泛闭态射

代数几何中, 泛闭态射指的是概形态射, 满足其所有的基变换都是闭映射. 此概念比较抽象, 大致可以理解为拓扑中紧而未必 Hausdorff 的空间的类比.

1定义

定义 1.1. 概形态射 $X\to S$ 称为泛闭态射, 意思是对任一概形 $T\to S$, 基变换 $X{\times }_{S}T\to T$ 在拓扑空间上为闭映射, 即闭集的像都是闭集.

2性质

命题 2.1.

•	泛闭态射是局部的.
•	泛闭态射的复合还是泛闭态射.
•	泛闭态射的基变换还是泛闭态射.
•	泛闭态射的乘积还是泛闭态射.

命题 2.2. 设 $f:X\to Y$, $g:Y\to S$ 是概形态射, 满足复合 $gf$ 泛闭, 而 $g$ 分离. 则 $f$ 泛闭, 且从概像 $f(X)$ 到 $S$ 的自然映射亦泛闭.

定理 2.3. 泛闭态射都拟紧.

证明.

证明. 设 $f:X\to Y$ 不为拟紧, 来证其不泛闭. 由于二者都是局部性质, 可设 $Y=\mathrm{Spec}R$ 仿射. 取仿射开覆盖 $X={\bigcup }_{i\in I}{X}_i$, 并令 $T=\mathrm{Spec}(R[t_i{]}_{i\in I})$ 为 $Y$ 上概形, $T_i=D(t_i)$ 为其开子集. 则对每个 $i\in I$, $X_i{\times }_Y{T}_i\subseteq X{\times }_{Y}T$ 为开子集. 以 $Z$ 记它们全部并起来之补, 为 $X{\times }_{Y}T$ 的闭子集. 我们来证明 $f_T:X{\times }_{Y}T\to T$ 不把 $Z$ 映射到闭集, 从而得到 $f$ 不泛闭.

首先存在 $y\in Y$, 使得对任一邻域 $U\ni y$, 态射 $f^{-1}(U)\to U$ 都不拟紧, 否则由拟紧的局部性, $f$ 将会拟紧.

考虑 $T_y=\mathrm{Spec}(k(y)[t_i{]}_{i\in I})$ 中每个 $t_i$ 都等于 $1$ 的点, 记为 $t$. 它属于每个 $T_i$; 而对 $z\in Z$, 如 $z$ 在 $X$ 的像属于 $X_i$, 则依 $Z$ 的定义, $z$ 在 $T$ 的像不属于 $T_i$; 所以 $f_T(Z)\not\ni t$. 现假设 $f_T(Z)$ 为闭集. 则存在多项式 $g\in R[t_i{]}_{i\in I}$ 使得 $t\in D(g)$ 且 $D(g)\cap f_T(Z)=\varnothing$. 取有限子集 $J\subseteq I$ 使得 $g$ 中只出现 $t_j$, $j\in J$. 以 $g(1)\in R$ 记代入每个 $t_i=1$ 之后 $g$ 的值, 则它在 $k(y)$ 的像非零. 把 $Y$ 换成 $Y_{g(1)}$, 可设 $g(1)$ 可逆. 由上一段, 换完之后 $X$ 仍不拟紧, 故可取 $x\in X$ 使得对 $j\in J$ 都有 $x\notin X_j$. 记 $y^{\prime }=f(x)$. 考虑 $T_{y^{\prime }}=\mathrm{Spec}(k(y)[t_i{]}_{i\in I})$ 中每个 $t_j$, $j\in J$ 都等于 $1$, 其余变量都等于 $0$ 的点, 记为 $t^{\prime }$. 则由 $J$ 的取法以及 $g(1)$ 可逆便知 $t^{\prime }\in D(g)$. 现取 $z\in X{\times }_{Y}T$, 在 $X$ 中的像是 $x$, 在 $T$ 中的像是 $t^{\prime }$. 则由于对 $j\in J$ 都有 $x\notin X_j$, 对 $i\notin J$ 都有 $t^{\prime }\notin T_i$, 可知 $z\in Z$. 而 $f_T(z)=t^{\prime }\in D(g)$, 与 $D(g)\cap f_T(Z)=\varnothing$ 矛盾! 从而 $f_T(Z)$ 不是闭集, $f$ 不泛闭.

$\square$

命题 2.4 (赋值判别法). 态射 $X\to Y$ 泛闭, 当且仅当其拟紧, 且对任意赋值环 $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$ 的分式域, $\mathrm{Spec}K\to \mathrm{Spec}R$ 为自然映射), $$\mathrm{Spec}KX\mathrm{Spec}RY$$存在虚线箭头使图表交换.

证明见条目赋值判别法.

定理 2.5. 仿射泛闭态射和整态射是一回事.

证明. 整态射仿射泛闭比较容易. 首先它依定义就是仿射的. 其次由整同态的素理想上行不难得知整态射都是闭的, 见主条目. 于是由整态射在基变换下保持就知道泛闭.

另一边就比较麻烦. 显然只需考虑仿射情形. 设环同态 $A\to B$ 在谱上泛闭, 任取 $b\in B$, 要证明 $b$ 在 $A$ 上整. 基变换到 $A[b^{-1}]$, 由于 $A[b^{-1}]\to A[b^{-1}]{\otimes }_{A}B\to B$ 的第二个箭头即乘法映射是环满射, 复合映射 $A[b^{-1}]\to B$ 也在谱上泛闭. 于是由以下引理可设 $b^{-1}\in A$. 由命题 2.2, 可设 $B=A[b]$. 这样 $B=A_{b^{-1}}$ 是局部化, $\mathrm{Spec}B=D(b^{-1})$ 是 $A$ 中主开集. 但它又闭, 所以是开闭集含入, 那么当然整.

$\square$

引理 2.6. $A\to B$ 是环同态, $b\in B$. 考虑局部化 $B_b$ 的子环 $A[b^{-1}]$. 如 $b$ 在 $A[b^{-1}]$ 上整, $b$ 就在 $A$ 上整.

证明. 写出 $B_b$ 中等式$$b^n+c_1{b}^{n-1}+\cdots +c_n=0,c_1,\dots ,c_n\in A[b^{-1}].$$把 $c_1,\dots ,c_n$ 具体写成 $b^{-1}$ 的 $A$ 系数多项式, 再展开, 可得 $B_b$ 中等式$$b^n+a_1{b}^{n-1}+\cdots +a_N{b}^{n-N}=0,a_1,\dots ,a_N\in A.$$由局部化的具体定义便知存在自然数 $M\ge N-n$ 使得上式两边乘以 $b^M$ 之后是 $B$ 中等式, 于是 $b$ 在 $A$ 上整.

$\square$

3例子

•	闭浸入是泛闭态射.
•	射影态射是泛闭态射, 例如射影空间 ${\mathbb{P}}_S^n\to S$ 是泛闭态射.
•	仿射空间 ${\mathbb{A}}_S^n\to S$ ($n\ge 1$) 不是泛闭态射.

4相关概念

•	分离态射
•	赋值判别法
•	整态射
•	紧合态射

术语翻译

泛闭态射 • 英文 universally closed morphism • 德文 universal abgeschlossener Morphismus • 法文 morphisme universellement fermé • 拉丁文 morphismus universaliter clausus • 古希腊文 καθολικῶς κλειστὸς μορφισμός