紧开拓扑

拓扑空间 $X,Y$ 间所有连续映射的集合 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,Y)$ 上带有一种自然的拓扑, 称为紧开拓扑. 其最重要的性质是, 当 $Y$ 局部紧且 Hausdorff 时, 自然的映射$$\begin{array}{rl}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X\times Y,Z)& ⟶\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(Y,Z)),\\ f(-,-)& ⟼(x\mapsto f(x,-))\end{array}$$是一一对应. 也就是说, 此时 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(Y,Z)$ 是范畴 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的幂对象.

1定义

定义 1.1 (紧开拓扑). 设 $X,Y$ 是拓扑空间, 记 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,Y)$ 为 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射的集合. 该集合上的紧开拓扑是所有开集$$M_{K,U}=\{f\in \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,Y)\mid f(K)\subset U\}$$生成的拓扑, 其中 $K\subset X$ 取遍所有紧集, $U\subset Y$ 取遍所有开集. 确切地说, 紧开拓扑是以这族集合为拓扑亚基的拓扑.

2性质

命题 2.1 (复合). 设 $X,Y,Z$ 是拓扑空间, 其中 $Y$ 是局部紧 Hausdorff 空间. 则复合映射$$\begin{array}{rl}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(Y,Z)\times \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,Y)& ⟶\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,Z),\\ (f,g)& ⟼f\circ g\end{array}$$是连续映射, 其中每个映射空间都使用紧开拓扑.

命题 2.2 (乘积–指数伴随). 设 $X,Y,Z$ 是拓扑空间, 其中 $Y$ 是局部紧 Hausdorff 空间. 则自然的映射$$\begin{array}{rl}\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X\times Y,Z)& ⟶\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(X,\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(Y,Z)),\\ f(-,-)& ⟼(x\mapsto f(x,-))\end{array}$$是一一对应, 其中 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}(Y,Z)$ 带有紧开拓扑.

术语翻译

紧开拓扑 • 英文 compact-open topology • 德文 Kompakt-Offen-Topologie (f) • 法文 topologie compacte-ouverte (f)