 含入 的映射.

事实上, 我们将看到, 局部化能给出高阶范畴结构. 在此例中, 普通范畴 仅仅是局部化给出的第一层信息, 而完整的信息需要通过一个无穷范畴来刻画. 在这里, 这个无穷范畴正是例 1.1 给出的无穷范畴 .

上述例子中的高阶范畴结构具有十分清晰的描述: 连续映射间的同伦, 同伦间的同伦, 等等. 我们可能希望在其它类似的情况下, 局部化得到的无穷范畴也能有这样的具体描述. 例如, 在同调代数中, 我们将拟同构变得可逆, 而得到导出范畴, 我们希望在对应的无穷范畴中, 高阶态射也能被具体地描述为同伦、同伦的同伦, 等等. 事实上, 这是可以做到的, 只需借助模型范畴 (model category) 这一工具.

模型范畴是带有一些额外结构的弱等价范畴. 模型范畴将帮助我们在无穷范畴中进行计算, 有人认为 3 这就类似于局部坐标能帮助我们在流形上进行计算.

以上漫谈总结于下图.

HAHA-局部化.svg

第一次尝试

下面, 我们试着写下高阶范畴的一种简单但 “错误” 的定义. 我们知道, 高阶范畴也就是普通范畴加上高维的箭头, 这一结构似乎并不复杂, 我们来将它描述清楚.

定义 1.9. 幺半范畴是指范畴 , 带有以下结构:

一个函子称为张量积.

一个对象 , 称为 单位对象.

三个自然同构分别称为结合子左单位子右单位子.

它们满足以下条件:

(三角形公理) 对任意 , 有交换图

(五边形公理) 对任意 , 有交换图

注 1.10. 对于 个以上的对象, 也可以谈论五边形公理的类似物, 也就是 Stasheff 结合多面体对应的图表. 在范畴代数中可以证明 4, 五边形公理保证了所有这些结合多面体图表都交换, 因此, 我们不需要更多公理.

以下给出幺半范畴 的一些例子:

, 其中 是单点集.

, 其中 是不交并.

, 其中 是终对象, 即空乘积.

, 其中 是始对象, 即空余积.

, 其中单位对象 在第 个位置, 上链复形的张量积定义为

定义 1.11. 是幺半范畴. 一个 -充实范畴 由以下信息组成:

一类对象 .

, 有一个态射对象它是 的对象, 视作 之间所有态射构成的空间.

对每个对象 , 有一个恒同态射它是 中的态射, 可以视为对象 中的一个 “元素”.

对每三个对象 , 有一个复合态射它是 中的态射.

它们满足以下条件:

任何态射复合恒同态射都等于它自身.

复合满足结合律.

这两个条件的严格叙述留给读者完成, 也可参见充实范畴一文.

例如, 普通范畴就是充实于 的范畴.

在某些情况下, 有遗忘函子 , 并且它保持幺半范畴的结构. 此时 -充实范畴就能看成是带额外结构的普通范畴, 以下几例均如此.

例 1.12. 范畴 充实于自身, 因为对 , 集合 可以赋予紧开拓扑, 使得复合映射是连续的.

例 1.13. 范畴 充实于自身. 对 , 定义上链复形 如下: 其中 不一定是链映射, 其微分定义为这样, 所有链映射就是这个链复形的所有 -上圈 (cocycle), 也对应于单位对象 到该上链复形的链映射, 也就是该上链复形的一个 “元素”.

例 1.14. 所有小范畴的范畴 充实于自身, 因为对 , 有函子范畴 , 其对象为 的函子, 态射为函子间的自然变换.

我们现在可以使用充实范畴的语言, 给出高阶范畴的第一个定义了.

定义 1.15. 严格 -范畴是充实于 的范畴.

例如, 就是一个严格 -范畴, 其中 -态射是范畴间的函子, -态射是函子间的自然变换.

任何 -充实范畴都能看作严格 -范畴, 因为我们可以将态射空间 (此时为拓扑空间) 替换为其基本群胚. 此时, -态射是态射空间中的点, -态射是态射空间中的路径 (的同伦类). 例如, 自身就是一个严格 -范畴, 其 -态射是映射间的同伦 (的同伦类).

然而要注意, 对拓扑空间 而言, 基本群胚 不是严格 -范畴, 因为正如上文所言, 其中 -态射的复合并不严格满足结合律. 这意味着我们的定义过于严格, 从而是 “错误” 的.

不过我们将错就错, 继续给出 -范畴和 -范畴的定义. 这些定义并不会在下文使用.

定义 1.16. 归纳, 定义严格 -范畴为充实于 -范畴的范畴.

定义 1.17. 严格 -范畴是一个序列其中 是严格 -范畴, 使得每个 是在 中扔掉所有 -态射得到的 -范畴.

-范畴

虽然我们尚未严格定义一般的 -范畴与 -范畴, 但我们其实已经大概知道它们是什么了. 因此, 我们可以来半严格地讨论它们的性质.

定义 1.18.. -范畴指一个 -范畴, 其中所有 -态射都可逆.

注意, 这里提到的 范畴不一定是严格 -范畴, 因此 “可逆” 实际上指的是 “相差同伦的意义下可逆”, 也就是 “具有同伦逆”. 我们来看一些例子.

普通的范畴也就是 -范畴.

普通的群胚也就是 -范畴.

以上定义的严格 -范畴都是 -范畴的特例, 而严格 -范畴是 -范畴的特例.

我们常称 -范畴为 -群胚. 这是一类十分重要的结构, 因为它是同伦型的一种自然定义. 有一种叫做同伦类型论 [HoTT] 的理论, 致力于以 -群胚取代传统的集合论, 而重新搭建数学的基础.

充实于 -范畴的范畴可以视为 -范畴.

-范畴, 因为映射的同伦都是可逆的: 同伦与其逆同伦的复合同伦于恒同同伦.

-范畴, 因为链同伦的复合定义为链复形间映射的加法, 而链同伦加上负的自己等于 , 这里 就是恒同同伦.

对拓扑空间 而言, 基本群胚 -群胚. 它描述了 的同伦型.

在上述第五点的意义下, 对 , 我们也能定义 -范畴的概念. 我们将看到, 最合理的定义如下:

-范畴是集合.

-范畴是偏序集.

-范畴是 或单点集, 也可视为一个真假值.

-范畴是单点集, 可以视为 “真”.

高阶范畴学家相信, 范畴的底层应该是 , 并且该给所有范畴重新编号, 使得 变成 , 变成 , 等等. 这样, 在数学的摩天大厦里, 逻辑学住在一层, 集合论住在二层, 而范畴论住在三层. 由此观之, 将整个大厦视为整体似乎更加自然. 这大概也是高阶范畴论有希望取代集合论, 而建立数学基础的原因之一.

脚注

1.

例如, nLab 页面 applications of (higher) category theory 列举了这套理论的若干应用.

2.

见 [Hovey, Lemma 1.2.2].

3.

见 MathOverflow 问题 Do we still need model categories? 中的回答.

4.

从同伦代数的观点看, 这可以由 [HA, Corollary 4.1.6.17] 得到.