+ 构造

本文介绍的是拓扑空间的 $+$ 构造. 关于代数 $K$ 理论的 $+$ 构造, 请参见 “[[Quillen $+$ 构造]]”.

$+$ 构造是个代数拓扑构造, 在不改变同调的情况下把空间的基本群变为特定商群. 它由 Michel Kevaire 于 1969 年引入, 尔后被 Daniel Quillen 用来构造环的代数 $K$ 理论.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是连通 CW 复形, $H$ 是 $X$ 的基本群的子群, 满足 $H^{\prime }=H$, 即 $H$ 是完美群. $X$ 关于 $H$ 的 $+$ 构造指按以下方法构造出的 CW 复形 $X_H^{+}$ 以及映射 $X\to X_H^{+}$:

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先设 $H={\pi }_1(X)$, 于是由 $H$ 完美, $H_1(X)=0$. 此时分以下几步: 1. 取 $H$ 的一组生成元 $\{{\phi }_i:S^1\to X{\}}_{i\in I}$. 可不妨设 ${\phi }_i$ 都打到 $X$ 的一维骨架中. 2. 沿着 ${\phi }_i$ 粘上一组二维胞腔 $\{e_i^2{\}}_{i\in I}$, 所得 CW 复形暂记作 $X^{\prime }$. 于是 ${\pi }_1(X^{\prime })=0$, 且空间对 $(X^{\prime },X)$ 的相对同调只在二阶非零, 被这些 $e_i^2$ 自由生成. 3. 由于 $H_1(X)=0$, 有短正合列$$0\to H_2(X)\to H_2(X^{\prime })\to H_2(X^{\prime },X)\to 0$$取 $e_i^2$ 在 $H_2(X^{\prime })$ 的原像 ${\psi }_i$. 4. 由 Hurewicz 定理, $H_2(X^{\prime })={\pi }_2(X^{\prime })$. 取映射 ${\psi }_i:S^2\to X^{\prime }$ 代表 ${\psi }_i$. 可不妨设 ${\psi }_i$ 都打到 $X^{\prime }$ 的二维骨架中. 5. 再沿 ${\psi }_i$ 粘上一组三维胞腔 $\{e_i^3{\}}_{i\in I}$, 所得 CW 复形就是 $X_H^{+}$, 则 ${\pi }_1(X_H^{+})={\pi }_1(X^{\prime })=0$, 而由构造, $X$ 到 $X_H^{+}$ 的自然含入映射诱导同调群的同构. 用同调版本的 Whitehead 定理不难发现空间 $X_H^{+}$ 以及映射 $X\to X_H^{+}$ 的伦型与这些选取无关.

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再看一般情况. 此时令 ${\tilde{X}}_H$ 为 $H$ 对应的覆叠空间, 然后按上面的方法作 ${\tilde{X}}_H^{+}\supseteq {\tilde{X}}_H$, 再作推出 $X_H^{+}=X{\bigsqcup }_{{\tilde{X}}_H}{\tilde{X}}_H^{+}$. 由于同调群的切除定理, 自然含入映射 $X\to X_H^{+}$ 诱导同调群的同构. 由 van Kampen 定理, $${\pi }_1(X_H^{+})={\pi }_1(X){\bigsqcup }_{{\pi }_1({\tilde{X}}_H)}{\pi }_1({\tilde{X}}_H^{+})=\frac{{\pi }_1(X)}{⟨gH{g}^{-1}\mid g\in {\pi }_1(X)⟩}.$$

显然每个群都有最大完美子群, 且为正规. 当 $H$ 是 ${\pi }_1(X)$ 的最大完美子群时, 把 $X_H^{+}$ 记作 $X^{+}$, 称为 $X$ 的 $+$ 构造. 对未必连通的 $X$, 定义其 $+$ 构造为每个分支分别 $+$ 构造, 再无交并.

注 1.2. 由构造可以看出, 对 $X_H^{+}$ 上的局部系 $A^{+}$, 记它沿 $X\to X_H^{+}$ 的拉回为 $A$, 则层上同调的映射 $R\Gamma (X_H^{+},A^{+})\to R\Gamma (X,A)$ 为同构. 当 $H={\pi }_1(X)$ 即 $X_H^{+}$ 单连通时, 局部系都平凡, 由万有系数定理即得结论. 一般情况是因为局部系上同调有切除.

2性质

虽然定义 1.1 中已经说明 $+$ 构造伦型的唯一性, 但高阶同伦相容的函子性难以用那里的具体构造得出. 为此我们用另一种方法描述 $+$ 构造. 以下把没有非平凡完美子群的群称为亚交换群. 以 $\mathsf{Ani}$ 记生象, 又称为伦型或者空间, 构成的 $\infty$-范畴, 以 ${\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$ 记其中各个连通分支基本群都是亚交换群者构成的满子范畴. 则显然 $X^{+}$ 都落在 ${\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$ 中, 且对于 $X\in {\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$, $X^{+}\simeq X$. 以下定理把 $+$ 构造实现为 $\infty$-范畴局部化:

定理 2.1. $+$ 构造是自然含入 ${\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}\to \mathsf{Ani}$ 的左伴随.

证明. 任取 $X\in \mathsf{Ani}$, $Y\in {\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$, 要证映射空间之间的映射 $\mathrm{Hom}(X^{+},Y)\to \mathrm{Hom}(X,Y)$ 是弱同伦等价. 首先不妨设 $Y$ 连通. 其次由 Postnikov 塔 $Y={\lim }_n{Y}_{\le n}$ 可设 $Y$ 为 $n$-截断. 接下来对 $n$ 归纳, 由纤维化 $Y_n\to Y_{\le n}\to Y_{<n}$ 及归纳假设可设 $Y=Y_n$, 即只有 $n$ 阶同伦群非零, 是个 $K(G,n)$, $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$. 现在再不妨设 $X$ 连通, 并取基点 $x\in X$, $y\in Y$, $x\mapsto x^{+}\in X^{+}$. 则 $f\mapsto f(x)$ 给出纤维化 ${\mathrm{Hom}}_{\ast }(X,Y)\to \mathrm{Hom}(X,Y)\to Y$, 对 $X^{+}$ 亦然, 从而只需证 ${\mathrm{Hom}}_{\ast }(X^{+},Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\ast }(X,Y)$ 是弱同伦等价. 这样一来:

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$n=1$ 时, ${\mathrm{Hom}}_{\ast }(X,Y)$ 为 $0$-截断, 等于 $\mathrm{Hom}({\pi }_1(X),G)$. 由于 $G$ 为亚交换群, 而 ${\pi }_1(X^{+})$ 是 ${\pi }_1(X)$ 商去完美子群, 容易发现 $\mathrm{Hom}({\pi }_1(X),G)=\mathrm{Hom}({\pi }_1(X^{+}),G)$.

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$n>1$ 时, $G$ 为交换群, $Y$ 有由 $G$ 给出的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群结构, 故 ${\mathrm{Hom}}_{\ast }(-,Y)$ 也都有. 于是其各个连通分支伦型一样, 所以只需证 ${\mathrm{Hom}}_{\ast }(X^{+},Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\ast }(X,Y)$ 在 ${\pi }_0$ 是同构, 且在基点所在连通分支处是弱同伦等价. 这是容易的: 前半句是因为 $X\to X^{+}$ 诱导上同调群的同构, 后半句是因为 ${\pi }_m{\mathrm{Hom}}_{\ast }(-,Y)={\pi }_{m-1}{\mathrm{Hom}}_{\ast }(-,\Omega Y)={\pi }_{m-1}{\mathrm{Hom}}_{\ast }(-,K(G,n-1))$, 然后利用对 $n$ 的归纳假设. $\square$

推论 2.2. 满子范畴 ${\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}\subseteq \mathsf{Ani}$ 对任意极限封闭. 此外, $+$ 构造保持 ${\aleph }_1$-紧对象, 从而它也对 ${\aleph }_1$-滤余极限封闭, 于是它本身是 ${\aleph }_1$-可表现 $\infty$-范畴.

证明. 前一句话是因为含入函子有左伴随. 后一句话则是因为 $\mathsf{Ani}$ 中的 ${\aleph }_1$-紧对象无非是可数个胞腔的 CW 复形, 从而基本群可数, 于是 $+$ 构造依定义 1.1 只会粘上可数个胞腔.

$\square$

注 2.3. ${\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}\subseteq \mathsf{Ani}$ 并不对滤余极限封闭, 因为亚交换群的滤余极限可以是非平凡完美群, 参见 Alexander 角球. 所以 ${\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$ 并不紧生成.

推论 2.4. $+$ 构造保持有限乘积. 从而对任意 $\infty$-算畴 $\mathcal{O}$, $+$ 构造给出函子 ${-}^{+}:{\mathsf{Alg}}_{\mathcal{O}}(\mathsf{Ani})\to {\mathsf{Alg}}_{\mathcal{O}}({\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}})$. 特别地, 对 $k\in \mathbb{N}\cup \{\infty \}$, ${\mathbb{E}}_k$-空间的 $+$ 构造自然成为 ${\mathbb{E}}_k$-空间.

证明. 显然单点的 $+$ 构造还是单点. 下证 $+$ 构造保持二元乘积. 为此先注意到, 由推论 2.2, 对 $Y\in \mathsf{Ani}$ 和 $Z\in {\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$, 由于映射空间 $\mathrm{Hom}(Y,Z)$ 实际上是形状为 $Y$ 取值为 $Z$ 的常图表的极限, 所以 $\mathrm{Hom}(Y,Z)\in {\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$. 现在对 $X,Y\in \mathsf{Ani}$ 和 $Z\in {\mathsf{Ani}}^{\text{hypo}}$ 有$$\begin{array}{rl}\mathrm{Hom}((X\times Y{)}^{+},Z)& =\mathrm{Hom}(X\times Y,Z)\\ & =\mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(Y,Z))\\ & =\mathrm{Hom}(X^{+},\mathrm{Hom}(Y^{+},Z))\\ & =\mathrm{Hom}(X^{+}\times Y^{+},Z),\end{array}$$故由 Yoneda 引理即得结论.

$\square$

3应用

对环 $R$, 令 $\mathrm{GL}(R)={\mathrm{colim}}_{n\to \infty }{\mathrm{GL}}_n(R)$, 并考虑形如 $1+a{E}_{ij}$, $i\ne j$, $a\in R$ 的元素生成的子群 $E(R)$, 则 $E(R)$ 是 $\mathrm{GL}(R)$ 的最大完美子群, 且实际上是 $\mathrm{GL}(R)$ 的换位子群. 则分类空间 $B\mathrm{GL}(R)$ (即 Eilenberg–MacLane 空间 $K(\mathrm{GL}(R),1)$) 的 $+$ 构造 $B{\mathrm{GL}(R)}^{+}$ 的 $n$ 阶同伦群就定义为 $R$ 的 $n$ 阶 $K$ 群, 对 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$. 这就是代数 $K$ 理论的 Quillen $+$ 构造.

4相关概念

•	群化
•	Quillen $+$ 构造

术语翻译

$+$ 构造 • 英文 $+$-construction • 法文 $+$-construction (f) • 拉丁文 $+$-constructio (f)