分离态射

分离态射是代数几何中对拓扑中 Hausdorff 空间的模拟 (这里, 我们将态射作为相对概形, 而视为空间).

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $X\to S$ 为分离态射, 指的是对角态射$${\Delta }_{X/S}:X\to X{\times }_{S}X$$是闭浸入.

定义 1.2. 说概形 $X$ 是分离概形, 指的是 $X$ 在 $\mathbb{Z}$ 上分离, 即典范态射 $X\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 是分离态射.

注 1.3. 由于概形纤维积的拓扑并不是相应拓扑空间的纤维积, 上述定义并不等价于相应拓扑空间之间的映射是分离的.

2性质

命题 2.1 (赋值判别法). 态射 $X\to Y$ 分离, 当且仅当其拟分离, 且对任意赋值环 $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$ 的分式域, $\mathrm{Spec}K\to \mathrm{Spec}R$ 为自然映射), $$\mathrm{Spec}KX\mathrm{Spec}RY$$使图表交换的虚线箭头至多一个.

证明见条目赋值判别法.

命题 2.2.

•	单态射分离. 特别地, 开浸入、闭浸入、浸入都分离.
•	分离态射的复合还是分离态射.
•	分离态射的基变换还是分离态射.

推论 2.3. 对概形态射 $f:X\to Y$ 以及 $g:Y\to S$, 如果 $gf$ 是分离态射, 则 $f$ 是分离态射. 简而言之, 从分离概形出发的态射都分离.

3例子

•	仿射态射是分离态射, 例如仿射空间 ${\mathbb{A}}_S^n\to S$ 是分离态射.
•	射影态射是分离态射, 例如射影空间 ${\mathbb{P}}_S^n\to S$ 是分离态射.
•	带有两个原点的直线不是分离的.

4相关概念

•	紧合态射
•	拟分离态射

术语翻译

分离态射 • 英文 seperated morphism • 德文 getrennter Morphismus • 法文 morphisme séparé • 拉丁文 morphismus separatus