2. 模型范畴

模型范畴 (model category) 是带额外结构的弱等价范畴, 这里的额外结构包括一类态射 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}$, 称为余纤维化 (cofibration), 及一类态射 $\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}$, 称为纤维化 (fibration). 这些信息将帮助我们在无穷范畴中进行具体计算. 我们回忆上一节中的图式:

模型范畴的实用性主要体现于以下两点.

•	映射间的同伦可以被具体描述: 在局部化之后, 我们知道弱等价变成了可逆态射 (即同伦等价), 但我们并不知道哪些态射变得同伦. 但在模型范畴中, 我们能清晰地看到映射间的同伦, 也能看到同伦之间的高阶同伦, 就像在拓扑空间范畴中一样. 这样, 局部化 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 可以描述为模型范畴 $\mathsf{C}$ 的同伦范畴.
•	导出函子易于计算. 例如, 同伦极限、同伦余极限是一类重要的导出函子, 模型范畴理论提供了计算它们的方法.

本节将介绍模型范畴的定义, 并阐明上述两点的对应理论.

定义与例子

我们回忆, 在代数拓扑中, 拓扑空间的映射 $p:X\to Y$ 称为 Hurewicz 纤维化, 如果对任何空间 $A$ 及任意实线图表存在虚线箭头使图表交换. 映射 $i:A\to B$ 称为 Hurewicz 余纤维化, 如果对任何空间 $Y$ 及任意实线图表存在虚线箭头使图表交换. 这里 $Y^I$ 是所有映射 $I\to Y$ 构成的空间, 带有紧开拓扑.

定义 2.1. 设 $\mathsf{C}$ 是范畴, $J\subset \mathrm{Mor}(\mathsf{C})$ 是一类态射.

•	称 $\mathsf{C}$ 中态射 $p:X\to Y$ 对 $J$ 具有右提升性质 (right lifting property), 如果对 $\mathsf{C}$ 中任意实线图表其中态射 $A\to B$ 在 $J$ 中, 存在虚线箭头使图表交换. 所有具有此性质的态射 $p$ 构成的类记为 $\mathrm{RLP}(J)$.
•	称 $\mathsf{C}$ 中态射 $i:A\to B$ 对 $J$ 具有左提升性质 (left lifting property), 如果对 $\mathsf{C}$ 中任意实线图表其中态射 $X\to Y$ 在 $J$ 中, 存在虚线箭头使图表交换. 所有具有此性质的态射 $i$ 构成的类记为 $\mathrm{LLP}(J)$.

例如, 由定义,$$\begin{array}{rl}\{\text{Hurewicz 纤维化}\}& =\mathrm{RLP}\{A\times \{0\}\hookrightarrow A\times I\},\\ \{\text{Hurewicz 余纤维化}\}& =\mathrm{LLP}\{Y^I\twoheadrightarrow Y^{\{0\}}\}.\end{array}$$

作为练习, 读者可以证明 $\mathrm{RLP}(\mathrm{LLP}(\mathrm{RLP}(J)))=\mathrm{RLP}(J)$, 从而若记 $\mathsf{R}=\mathrm{RLP}(J)$, 以及 $\mathsf{L}=\mathrm{LLP}(\mathrm{RLP}(J))$, 则 $\mathsf{L}=\mathrm{LLP}(\mathsf{R})$ 且 $\mathsf{R}=\mathrm{RLP}(\mathsf{L})$.

定义 2.2. 弱分解系统 (weak factorization system) 是三元组 $(\mathsf{C},\mathsf{L},\mathsf{R})$, 其中 $\mathsf{C}$ 是范畴, $\mathsf{L},\mathsf{R}\subset \mathrm{Mor}(\mathsf{C})$ 是两类态射, 使得

•	$\mathsf{L}=\mathrm{LLP}(\mathsf{R})$ 且 $\mathsf{R}=\mathrm{RLP}(\mathsf{L})$.
•	$\mathsf{C}$ 中每个态射 $f:A\to B$ 都能分解为$$A\stackrel{l}{\to }X\stackrel{r}{\to }B,$$其中 $l\in \mathsf{L}$ 且 $r\in \mathsf{R}$. 并且, 我们要求这样的分解关于 $f$ 具有函子性.

例如, 记 $\mathsf{H}\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}$、$\mathsf{H}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}$、$\mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q}$ 分别为闭 Hurewicz 余纤维化、Hurewicz 纤维化、同伦等价构成的类. 我们将看到, 三元组 $(\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p},\mathsf{H}\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}\cap \mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q},\mathsf{H}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b})$ 和 $(\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p},\mathsf{H}\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f},\mathsf{H}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{H}\mathsf{o}\mathsf{E}\mathsf{q})$ 都是弱分解系统.

命题 2.3. 设 $(\mathsf{C},\mathsf{L},\mathsf{R})$ 是弱分解系统.

•	$\mathsf{L}$ 和 $\mathsf{R}$ 均包含 $\mathsf{C}$ 中所有同构.
•	$\mathsf{L}$ 和 $\mathsf{R}$ 均关于态射复合封闭.
•	$\mathsf{L}$ 关于推出封闭, $\mathsf{R}$ 关于拉回封闭.

证明. 留给读者.

$\square$

定义 2.4. 模型范畴 (model category) 是四元组 $(\mathsf{C},\mathsf{W},\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f},\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b})$, 其中 $\mathsf{C}$ 是范畴, $\mathsf{W},\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f},\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\subset \mathrm{Mor}(\mathsf{C})$ 是三类态射, 满足以下条件:

•	$\mathsf{C}$ 完备、余完备, 也就是具有所有小极限、小余极限.
•	$(\mathsf{C},\mathsf{W})$ 是弱等价范畴.
•	$(\mathsf{C},\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}\cap \mathsf{W},\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b})$ 是弱分解系统.
•	$(\mathsf{C},\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f},\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{W})$ 是弱分解系统.

我们引入以下术语:

•	$\mathsf{W}$ 中态射称为弱等价 (weak equivalence).
•	$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}$ 中态射称为余纤维化 (cofibration).
•	$\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}$ 中态射称为纤维化 (fibration).
•	$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}\cap \mathsf{W}$ 中态射称为平凡余纤维化 (trivial cofibration).
•	$\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{W}$ 中态射称为平凡纤维化 (trivial fibration).
•	称对象 $X\in \mathsf{C}$ 是余纤维性 (cofibrant) 的, 如果 $\varnothing \to X$ 是余纤维化, 其中 $\varnothing$ 是 $\mathsf{C}$ 的始对象. (始对象存在, 因为 $\mathsf{C}$ 余完备.)
•	称对象 $X\in \mathsf{C}$ 是纤维性 (fibrant) 的, 如果 $X\to \star$ 是纤维化, 其中 $\star$ 是 $\mathsf{C}$ 的终对象. (终对象存在, 因为 $\mathsf{C}$ 完备.)

注意 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}$ 和 $\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}$ 两者中, 任一个都能确定另一个, 因为弱分解系统的两类态射能互相确定.

另外, 注意到余纤维化、平凡余纤维化都关于推出封闭, 而纤维化、平凡纤维化都关于拉回封闭.

我们来看一些例子. 我们将直接给出结果, 而略过证明, 因为每个例子的证明都十分繁琐. 细节可参见 [Hovey].

例 2.5. $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 上的 Hurewicz 模型结构由以下性质确定:

•	$\mathsf{W}$ 是同伦等价构成的类.
•	$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}$ 是闭 Hurewicz 余纤维化构成的类.
•	$\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}$ 是 Hurewicz 纤维化构成的类.

例 2.6. $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 上的 Quillen 模型结构由以下性质确定:

•	$\mathsf{W}$ 是弱同伦等价构成的类.
•	$\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}=\mathrm{RLP}\{D^n\times \{0\}\hookrightarrow D^n\times I\mid n\ge 0\}$, 也就是 Serre 纤维化构成的类.
•	$\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{W}=\mathrm{RLP}\{S^{n-1}\hookrightarrow D^n\mid n\ge 0\}$.
•	$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}=\mathrm{LLP}(\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{W})$. 特别地, 映射 $S^{n-1}\hookrightarrow D^n$ 是余纤维化.

在这个模型范畴中, 所有拓扑空间都是纤维性的; 所有 CW 复形都是余纤维性的, 因为余纤维化被推出、复合、序列余极限保持.

下文中, 我们总是使用 Quillen 模型结构, 而不用 Hurewicz 模型结构.

例 2.7. $\mathsf{C}\mathsf{h}(R)$ 上的投射模型结构由以下性质确定:

•	$\mathsf{W}$ 是拟同构构成的类.
•	$\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}$ 是 (逐个位置) 满射构成的类.

在这个模型范畴中, 所有上链复形都是纤维性的; 所有由投射模构成的上有界上链复形, 例如 $R$-模的投射消解, 都是余纤维性的.

例 2.8. $\mathsf{C}\mathsf{h}(R)$ 上的内射模型结构由以下性质确定:

•	$\mathsf{W}$ 是拟同构构成的类.
•	$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}$ 是 (逐个位置) 单射构成的类.

在这个模型范畴中, 所有上链复形都是余纤维性的; 所有由内射模构成的下有界上链复形, 例如 $R$-模的内射消解, 都是纤维性的.

在模型范畴中, 一类特殊的对象是双纤维性对象 (cofibrant-fibrant object), 也就是既余纤维性、又纤维性的对象. 它们具有类似 CW 复形或投射、内射消解的性质. 我们将看到, 这类对象具有十分良好的性质. 并且, 每个对象都弱等价于一个双纤维性对象.

构造 2.9. 设 $\mathsf{C}$ 是模型范畴, 设 $X\in \mathsf{C}$. 由模型范畴的公理, 态射 $\varnothing \to X$ 可以分解为$$\varnothing \stackrel{\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}}{\to }QX\stackrel{\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{W}}{\to }X.$$则 $QX$ 具有余纤维性, 且弱等价于 $X$. 并且, $Q$ 是一个函子, 称为余纤维性替换 (cofibrant replacement).

类似地, 态射 $X\to \star$ 可以分解为$$X\stackrel{\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}\cap \mathsf{W}}{\to }RX\stackrel{\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}}{\to }\star .$$则 $RX$ 具有纤维性, 且弱等价于 $X$. 并且, $R$ 是一个函子, 称为纤维性替换 (fibrant replacement).

一般地, 任何具有上述性质的函子 $Q:\mathsf{C}\to \mathsf{C}$ (或 $R:\mathsf{C}\to \mathsf{C}$) 都可以被称为余纤维性替换 (或纤维性替换).

命题 2.10. 沿用上述记号, 则 $RQX$ 与 $QRX$ 都具有双纤维性, 且弱等价于 $X$.

证明. 留给读者.

$\square$

同伦

下面, 我们来说明如何从模型范畴的公理出发, 恢复出映射间 “同伦” 的概念.

在拓扑中, 两个映射 $X\to Y$ 之间的同伦由一个映射$$X\times I\to Y,或X\to Y^I$$给出. 在模型范畴中, 我们通过模仿 $X\times I$ 和 $Y^I$ 的构造, 来定义同伦.

定义 2.11. 设 $\mathsf{C}$ 是模型范畴, $X\in \mathsf{C}$ 是一个对象.

•	$X$ 的柱对象 (cylinder object), 记作 $\mathrm{Cyl}(X)$, 是指余对角映射 ${\nabla }_X=(1,1):X\bigsqcup X\to X$ 的一个分解: 如果还满足 $p\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{W}$, 就称此柱对象称为好 (very good) 的.
•	$X$ 的路径对象 (path space object), 记作 $\mathrm{Path}(X)$, 是指对角映射 ${\Delta }_X=(1,1):X\to X\times X$ 的一个分解: 如果还满足 $i\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}\cap \mathsf{W}$, 就称此路径对象称为好 (very good) 的.

这也就是拓扑中 $X\times I$ 和 $X^I$ 的类比. 模型范畴的公理表明, 好柱对象、好路径对象都一定存在.

定义 2.12. 设 $f,g:X\to Y$ 是 $\mathsf{C}$ 中两个态射.

•	从 $f$ 到 $g$ 的左同伦 (left homotopy) 是一个态射 $\mathrm{Cyl}(X)\to Y$, 使得图表交换. 此时, 称 $f$ 左同伦于 $g$.
•	从 $f$ 到 $g$ 的右同伦 (right homotopy) 是一个态射 $X\to \mathrm{Path}(Y)$, 使得图表交换. 此时, 称 $f$ 右同伦于 $g$.

在拓扑中, 左同伦与右同伦是等价的. 我们将看到, 这一点对双纤维性对象成立. 不过在此之前, 我们先通过一个具体例子, 来熟悉公理化同伦论的运作方式.

例 2.13. 设 $f_0,f_1:X\to Y$ 是左同伦的态射, $g_0,g_1:Y\to Z$ 也是左同伦的态射. 则 $g_0\circ f_0$ 与 $g_1\circ f_1$ 也左同伦. 这里, 我们假设左同伦使用的柱对象都是典范的柱对象, 也就是通过模型范畴的公理分解 $X$ 和 $Y$ 的余对角映射, 而得到的柱对象.

证明. 在拓扑中, 这件显然的事是通过考虑映射$$X\times I\to X\times I\times I\to Y\times I\to Z$$来证明的, 其中第一个映射由任意一条连接 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的道路 $I\to I\times I$ 所诱导.

在模型范畴中, 我们也希望得到一列态射$$\mathrm{Cyl}(X)\to \mathrm{Cyl}(\mathrm{Cyl}(X))\to \mathrm{Cyl}(Y)\to Z,$$这样就能得到所需的同伦. 因为我们使用的是典范的柱对象, 我们可以将 $\mathrm{Cyl}$ 视为一个函子. 这就给出了一个映射 $\mathrm{Cyl}(\mathrm{Cyl}(X))\to \mathrm{Cyl}(Y)$. 因此, 剩下的问题就是构造第一个映射 $\mathrm{Cyl}(X)\to \mathrm{Cyl}(\mathrm{Cyl}(X))$, 它需要是 “一条连接 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的道路”. 构造它的方法是在图表中进行提升. 读者可以思考这为什么给出了连接 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的道路. 现在就不难直接验证, 复合的态射 $\mathrm{Cyl}(X)\to Z$ 确实给出 $g_0\circ f_0$ 和 $g_1\circ f_1$ 间的左同伦.

$\square$

命题 2.14. 设 $f,g:X\to Y$ 是两个态射. 如果 $X$ 余纤维性, 且 $Y$ 纤维性, 则 $f$ 与 $g$ 左同伦当且仅当它们右同伦. 并且, 在此情况下, 对 $X$ 的任意柱对象都存在左同伦, 对 $Y$ 的任意路径对象都存在右同伦.

证明. 设 $h:\mathrm{Cyl}(X)\to Y$ 是 $f$ 与 $g$ 间的左同伦. 证明的想法是构造一个 “从 $X\times I$ 到 $Y^I$ 的映射” $k$, 如下图所示.

我们想要将右同伦 $1_f$ 沿着端点处的左同伦 $h$ 和 $1_f$ 进行转移. 这个想法具体写下来, 就是在图表中进行提升. 读者可以利用 $X$ 余纤维性这一条件, 验证图表中提到的细节. 这样, 复合态射$$X\stackrel{i_1}{\to }\mathrm{Cyl}(X)\stackrel{k}{\to }\mathrm{Path}(Y)$$给出了我们想要的右同伦.

并且, 注意到上面的路径对象 $\mathrm{Path}(Y)$ 是可以任意选取的. 因此, 左同伦蕴涵关于任意路径对象的右同伦. 以上论述的对偶版本说明, 右同伦蕴涵关于任意柱对象的左同伦. 这就证明了命题的后半部分.

$\square$

上述命题表明, 对双纤维性对象而言, 同伦具有非常好的性质. 作为练习, 读者可以证明, 在命题的条件下, 态射的同伦是等价关系. 因此, 我们可以定义态射的同伦类, 从而定义同伦范畴.

定义 2.15. $\mathsf{C}$ 的同伦范畴 (homotopy category) $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 是如下定义的范畴:

•	对象: $\mathsf{C}$ 的双纤维性对象.
•	态射: $\mathsf{C}$ 中态射的同伦类.

不要忘记, 我们研究模型范畴的最终目的是研究局部化. 因此, 下面的结论揭示了上述定义的意义:

定理 2.16. 有范畴等价$$\mathrm{Ho}(\mathsf{C})\simeq \mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}].$$

定理的证明需要用到以下结论:

命题 2.17 (Whitehead 定理). 设 $X,Y\in \mathsf{C}$ 为双纤维性对象, $f:X\to Y$ 为态射. 则 $f$ 是弱等价当且仅当它是同伦等价 (即具有同伦逆).

证明. 1. 如果 $f\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{b}\cap \mathsf{W}$, 则 $f$ 有右逆, 因为可以在图表中进行提升. 我们想证明 $g$ 是 $f$ 的同伦逆, 也就是证明 $g\circ f$ 同伦于 $1_X$. 只需在图表中提升即可.

2. 如果 $f\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{f}\cap \mathsf{W}$, 则上述论证的对偶版本就能证明命题.

3. 对一般的 $f\in \mathsf{W}$, 可以将它分解为余纤维化复合上平凡纤维化. 而由三选二性质, 其中的余纤维化自动是平凡余纤维化.

$\square$

定理 2.16 的证明. 记 ${\mathsf{C}}_{\mathrm{c}\mathrm{f}}$ 为 $\mathsf{C}$ 中双纤维性对象构成的满子范畴. 由命题 2.17, 函子$$\mathsf{C}\stackrel{RQ}{\to }{\mathsf{C}}_{\mathrm{c}\mathrm{f}}\to \mathrm{Ho}(\mathsf{C})$$将 $\mathsf{W}$ 映到同构, 从而诱导了 $\mathsf{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 到 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 的函子, 它显然完全 (full) 且本质满. 读者可以模仿命题 1.8 的证明, 验证它是忠实的.

$\square$

注 2.18. 我们曾提到, $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 只是局部化提供的第一层信息, 而完整的信息需要由一个 $(\infty ,1)$-范畴来描述. 事实上, 模型范畴中也能看到这些高阶的信息, 但需要通过一种称为架 (framing) 的构造. 这种构造用来模拟拓扑中的 $X\times {\Delta }^n$ 和 $X^{{\Delta }^n}$, 从而在模型范畴中描述高阶的同伦. 细节可参见 [Hovey, Chapter 5].

导出函子

在同调代数中, 导出函子是一种将 Abel 范畴间的函子 $F:\mathsf{A}\to \mathsf{B}$ 变成导出范畴间的函子 $\mathsf{D}(\mathsf{A})\to \mathsf{D}(\mathsf{B})$ 的方法. 这实际上是下面构造的特例.

设 $\mathsf{C}$ 是模型范畴, 分别记 $\mathsf{C}$ 中由余纤维性对象、纤维性对象、双纤维性对象构成的满子范畴为 ${\mathsf{C}}_{\mathrm{c}}$、${\mathsf{C}}_{\mathrm{f}}$、${\mathsf{C}}_{\mathrm{c}\mathrm{f}}$.

定义 2.19. 设有函子 $F:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$, 其中 $\mathsf{C}$ 是模型范畴, $\mathsf{D}$ 是弱等价范畴.

•	若 $F$ 保持弱等价, 则 $F$ 诱导了函子$$\mathrm{Ho}(F):\mathrm{Ho}(\mathsf{C})\to \mathrm{Ho}(\mathsf{D}),$$称为 $F$ 的全导出函子 (total derived functor).
•	若 $F{|}_{{\mathsf{C}}_{\mathrm{c}}}$ 保持弱等价, 则有 (相差自然同构意义下的) 交换图其中 $Q$ 是 $\mathsf{C}$ 的任一余纤维性替换函子. 函子 $\mathbb{L}F$ 称为 $F$ 的左导出函子 (left derived functor). 从而, 对任何 $X\in \mathsf{C}$, 在 $\mathrm{Ho}(\mathsf{D})$ 中有$$\mathbb{L}F(X)\simeq F(QX).$$
•	若 $F{|}_{{\mathsf{C}}_{\mathrm{f}}}$ 保持弱等价, 则有 (相差自然同构意义下的) 交换图其中 $R$ 是 $\mathsf{C}$ 的任一纤维性替换函子. 函子 $\mathbb{R}F$ 称为 $F$ 的右导出函子 (right derived functor). 从而, 对任何 $X\in \mathsf{C}$, 在 $\mathrm{Ho}(\mathsf{D})$ 中有$$\mathbb{R}F(X)\simeq F(RX).$$

例 2.20. 考虑上链复形范畴 $\mathsf{C}\mathsf{h}(R)$ 上的投射模型结构 (例 2.7). 此时, 余纤维性替换就是取投射消解. 因此, 左导出函子与同调代数中的定义相同.

类似地, 考虑上链复形范畴 $\mathsf{C}\mathsf{h}(R)$ 上的内射模型结构 (例 2.8). 此时, 纤维性替换就是取内射消解, 这与同调代数中定义右导出函子的方法相同.

导出伴随函子

在这一节, 我们描述一种情况, 即一对伴随函子在满足某个条件时, 两个函子都有导出函子, 并且其导出函子仍为一对伴随.

定义 2.21. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 为模型范畴. 一对伴随函子$$(F⊣G):\mathsf{C}\rightleftarrows \mathsf{D}$$称为 Quillen 伴随 (Quillen adjunction), 如果 $F$ 保持余纤维化和平凡余纤维化.

注意, 由于提升性质, $F$ 保持余纤维化当且仅当 $G$ 保持平凡纤维化, $F$ 保持平凡余纤维化当且仅当 $G$ 保持纤维化.

引理 2.22 (Ken Brown). 设 $F:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$ 是模型范畴间的函子. 如果 $F{|}_{{\mathsf{C}}_{\mathrm{c}}}$ 保持平凡余纤维化, 那么 $F{|}_{{\mathsf{C}}_{\mathrm{c}}}$ 保持弱等价.

证明. 见 [Hovey, Lemma 1.1.12].

$\square$

推论 2.23. 设 $(F⊣G)$ 是模型范畴 $\mathsf{C}$、$\mathsf{D}$ 间的 Quillen 伴随. 则导出函子 $\mathbb{L}F$、$\mathbb{R}G$ 都存在, 并且构成一对伴随$$(\mathbb{L}F⊣\mathbb{R}G):\mathrm{Ho}(\mathsf{C})\rightleftarrows \mathrm{Ho}(\mathsf{D}).$$

证明. 由 Ken Brown 引理, 导出函子 $\mathbb{L}F$、$\mathbb{R}G$ 都存在. 为证明它们构成伴随, 我们需要证明同构$$\mathsf{C}(FX,Y)\simeq \mathsf{D}(X,GY)$$保持同伦类, 其中 $X\in {\mathsf{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{f}}$ 且 $Y\in {\mathsf{C}}_{\mathrm{c}\mathrm{f}}$. 我们忽略细节, 参见 [Hovey, Lemma 1.3.10].

$\square$

定义 2.24. 一对 Quillen 伴随 $(F⊣G)$ 称为 Quillen 等价 (Quillen equivalence), 如果 $\mathbb{L}F$ 和 $\mathbb{R}G$ 是范畴等价.

Quillen 等价不一定是范畴等价, 但我们将看到, 经过局部化, Quillen 等价诱导相应的 $(\infty ,1)$-范畴间的范畴等价. 这是证明无穷范畴之间范畴等价的一种好用的方法.

命题 2.25. 设 $(F⊣G)$ 是模型范畴 $\mathsf{C}$、$\mathsf{D}$ 间的 Quillen 等价, 设 $X\in \mathsf{C}$ 是余纤维性对象, $Y\in \mathsf{D}$ 是纤维性对象. 则余单位映射和单位映射$$X\to GRFX\text{和}FQGY\to Y$$都是弱等价.

证明. 由定义即证.

$\square$