主. 六函子

约定. 在本文中,

• $\infty$-范畴均指$(\infty ,1)$-范畴, .
• 函子 $f^{\ast },f_{\ast },\Gamma (X,-)$ 等函子均为导出版本 (将省略表示导出的符号).
• 对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, 其核 (即删去非同构态射所构成的范畴) 记为 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$, 详见 [Kerodon, 01CZ].
• 有时将省略脉的符号.
• ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 表示由 $\infty$-范畴构成的 $(\infty ,1)$-范畴. 而 ${\mathsf{Cat}}_{(\infty ,2)}$ 表示由 $\infty$-范畴构成的 $(\infty ,2)$-范畴.

注记. 建议读者在看完本篇之后自己手搓一遍六函子.

主.1介绍

感谢 Lurie, Scholze, Clausen, Mann, 刘一峰以及郑维喆使我们能够看到如此美妙的理论.

在对于几何对象 (如流形, 概形等) 的探索中, 上同调理论通过将它们关联到某种代数不变量之上从而提供了一种极为好用的研究它们的方法. 最出名的几种上同调理论包括拓扑空间的奇异上同调, 概形上的平展上同调等. 在对于它们的研究中, 一般会选定一个环 $\Lambda$, 而后对于任意一个 “空间” $X$, 其上同调 $\Gamma (X,\Lambda )\in \mathcal{D}(\Lambda )=\mathcal{D}({\mathsf{Mod}}_{\Lambda })$ 为 $\Lambda$-模组成的复形. 一般希望这些上同调有一些好的性质, 诸如 Künneth 公式或 Poincaré 对偶等, 但是一般来说, 需要使用非常多复杂手段去证明它们.

而六函子理论是一种形式化构造上同调理论的方法, 它简化并流水线化了上述性质的证明, 同时也可以作为人们的工具箱. 其基本想法为使用更多的结构去代替上同调模 $\Gamma (X,\Lambda )$. 即选定一个由几何对象所构成的 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$(一般要求具有有限极限). 关于 $\mathcal{C}$ 的六函子理论由以下信息构成:

•	对于每个空间 $X\in \mathcal{C}$, 配以范畴 $\mathcal{D}(X)$, 视为 $X$ 上的某种 “层” 范畴,
•	对于空间中的态射 $f:X\to Y$, 有一对伴随函子分别称为拉回层和前推层函子, 或者 “上星”, “下星” 函子.
•	对于某些良好的态射 (称为反常态射) $f:X\to Y$, 有一对伴随函子分别称为反常前推层 (或称紧合前推) 和反常拉回层函子, 或者 “下叹”, “上叹” 函子.
•	对于空间 $X$ 以及任意两个层 $M,N\in \mathcal{D}(X)$, 有一对伴随函子分别称为张量积层和内 Hom 层函子.

对于 $\mathcal{C}$ 的终对象 $\ast$, 一般定义 $\mathcal{D}(\ast )=\mathcal{D}(\Lambda )$. 这样就可以定义空间 $X\in \mathcal{C}$ 的上同调为 $\Gamma (X,\Lambda )=p_{\ast }1$, 此处 $p:X\to \ast$ 为投影且 $1\in \mathcal{D}(X)$ 为张量积的单位. 此外, 还可以定义紧支上同调为 ${\Gamma }_c(X,\Lambda ):=p_{!}1$. 因此可以将 $f_{\ast }$ 和 $f_{!}$ 视为上同调和紧支上同调的相对版本, 并且可以发现 $\mathcal{D}(X)$ 是 $\mathcal{D}(\Lambda )$ 的相对版本. 对于上述六个函子, 还要求其满足以下相容性条件

•	$f^{\ast }$ 与 $\otimes$ 交换.
•	(基变换定理) 对于拉回图表有函子的同构 $g^{\ast }{f}_{!}\simeq f_{!}^{\prime }{g}^{\prime \ast }$.
•	(投影公式) 给定 $f:Y\to X$ 为反常态射, $M\in \mathcal{D}(X)$ 而 $N\in \mathcal{D}(Y)$ 有同构 $M\otimes f_{!}N\simeq f_{!}(f^{\ast }M\otimes N)$.

使用上述结论就可以给出一些上同调理论的经典结论, 比如以下两则结果.

例 主.1.1 (Künneth 公式). 给定 $X,Y\in \mathcal{C}$, 有 $\mathcal{D}(\Lambda )$ 中的同构$${\Gamma }_c(X\times Y,\Lambda )\simeq {\Gamma }_c(X,\Lambda )\otimes {\Gamma }_c(Y,\Lambda ).$$该公式称为 Künneth 公式. 若满足上述相容性条件, 则考虑 $X\times Y$ 作为对于终对象的拉回图表则利用紧合基变换以及投影公式得到$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_c(X\times Y,\Lambda )& =p_{!}1\simeq (p_Y{f}_X{)}_{!}1\simeq p_{Y!}{f}_{X!}{f}_Y^{\ast }1\simeq p_{Y!}{p}_Y^{\ast }{p}_{X!}1\\ & \simeq p_{Y!}(p_Y^{\ast }{p}_{X!}1\otimes 1)\simeq p_{X!}1\otimes p_{Y!}1={\Gamma }_c(X,\Lambda )\otimes {\Gamma }_c(Y,\Lambda )\end{array}$$

例 主.1.2 (Poincaré 对偶). 给定 $\mathcal{C}$ 中的 “光滑” 空间 $X$ (比如说在拓扑中取光滑流形而在代数几何中选取光滑概形 ¹) 令 $p:X\to \ast$ 为投影, ${\omega }_X:=p^{!}1$ 且 $\Gamma (X,{\omega }_X):=p_{\ast }{\omega }_X$ 则有 $\mathcal{D}(\Lambda )$ 中的等价$$\Gamma (X,{\omega }_X)\simeq \mathcal{H}\mathrm{om}({\Gamma }_c(X,\Lambda ),\Lambda ),$$这一等价称为 Poincaré 对偶. 对于任意 $M\in \mathcal{D}(\Lambda )$ 有$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(\Lambda )}(M,\Gamma (X,{\omega }_X))& \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(\Lambda )}(M,p_{\ast }{p}^{!}1)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(\Lambda )}(p_{!}{p}^{\ast }M,1)\\ & \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(\Lambda )}(p_{!}(p^{\ast }M\otimes 1),1)\\ & \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(\Lambda )}(M\otimes p_{!}1,1)\\ & \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(\Lambda )}(M,\mathcal{H}\mathrm{om}(p_{!}\otimes 1,1))={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(\Lambda )}(M,\mathcal{H}\mathrm{om}({\Gamma }_c(X,\Lambda ),\Lambda ))\end{array}$$因此由 Yoneda 引理可知等价成立. 若 $X$ 为 $n$ 维可定向流形并且选定某个定向使得 ${\omega }_X\simeq 1[n]$. 此外 $\Lambda$ 为域, 则可以得到原始的 Poincaré 对偶$$H^i(X,\Lambda )\simeq H_c^{n-i}(X,\Lambda {)}^{\vee }$$此处 $(-{)}^{\vee }=\mathrm{Hom}(-,\Lambda )$ 表示对偶空间且 $H_{(c)}^i(X,\Lambda ):=H^i{\Gamma }_{(c)}(X,\Lambda )$.

如此就可以说明什么是 6-函子理论, 粗略的说: 这是一些由几何对象 (如拓扑空间, 概形, 叠等) 构成的范畴 $\mathcal{C}$ 以及一个从 $\mathcal{C}$ 到其上某些 “层” 所构成的 ($\infty$/稳定 $\infty$/可表现 $\infty$-) 范畴的函子 $X\mapsto \mathcal{D}(X)$, 并且具有满足上述相容性的六个函子 $(f^{\ast },f_{\ast },\otimes ,\underline{\mathrm{Hom}},f_{!},f^{!})$. 注意到每组中第二个函子总是右伴随于前一个函子.
而一大问题就是在一般情况下如何去处理兼容性问题, 特别是按照当今惯例, 人们喜欢取 $\mathcal{D}(X)$ 为稳定 $\infty$-范畴, 此外, 在一般的情况下形式地搭建前文所描述的那些定理—特别是 Poincaré 对偶, 通常都需要大量的工作.
本文的目的在于介绍由 [LZ12a] 所搭建, [SixFunctors] 以及 [Ma22, Appendix A.5] 所推广出的抽象六函子理论.

主.2几何设定与对应范畴

首先, 我们需要明确我们的工作环境, 称其为几何设定.

定义 主.2.1 (几何设定). 几何设定是指二元组 $(\mathcal{C},E)$, 其中 $\mathcal{C}$ 为具有有限极限的 $\infty$-范畴 (视为几何对象所构成的范畴) 而 $E$ 为其内一族态射, 使得

1.	$E$ 包含全体同构并且在复合下稳定.
2.	$E$ 中态射的拉回均存在并且仍在 $E$ 中.
3.	对于任意态射 $Y\to X$, 都有对角态射 ${\delta }_{X,Y}:Y\to Y\underset{X}{\times }Y$ 在 $E$ 中.

注 主.2.2. 在 [Ma22] 以及 [SixFunctors] 的设置中并未提及第三条, 但是在构造六函子的过程中 (比如 [SixFunctors, $\S 4$]) 确实需要这一性质.
并且, 几何设定可以转化为以下定义 (引理 主.4.2 将说明其等价性) : 几何实现是指二元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)$, $\mathcal{C}$ 为具有有限极限的 $\infty$-范畴, ${\mathcal{C}}_0$ 为其宽子范畴, 并且:

1.	${\mathcal{C}}_0$ 在沿 $\mathcal{C}$ 中态射的拉回下封闭.
2.	${\mathcal{C}}_0$ 有 $\mathcal{C}$ 中的纤维积且 ${\mathcal{C}}_0\subseteq \mathcal{C}$ 保持纤维积.

这样可以定义几何设定所构成的 $\infty$-范畴 $\mathsf{GeomSetup}$, 其中态射为$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{GeomSetup}}((\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0),(\mathcal{D},{\mathcal{D}}_0))\subset {\left(\mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})\underset{\mathrm{Fun}({\mathcal{C}}_0,\mathcal{D})}{\times }\mathrm{Fun}({\mathcal{C}}_0,{\mathcal{D}}_0)\right)}^{\simeq }$$为由形如 $(f,f_0)$ 的二元组所张成的全子生象, 其中 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 保持 $\mathcal{C}$ 中 $X\stackrel{g\in {\mathcal{C}}_0}{\to }Y\leftarrow Z$ 的拉回. 注意到遗忘态射 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{GeomSetup}}((\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0),(\mathcal{D},{\mathcal{D}}_0))\to \mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D}{)}^{\simeq }$ 给出全子生象, 这相当于说 $(f,f_0)$ 完全由 $f$ 所确定. 不难发现 $f_0$ 也自动保持拉回.

事实上并不需要具有有限极限这一条件, 不过为了方便, 我们仍要求具有有限极限.

命题 主.2.3. $\mathsf{GeomSetup}$ 是完备且余完备的.

证明.

证明. 令 $\mathcal{I}$ 为 $\infty$-范畴, 且 $F:\mathcal{I}\to \mathsf{GeomSetup},i\mapsto ({\mathcal{C}}_i,{\mathcal{C}}_{i,0})$. 记 $\mathcal{C}:=\underset{i\in \mathcal{I}}{\underleftarrow{\lim }}{\mathcal{C}}_i$ 以及 ${\mathcal{C}}_0:=\underset{i\in \mathcal{I}}{\underleftarrow{\lim }}{\mathcal{C}}_{i,0}$. 接下来说明 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)$ 为几何设定, 并且满足 $\mathsf{GeomSetup}$ 中极限的泛性质.
首先说明 ${\mathcal{C}}_0$ 为 $\mathcal{C}$ 的宽子范畴, 这不过是命题 31.3.43 的直接推论. 考虑图表 $X\stackrel{g}{\to }Y\leftarrow Z$, 其中 $g\in {\mathcal{C}}_0$, 记图表在 ${\mathcal{C}}_{i,0}$ 中的像为 $X_i\stackrel{g_i}{\to }{Y}_i\leftarrow Z_i$. 其中 $g_i\in {\mathcal{C}}_{i,0}$, 因对于任意 $(i\to j)\in \mathcal{I}$, $({\mathcal{C}}_i,{\mathcal{C}}_{i,0})\to ({\mathcal{C}}_j,{\mathcal{C}}_{j,0})$ 为几何设定之间的态射, 因此函子 ${\mathcal{C}}_i\to {\mathcal{C}}_j$ 映 $X_i\underset{Y_i}{\times }{Z}_i$ 为 $X_j\underset{Y_j}{\times }{Z}_j$. $$\text{全体拉回图表}{X}_i\underset{Y_i}{\times }{Z}_{i}Zi\text{组成拉回图表 }X\underset{Y}{\times }ZZ{X}_i{Y}_{i}XY{g}_{i}g$$因此对于 $U\in \mathcal{C}$, 其为 $X\to Y\leftarrow Z$ 当且仅当对于全体 $i$ 其在 ${\mathcal{C}}_i$ 中的像为 $X_i\to Y_i\leftarrow Z_i$ 的拉回.
现在我们知道 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)\to ({\mathcal{C}}_i,{\mathcal{C}}_{i,0}$ 为几何设定之间的态射, 并且对于 $\mathrm{Fun}(\mathcal{I},\mathsf{GeomSetup})$ 中的态射 ${\mathsf{const}}_{(\mathcal{A},{\mathcal{A}}_0)}\Rightarrow F$ 则其诱导的 $\mathrm{Fun}([1],{\mathsf{Cat}}_{\infty })$ 中的态射 $(\mathcal{A},{\mathcal{A}}_0)\to (\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)$ 均为几何设定之间的态射, 因此由定义可知 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)$ 为 $F$ 在 $\mathsf{GeomSetup}$ 中的极限.

$\square$

例 主.2.4.

1.	$(\mathcal{C},\mathrm{isom})$ 为几何设定, 其中 $\mathrm{isom}$ 为全体同构所构成的类.
2.	$({\mathcal{C}}^{\simeq },\mathrm{isom})$ 为几何设定, 其中 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 为 $\mathcal{C}$ 的核.

现在我们开始构造六函子理论, 但是在 $\infty$-范畴的语境下, 六函子理论的构造并没有那么简单, 我们使用对应范畴 (也称为伸展范畴) 这一工具对其进行刻画, 在刻画对应范畴之前, 我们先引入一套符号.

定义 主.2.5. 令 ${\mathbb{\Sigma }}^n\subset {\Delta }^n\times ({\Delta }^n{)}^{\mathrm{op}}$ 为由形如 $(i,j)\in \{0,1,\cdots ,n{\}}^2$ 且 $i\ge j$ 的单形所张成的子集, 可以将其视为偏序集. 改变 $n$, 可以给出余单纯对象$${\mathbb{\Sigma }}^{\bullet }:\mathbb{\Delta }\to {\mathsf{Cat}}_{\text{Ordinary}}\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty }$$可以将 ${\mathbb{\Sigma }}^{\bullet }$ 拓展为实现, 得到 $\mathbb{\Sigma }:\mathsf{sSet}\to {\mathsf{Cat}}_{\text{Ordinary}}\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty }$.

注 主.2.6. 不难发现 $\mathbb{\Sigma }$ 保持余极限以及有限乘积.

在定义中提到 ${\mathbb{\Sigma }}^n$ 可以被视为偏序集, 具体将其写出即为不难发现这是 扭箭头范畴 $\mathsf{TwAr}[n]$ 将 $(m,n)$ 中 $m$ 和 $n$ 的顺序调换后的反范畴.

定义-命题 主.2.7 (对应范畴). 对应 $\infty$-范畴 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 是指以下单纯集, 其 $n$-单形为由 ${\mathbb{\Sigma }}^n\to \mathcal{C}$ 的满足以下性质的态射

•	全体向下的箭头均在 $E$ 中.
•	全体方块均为拉回.

此外, 令 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C})$ 为取 $E$ 为 $\mathcal{C}$ 中全体态射的情况, 有显然的嵌入态射 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C})$.

证明.

证明. 先说明对于 ${\Lambda }_1^2\hookrightarrow {\Delta }^2$ 的填充性质. 不难发现 ${\Lambda }_1^2$ 可以视为推出 ${\Delta }^{\{0,1\}}\bigsqcup _{\{1\}}{\Delta }^{\{1,2\}}$, 因此可以将 ${\Lambda }_1^2\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 写为 $\mathcal{C}$ 中的图表现在考虑图表使得内部的方块为拉回, 由定义 主.2.1 可知 $\tilde{W}\to W$ 在 $E$ 中, 因此这给出填充现在来说明其确实构成 $\infty$-范畴. 根据 [HTT, Proposition 2.3.2.1] 我们将问题转化为验证对于全体嵌入$$({\Delta }^m\times {\Lambda }_1^2)\bigsqcup _{{\Lambda }_i^n\times {\Lambda }_1^2}({\Lambda }_i^n\times {\Delta }^2)\subseteq {\Delta }^n\times {\Delta }^2.$$具有右提升性质. 由于 $\mathbb{\Sigma }$ 保余极限以及有限乘积, 因此给定$$f:({\Delta }^m\times {\Lambda }_1^2)\bigsqcup _{\partial {\Delta }^m\times {\Lambda }_1^2}(\partial {\Delta }^m\times {\Delta }^2)\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C})$$都相当于给定映射$$\mathbb{\Sigma }(f):(\mathbb{\Sigma }({\Delta }^m)\times \mathbb{\Sigma }({\Lambda }_1^2))\bigsqcup _{\mathbb{\Sigma }({\Lambda }_i^n)\times \mathbb{\Sigma }({\Lambda }_1^2)}\to \mathcal{C}$$由于 $f$ 穿过 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$, 在 [HTT, Proposition 4.3.2.15]²的对偶版本, 选定 $\mathcal{C}=\mathbb{\Sigma }({\Delta }^2)$, ${\mathcal{C}}^0=\mathbb{\Sigma }({\Lambda }_1^2)$ 以及 $\mathcal{D}=\mathcal{C}$(几何设定中的 $\mathcal{C}$) 再令 ${\mathcal{B}}_0=\mathbb{\Sigma }(\partial {\Delta }^m),\mathcal{B}=\mathbb{\Sigma }({\Delta }^m)$. 因此由 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 的定义可知 $\mathbb{\Sigma }(f)$ 诱导交换图表根据 [HTT, Proposition 4.3.2.15] 的对偶版本可知 $\mathcal{K}\to {\mathcal{K}}^{\prime }$ 为平凡 Kan 纤维化, 因此上述图表中的提升存在, 记为 $g^{♯}:\mathbb{\Sigma }({\Delta }^m)\to \mathcal{K}$. 将 $g^{♯}$ 视为 $\mathbb{\Sigma }({\Delta }^m\times {\Delta }^2)\simeq \mathbb{\Sigma }({\Delta }^m)\times \mathbb{\Sigma }({\Delta }^2)\to \mathcal{C}$. 这诱导出$$g:{\Delta }^m\times {\Delta }^2\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C})$$并且不难验证 $g$ 穿过 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$.

$\square$

接下来给 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 配备对称幺半结构 (见第 29 章).

$\mathcal{C}$ 上的对称幺半结构

现在我们可以给定义 主.2.1 中的 $\mathcal{C}$ 配备上典范的对称幺半结构, 但是由于 $\mathcal{C}$ 具有有限积, 因此需要绕个圈子.
令 ${\Gamma }^{\ast }$ 为以下范畴:

1.	${\Gamma }^{\ast }$ 的对象为二元组 $(⟨n⟩,i)$, 其中 $i\in {⟨n⟩}^{\circ }$.
2.	${\Gamma }^{\ast }$ 中从 $(⟨m⟩,i)\to (⟨n⟩,j)$ 的态射为使得 $\alpha (i)=j$ 的带点映射 $\alpha :⟨m⟩\to ⟨n⟩$.

定义 主.2.8. 令 $\mathcal{D}$ 为单纯集. 定义 ${\mathcal{D}}^{\bigsqcup }$ 为带有态射 ${\mathcal{D}}^{\bigsqcup }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 的单纯集, 满足以下泛性质: 对于任意单纯集之间的态射 $K\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 有典范双射$${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Fin}}_{\ast }}(K,{\mathcal{D}}^{\bigsqcup })\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(K\underset{{\mathsf{Fin}}_{\ast }}{\times }{\Gamma }^{\ast },\mathcal{D})$$

注 主.2.9. 若 $\mathcal{D}$ 为单纯集, 则每点处的纤维 ${\mathcal{D}}_{⟨n⟩}^{\bigsqcup }={\mathcal{D}}^{\bigsqcup }\underset{\mathsf{Fin}}{\times }\{⟨n⟩\}$ 即为 ${\mathcal{D}}^n$.

命题 主.2.10. 令 $\mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴, 则前文所述的 $p:{\mathcal{D}}^{\bigsqcup }\to \mathsf{Fin}$ 使得 ${\mathcal{D}}^{\bigsqcup }$ 为 $\infty$-算畴. 因此 ${\mathcal{D}}^{\bigsqcup }$ 带有典范的对称幺半结构当且仅当 ${\mathcal{D}}^{\mathrm{op}}$ 带有有限余积.

证明. [HA, Proposition 2.4.3.3].

$\square$

现在考虑定义 主.2.1 中的 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, 我们知道它具有有限积, 因此 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 具有有限余积. 从而 $({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}{)}^{\bigsqcup }$ 带有自然的对称幺半结构. 因此 ${\mathcal{C}}^{{\times }^{\prime }}:=(({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}{)}^{\bigsqcup }{)}^{\mathrm{op}}$ 也自然地带有对称幺半结构.

注 主.2.11. 对于 $\mathcal{C}$ 采用这种方式定义其对称幺半结构是为了将 $f:⟨n⟩\to ⟨m⟩$ 以及态射$$X_i\to \prod _{j\in f^{-1}(i)}{Y}_j$$诱导出态射 $(⟨m⟩,X_i)\to (⟨n⟩,Y_j)$.

下记 ${\mathcal{C}}_E$ 为由 $E$ 所生成的宽子范畴.

引理 主.2.12. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 且令$${\mathcal{C}}_E^{-}:={\mathcal{C}}_E^{{\times }^{\prime }}\underset{{\mathsf{Fin}}_{\ast }^{\mathrm{op}}}{\times }{\mathsf{Fin}}_{\ast }^{\simeq }.$$则 $({\mathcal{C}}^{{\times }^{\prime }},E^{-})$ 构成几何设定, 其中 $E^{-}$ 为 ${\mathcal{C}}_E^{-}$ 中的全体态射.

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

现在可以给出 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 的对称幺半结构.

定义-命题 主.2.13. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 令$$\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }:=\mathrm{Corr}({\mathcal{C}}^{{\times }^{\prime }},E^{-}).$$则其为对称幺半 $\infty$-范畴.

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

具体地说, $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }$ 中的对象为二元组 $(⟨n⟩,(X_i{)}_{i\in {⟨n⟩}^{\circ }})$; 而态射 $(⟨n⟩,(X_i{)}_{i\in {⟨n⟩}^{\circ }})\to (⟨m⟩,(Y_j{)}_{j\in {⟨m⟩}^{\circ }})$ 定义为态射 $f:⟨n⟩\to ⟨m⟩$ 并且对于任意 $j\in J$ 都有对应.$$\prod _{i\in f^{-1}(j)}{X}_i\leftarrow W_j\stackrel{\in E}{\to }{Y}_j$$

注 主.2.14 (三类态射). 事实上, 对于几何设定 $(\mathcal{C},E)$, 考虑 $E$ 所张成的宽子范畴 ${\mathcal{C}}_E$, 上述讨论可以给出三种较为重要的态射:

1.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 由投影 $⟨2⟩\to ⟨1⟩$ 以及对应 $X\times X\stackrel{\delta }{\leftarrow }X=X$ 所给出的 $(⟨2⟩,(X,X))\to (⟨1⟩,X)$.
2.	对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:Y\to X$, 由 $⟨1⟩\to ⟨1⟩$ 以及对应 $X\leftarrow Y=Y$ 给出 $(⟨1⟩,X)\to (⟨1⟩,Y)$. 这事实上给出函子 $\mathcal{C}\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$.
3.	对于任意 $E$ 中的态射 $f:Y\to X$, 由 $⟨1⟩\to ⟨1⟩$ 以及对应 $Y=Y\to X$ 给出态射 $(⟨1⟩,Y)\to (⟨1⟩,X)$. 这事实上给出函子 ${\mathcal{C}}_E\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$.

由此可以发现我们大费周章地将 $\mathcal{C}$ 取反范畴得到典范对称幺半结构再取反范畴这些操作是为了将 $E$ 中态射的方向与一般态射的方向进行区分.

主.3六函子理论

三函子理论

回忆到几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 上的 6-函子理论是指以下资料:

•	对于每个 $X\in \mathcal{C}$, 存在 “$X$ 上的层” 所构成的 $\infty$-范畴 $\mathcal{D}(X)$. 并且该范畴是闭对称幺半范畴, 即存在张量积 $\otimes$ 以及内 Hom $\mathcal{H}\mathrm{om}$.
•	对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:Y\to X$, 存在拉回函子 $f^{\ast }\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)$. 此外, $f^{\ast }$ 具有右伴随 (前推函子) $f_{\ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)$.
•	对于任意 $E$ 中的态射 $f:Y\to X$, 存在反常前推函子 $f_{!}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)$ 此外, $f_{!}$ 具有右伴随 (反常拉回函子) $f^{!}:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)$.

并且上述资料需要满足我们在 主.1 中说过的相容性, 这些相容性使得我们需要再加入一些额外的数据, 从而导致在 $\mathcal{D}$ 中需要考虑高阶同伦.

Cartesius 幺半结构

由于要求 $\mathcal{D}(X)$ 为闭对称幺半 $\infty$-范畴, 因此需要给 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 上配备一个典范的幺半结构. 为此, 定义 ${\Gamma }^{\times }$ 为以下范畴:

1.	${\Gamma }^{\times }$ 中的对象为 $(⟨n⟩,S)$, 其中 $⟨n⟩\in {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 且 $S$ 为 ${⟨n⟩}^{\circ }$ 的子集.
2.	${\Gamma }^{\times }$ 中从 $(⟨n⟩,S)\to (⟨m⟩,T)$ 的态射是使得 ${\alpha }^{-1}(T)\subseteq S$ 的 $\alpha :⟨n⟩\to ⟨m⟩$.

注意到 ${\Gamma }^{\times }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为拉回纤维化, 并且可以其具有截面 $s$.

定义 主.3.1. 令 $\mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴. 定义单纯集 ${\mathcal{D}}^{\times }$ 配备上态射 ${\mathcal{D}}^{\times }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 满足以下泛性质: 对于任意单纯集之间的态射 $K\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 有典范双射$${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Fin}}_{\ast }}(K,{\mathcal{D}}^{\times })\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(K\underset{\mathsf{Fi}{\mathsf{n}}_{\ast }}{\times }{\Gamma }^{\times },\mathcal{D})$$

命题 主.3.2. 令 $\mathcal{D}$ 为 $\infty$-范畴, 则

1.	$p:{\mathcal{D}}^{\times }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为推出纤维化.
2.	当且仅当 $\mathcal{D}$ 具有有限乘积时, ${\mathcal{D}}^{\times }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为对称幺半 $\infty$-范畴.

证明. [HA, Proposition 2.4.1.5].

$\square$

那么算畴 ${\mathcal{D}}^{\times }$ 会具有以下泛性质, 给定任意算畴 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$, 存在自然的同构$$\mathrm{Hom}({\mathcal{O}}^{\otimes },{\mathcal{C}}^{\times })\simeq {\mathrm{Fun}}^{\text{松}}({\mathcal{O}}^{\otimes },\mathcal{C}{)}^{\simeq }.$$具体证明可见 [HA, Proposition 2.4.1.7]. 此处 ${\mathrm{Fun}}^{\text{松}}({\mathcal{O}}^{\otimes },\mathcal{C})$ 表示 $\mathrm{Fun}({\mathcal{O}}^{\otimes },\mathcal{C})$ 中松 Cartesius 结构, 即使得任意 $X_1,\cdots ,X_n\in \mathcal{O}$ 都有 $F(X_1\otimes \cdots \otimes X_n)\stackrel{\sim }{\to }F(X_1)\times \cdots \times F(X_n)$ 为同构的函子 $F$ 所张成的全子范畴.

命题 主.3.3. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定.

1.	函子 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 可以被提升为算畴之间的态射$$({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}{)}^{\bigsqcup }\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }.$$事实上, 这是一个松对称幺半函子.
2.	若 $\ast$ 为 ${\mathcal{C}}_E$(即 $E$ 所张成的宽子范畴) 的终对象, 则函子 ${\mathcal{C}}_E\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 可以提升为松对称幺半函子$${\mathcal{C}}_E^{\times }\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }.$$

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

三函子以及相容性

由前文所述内容, 现在可以优雅地给出函子 $\otimes$, $f^{\ast }$ 以及 $f_{!}$.

定义 主.3.4 (三函子理论). 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 关于 $(\mathcal{C},E)$ 的三函子理论是指 $\infty$-算畴之间的态射$$\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}^{\times }.$$称 $\mathcal{D}$ 是稳定 (或可表现) 的是指它穿过由稳定 $\infty$-范畴所构成的 $\infty$-范畴 ${\mathsf{Stable}}^{\otimes }$ (或可表现 $\infty$-范畴所构成的 $\infty$-范畴 $({\mathrm{Pr}}^L{)}^{\otimes }$),

注 主.3.5. 根据我们的假设, $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 为对称幺半 $\infty$-范畴, 因此在 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论实际上是松幺半函子 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$.

现在从三函子理论 $\mathcal{D}$ 中萃取出函子 $\otimes ,f^{\ast }$ 以及 $f_{!}$.

定义 主.3.6. 令 $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$ 为 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论.

1.	考虑命题 主.3.3 中所述 $\infty$-算畴间态射 $({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}{)}^{\bigsqcup }\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }$, 其复合上 $\mathcal{D}$ 给出 $\infty$-算畴间的态射 $({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}{)}^{\bigsqcup }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$. 根据 [HA, Theorem 2.4.3.18], 上述信息可以重组为函子 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CMon}$, 此处 $\mathsf{CMon}$ 是对称幺半 $\infty$-范畴所构成的 $\infty$-范畴. 特别地, 对于任意 $X\in \mathcal{C}$,. 可以给出 $\mathcal{D}(X)$ 上的对称幺半结构. 将该对称幺半结构表示为$$-\otimes -:\mathcal{D}(X)\times \mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X).$$
2.	由注记 主.2.14 中第二条所给出的函子复合上 $\mathcal{D}$ 后给出函子 ${\mathcal{D}}^{\ast }:\mathcal{C}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:X\to Y$ 有$$f^{\ast }:={\mathcal{D}}^{\ast }(f):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y),$$称为沿 $\mathbf{f}$ 的拉回.
3.	由注记 主.2.14 中第三条所给出的函子复合上 $\mathcal{D}$ 后给出函子 ${\mathcal{D}}_{!}:{\mathcal{C}}_E\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 对于任意 $E$ 中的态射 $f:X\to Y$ 有$$f_{!}:={\mathcal{D}}_{!}(f):\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X),$$称为沿 $\mathbf{f}$ 的反常前推.

接下来我们详细说明前文到底在干什么.

•	首先我们知道 $\mathcal{C}$ 中的对象就是 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 中的对象, 因此对于每个 $X\in \mathcal{C}$ 都可以找到 $\mathcal{D}(X)$ 与之对应.
•	其次, 考虑 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:Y\to X$, 由注记 主.2.14 中的第二条给出 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 中的态射 $[X\stackrel{f}{\to }Y=Y]$, 经过 $\mathcal{D}$ 作用则得到函子 $f^{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)$.
•	类似地, 考虑 $E$ 中的态射 $g:Y\to Z$, 由注记 主.2.14 中的第三条给出 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 中的态射 $[Y=Y\stackrel{g}{\to }Z]$, 经过 $\mathcal{D}$ 作用则得到函子 $g_{!}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(Z)$.
•	注意到在定义 主.2.7 中曾证明过 ${\Lambda }_1^2\to \mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)$ 的填充性质. 现在运用在前文所述场景, 得到进行填充得到

因此归结出以下注记

注 主.3.7 (拉回与反常前推). 给定 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论 $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$, 其在对象上的作用为 $X\mapsto \mathcal{D}(X)$. 在态射上的作用为$$\mathcal{D}\left(YXZgf\right)=g_{!}{f}^{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Z)$$

这样我们对于拉回以及反常前推具备了充分的了解, 现在来研究张量积是如何编码的. 由于 $\mathcal{D}$ 是松对称幺半函子 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 这说明对于任意 $X$ 和 $Y$ 都有典范的态射$$-⊠-:\mathcal{D}(X)\times \mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X\times Y)$$则张量积函子实际上定义为 $⊠$ 复合上对角函子 $\delta :X\to X\times X$ 所诱导的拉回$$-\otimes -:\mathcal{D}(X)\times \mathcal{D}(X)\stackrel{-⊠-}{\to }\mathcal{D}(X\times X)\stackrel{{\delta }^{\ast }}{\to }\mathcal{D}(X)$$现在来勾勒其相容性:

命题 主.3.8. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$ 为 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论, 则三个函子 $\otimes$, $f^{\ast }$ 以及 $f_{!}$ 满足以下相容性:

1.	(函子性) 函子 $f^{\ast }$ 和 $f_{!}$ 关于 $f$ 具有自然性, 即对于 $\mathcal{C}$ 中可复合的态射 $f$ 和 $g$ 有自然的同构 $(g\circ f{)}^{\ast }=f^{\ast }\circ g^{\ast }$, 此外, 当 $f,g\in E$ 时, 有 $(g\circ f{)}_{!}=g_{!}\circ f_{!}$.
2.	(拉回与张量积相容) 对于 $\mathcal{C}$ 中任意态射 $f:Y\to X$, $f^{\ast }$ 是对称幺半的, 即对于任意 $M,N\in \mathcal{D}(X)$ 都有自然的同构$$f^{\ast }(M\otimes N)\simeq f^{\ast }M\otimes f$$
3.	(基变换定理) 对于每个 $\mathcal{C}$ 中的拉回图表都有自然的同构$$g^{\ast }{f}_{!}\simeq f_{!}^{\prime }{g}^{\prime \ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X^{\prime }).$$
4.	(投影公式) 对于每个 $E$ 中的态射 $f:Y\to X$, 并且对于任意 $M\in \mathcal{D}(X)$ 以及 $N\in \mathcal{D}(Y)$ 都有自然同构$$M\otimes f_{!}N\simeq f_{!}(f^{\ast }M\otimes N).$$

证明.

证明.

1.	由 ${\mathcal{D}}^{\ast }$ 为函子可知显然.
2.	由 ${\mathcal{D}}_{!}$ 为函子可知显然.
3.	无非是考虑填充后的图表根据注记 主.3.7 以及 $\mathcal{D}$ 的函子性可知$$({\mathrm{id}}_{!}{g}^{\ast })\circ (f_{!}{\mathrm{id}}^{\ast })\simeq f_{!}^{\prime }{g}^{\prime \ast }$$
4.	给定 $(X\stackrel{f}{\to }Y)\in E$ 不难发现投影公式可以写为$$\mathcal{D}(X\times Y)\to \mathcal{D}(Y)$$它实际上由对应给出, 我们只需检查投影公式两侧所对应的东西下是一致的即可. ∘ $M\otimes f_{!}N$ 体现为以及所给出的 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }$ 中的对应 $(⟨2⟩,(X,Y))\to (⟨2⟩,(Y,Y))$ 复合上给出. 具体体现为$$(M,N)\mapsto (f_{!}M,N)\mapsto f_{!}M\otimes N.$$ ∘ $f_{!}(f^{\ast }M\otimes N)$ 由的填充给出. 具体体现为$$(A,B)\mapsto A\otimes f^{\ast }B\mapsto f_{!}(A\otimes f^{\ast }B)$$ 可以说明这两种复合最终得到的正是我们最早所提到的对应.

$\square$

六函子理论

本节来给出六函子理论的构造, 它是在说定义 主.3.4 的三个函子均有右伴随的情况. 事实上, 定义 $\mathcal{H}\mathrm{om},f_{\ast }$ 以及 $f^{!}$ 这三个新的函子并不需要额外的要求, 因此六函子理论不过是三函子理论的特殊形式.
由 $1$-范畴的内 Hom 定义可知我们需要给 $\infty$-范畴定义内 Hom. 因此我们需要定义 $\infty$-范畴上的闭幺半范畴结构

定义 主.3.9 (闭幺半范畴). 令 $\mathcal{C}$ 是幺半 $\infty$-范畴, 给定 $X,Y\in \mathcal{C}$, $X$ 和 $Y$ 的内 Hom 对象为 $\mathcal{H}\mathrm{om}(X,Y)\in \mathcal{C}$ 配备上态射 $\mathcal{H}\mathrm{om}(Y,X)\otimes Y\to X$ 使得对于任意 $Z\in \mathcal{C}$ 都有同构$$\mathrm{Hom}(Z,\mathcal{H}\mathrm{om}(Y,X))\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Hom}(Z\otimes Y,X)$$称 $\mathcal{C}$ 是闭的是指对于任意 $X$, $Y$ 都有 $\mathcal{H}\mathrm{om}(X,Y)$ 存在.

定义 主.3.10 (六函子理论). 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, $(\mathcal{C},E)$ 上的六函子理论是指满足以下条件的三函子理论 $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$:

1.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 幺半范畴 $\mathcal{D}(X)$ 都是闭的. 将内 Hom 函子记为$$\mathcal{H}\mathrm{om}(-,-):\mathcal{D}(X{)}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)$$
2.	对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:X\to Y$, 沿 $f$ 的拉回 $f^{\ast }$ 具有右伴随$$f_{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y),$$称为沿 $f$ 的前推.
3.	对于任意 $E$ 中的态射 $f:X\to Y$, 沿 $f$ 的反常前推 $f_{!}$ 具有右伴随$$f^{!}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X),$$称为沿 $f$ 的反常拉回.

在六函子理论中, 具有以下额外的相容性, 现在列出常用的几条:

命题 主.3.11. 令 $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$ 为 $(\mathcal{C},E)$ 上的六函子理论, 则六函子 $\otimes ,\mathcal{H}\mathrm{om},f^{\ast },f_{\ast },f_{!}$ 以及 $f^{!}$ 具有以下相容性:

1.	(函子性) 函子 $f_{\ast }$ 与 $f^{!}$ 关于 $f$ 具有自然性.
2.	对于每个 $\mathcal{C}$ 中的拉回图表都有自然的同构$$g^{!}{f}_{\ast }=f_{\ast }^{\prime }{g}^{\prime !}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X^{\prime })$$
3.	对于 $E$ 中的态射 $f:Y\to X$ 以及任意 $M\in \mathcal{D}(X)$, $N\in \mathcal{D}(Y)$ 存在自然的同构$$\mathcal{H}\mathrm{om}(f_{!}N,M)\simeq f_{\ast }\mathcal{H}\mathrm{om}(N,f^{!}M)$$
4.	对于 $E$ 中的态射 $f:Y\to X$ 以及全体 $M,N\in \mathcal{D}(X)$ 都有自然的同构$$f^{!}\mathcal{H}\mathrm{om}(N,M)\simeq \mathcal{H}\mathrm{om}(f^{\ast }N,f^{!}M).$$

证明.

证明.

1.	考虑 [Kerodon, 02ES] 可知 $(g\circ f{)}^{\ast }$ 具有右伴随 $(g\circ f{)}_{\ast }$ 并且等同于复合 $g_{\ast }\circ f_{\ast }$. 紧合情况是类似的.
2.	使用基变换定理过渡到伴随得到.
3.	对于任意 $P\in \mathcal{D}(X)$ 我们使用米田引理以及投影公式证明同构存在$$\begin{array}{rl}\mathrm{Hom}(P,\mathcal{H}\mathrm{om}(f_{!}N,M))& \simeq \mathrm{Hom}(P\otimes f_{!}N,M)\simeq \mathrm{Hom}(f_{!}(f^{\ast }P\otimes N),M)\\ & \simeq \mathrm{Hom}(f^{\ast }P\otimes N,f^{!}M)\simeq \mathrm{Hom}(f^{\ast }P,\mathcal{H}\mathrm{om}(N,f^{!}M))\\ & \simeq \mathrm{Hom}(P,f_{\ast }\mathcal{H}\mathrm{om}(N,f^{!}M)).\end{array}$$
4.	类似于 3. 读者自证不难.

$\square$

由于 $f_{\ast }$ 和 $f_{!}$ 的函子性, 我们可以进一步给出 ${\mathcal{D}}_{\ast }$ 与 ${\mathcal{D}}_{!}$.

定义 主.3.12. 令 $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$ 为六函子理论. 利用 $f_{\ast }$ 以及 $f^{!}$ 的函子性可以得到:

1.	记 ${\mathcal{D}}_{\ast }:\mathcal{C}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为 ${\mathcal{D}}^{\ast }$ 过渡到右伴随所给出的函子. 因此对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 有 ${\mathcal{D}}_{\ast }(X)=\mathcal{D}(X)$, 并且对于任意 $f\in \mathcal{C}$, 有 ${\mathcal{D}}_{\ast }(f)=f_{\ast }$.
2.	记 ${\mathcal{D}}_{!}:{\mathcal{C}}_E^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为 ${\mathcal{D}}_{!}$ 过渡到右伴随所给出的函子. 因此对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 有 ${\mathcal{D}}^{!}(X)=\mathcal{D}(X)$, 并且对于任意 $f\in E$, 有 ${\mathcal{D}}^{!}(f)=f^{!}$.

注 主.3.13 (下章预告). 注意到我们目前并没有给出关于 Poincaré 对偶的相关形式, 这是因为我们目前还完全在抽象的框架下工作, 并没有提供与 “上同调光滑态射” 有关的信息, 在下一章中, 我们将说明对于每个六函子理论都有良定义的 “上同调光滑态射”.

主.4构造

在前一节中我们已然介绍三函子理论及其特殊形式—六函子理论. 但是这种介绍却是纯抽象的, 以至于我们看起来它 “仿佛来自虚空”, 有一种无从下手的乏力感. 本节我们将利用一种类似于 Stone-Cech 紧化 (或 Nagata 紧化) 的工具去构造三函子理论. 准确来说, 我们引入了两类态射 $I$ 和 $P$, 分别称为 “开浸入 (或者说局部同构)” 和 “紧合态射”. 使得 $E$ 中每个态射都可以分解为 $I$ 与 $P$ 中态射的复合 (相当于给出某种分解系统). 在本节中我们将要说明给定 ${\mathcal{D}}_0:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CMon}$ 以及几何设定 $(\mathcal{C},E)$, $E$ 上合适的分解 $(I,P)$(需要满足一些条件), 则 ${\mathcal{D}}_0$ 可以延拓为三函子理论 $\mathcal{D}$, 进而得到六函子理论.

定义 主.4.1 (右可消). 令 $E$ 为 $\mathcal{C}$ 中的态射类, 称 $E$ 是右可消的是指对于全体 $\mathcal{C}$ 中可复合的态射 $f$ 和 $g$ 有$$YZXf\in Egf\circ g\in E\Rightarrow g\in E$$

凭此可以验证定义 主.2.1 以及注记 主.2.2 的等价性.

引理 主.4.2. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限极限的范畴而 $E$ 为 $\mathcal{C}$ 中满足定义 主.2.1 中条件 1. 和 2. 的态射类. ${\mathcal{C}}_E$ 为由 $E$ 所生成的宽子范畴, 则以下条件等价:

1.	${\mathcal{C}}_E$ 具有纤维积, 并且 ${\mathcal{C}}_E\subseteq \mathcal{C}$ 保纤维积.
2.	对于任意 $Y\to X$ 对角态射 ${\delta }_{X,Y}:Y\to Y\underset{X}{\times }Y$ 都在 $E$ 中.
3.	$E$ 是右可消的.

证明.

证明.

$1.\Rightarrow 2.$	显然.
$2.\Rightarrow 3.$	令 $Z\stackrel{g}{\to }Y\stackrel{f}{\to }X$ 为可复合的态射, 且 $f,f\circ g\in E$. 接下来说明 $g\in E$. 不难发现 $g$ 可以分解为 $Z\stackrel{(g,{\mathrm{id}}_Z)}{\to }Y\underset{X}{\times }Z\stackrel{{\mathbf{pr}}_1}{\to }Y$, 只需要说明 $(g,{\mathrm{id}}_Z),{\mathbf{pr}}_1\in E$. 注意到 ${\mathbf{pr}}_1$ 为 $f\circ g$ 沿 $f$ 的拉回, 因此由注记 ?? 可知 ${\mathbf{pr}}_1\in E$. 接下来说明 $(g,{\mathrm{id}}_Z)\in E$, 不难发现其为 ${\mathrm{id}}_Y\times g:Y\underset{X}{\times }Z\to Y\underset{X}{\times }Y$ 沿对角态射 $Y\to Y\underset{X}{\times }Y$ 的拉回, 因此 $(g,{\mathrm{id}}_Z)\in E$.
$3.\Rightarrow 1.$	给定 ${\mathcal{C}}_E$ 中的态射 $Y\to X\leftarrow Z$, 考虑 $\mathcal{C}$ 中的拉回 $Y\underset{X}{\times }Z$, 则 ${\mathbf{pr}}_1:Y\underset{X}{\times }Z\to Y$ 和 ${\mathbf{pr}}_2:Y\underset{X}{\times }Z\to Z$ 在 $E$ 中, 接下来验证 $Y\underset{X}{\times }Z$ 为 ${\mathcal{C}}_E$ 中的纤维积. 现考虑 ${\mathcal{C}}_E$ 中如下交换图表则在 $\mathcal{C}$ 中存在 $h:W\to Y\underset{X}{\times }Z$ 使得图表交换, 现在证明 $h\in E$, 而 ${\mathbf{pr}}_1\circ h=u$, 而 ${\mathbf{pr}}_1,u\in E$, 因此 $h\in E$.

$\square$

命题 主.4.3. 定义 主.2.1 以及注记 主.2.2 中关于几何设定的定义是等价的.

证明. 留作习题.

$\square$

定义 主.4.4. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定. $E$ 上合适的分解是指二元组 $(I,P)$ 使得:

1.	$I,P\subseteq E$.
2.	$I$ 和 $P$ 包含全体同构并且在拉回和复合下稳定, 即宽子范畴 ${\mathcal{C}}_I$ 和 ${\mathcal{C}}_E$ 具有其在 $\mathcal{C}$ 中的拉回.
3.	对于任意 $f\in E$, 都可以将其分解为
4.	$I$ 和 $P$ 在 $\mathcal{C}$ 中是右可消的.
5.	对于任意 $f\in I\cap P$ 都有 $f$ 是 $n$-截断的 (若无对应词条可观看 [Kerodon, 05F8 以及 055Y] 前者为 $\infty$-范畴中的 $n$-截断, 后者为生象的 $n$-截断, 建议读者先看后者再看前者). 注意到当 $\mathcal{C}$ 为 $1$-范畴时总是满足这一点.

在上述定义中, 1., 2. 和 3. 的作用是显然的, 那么对于后面两条, 我们将在下一命题中展现为何需要这般定义.

定理 主.4.5. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 令 $(I,P)$ 为 $E$ 的合适的分解并且令 ${\mathcal{D}}_0:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CMon}$ 为满足以下性质的函子:

1.	对于 $I$ 中的态射 $j:U\to X$, 沿 $j$ 的拉回 $j^{\ast }$ 具有左伴随 $j_{!}:\mathcal{D}(U)\to \mathcal{D}(X)$ 满足基变换定理以及投影公式, 即 ∘ 对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $g:X^{\prime }\to X$, 考虑拉回图表总是有自然的同构$$j_{!}^{\prime }{g}^{\prime !}\stackrel{\sim }{\to }{g}^{\ast }{j}_{!}:\mathcal{D}(U)\to \mathcal{D}(X^{\prime })$$ ∘ 对于每个 $M\in \mathcal{D}(X)$ 以及 $N\in \mathcal{D}(U)$, 有自然同构$$j_{!}(j^{\ast }M\otimes N)\stackrel{\sim }{\to }M\otimes j_{!}N$$
2.	对于 $P$ 中的态射 $f:Y\to X$, 沿 $f$ 的拉回 $f^{\ast }$ 具有右伴随 $f_{\ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)$ 满足基变换以及投影公式, 即. ∘ 对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $g:X^{\prime }\to X$, 考虑拉回图表有自然的同构$$g^{\ast }{f}_{\ast }\stackrel{\sim }{\to }{g}^{\ast }{j}_{!}.$$ ∘ 对于每个 $M\in \mathcal{D}(X)$ 以及 $N\in \mathcal{D}(Y)$, 有自然同构$$M\otimes f_{\ast }N\stackrel{\sim }{\to }{f}_{\ast }(f^{\ast }M\otimes N)$$
3.	对于每个 $\mathcal{C}$ 中的拉回图表有自然同构 $j_{!}{f}_{\ast }^{\prime }\stackrel{\sim }{\to }{f}_{\ast }{j}_{!}^{\prime }:\mathcal{D}(U^{\prime })\to \mathcal{D}(X)$

此时 ${\mathcal{D}}_0$ 可以被延拓为三函子理论 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$. 事实上, ${\mathcal{D}}_0$ 本就可以视为三函子理论 $\mathrm{Corr}(\mathcal{C},\mathrm{Isom}{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$(例 主.2.4). 因此这相当于说满足上述条件的 ${\mathcal{D}}_0$ 具有以下延拓

证明.

证明. 涉及非常复杂的单纯集讨论, 暂时略过 (以后会补), 如有兴趣可见 [SixFunctors, Lecture IV:Construction of Six-Functor Formalisms].

$\square$

现在来解释定理 主.4.5 中每一个条件所对应的含义. 所谓条件, 意指其不会给出额外的信息. 1. 和 2. 无非是我们想让 $j_{!}$(或 $f_{\ast }$) 表示某种反常前推 (因为在我们定义中反常前推的态射满足基变换和投影公式). 注意到 $j_{!}$ 和 $f_{\ast }$ 分别为 $j^{\ast }$ 和 $f^{\ast }$ 的伴随, 基变换和投影公式在此时只是条件而非额外的信息. 而 3. 是在要求 $f\mapsto f_{!}$ 具有函子性. 注意到关于拉回图表的条件是至关重要的, 此时才能说明 $j_{!}{f}_{\ast }^{\prime }\to f_{\ast }{j}_{!}$ 为自然态射, 从而同构为条件而非额外的信息. 它还可以给出以下推论:

推论 主.4.6. 对于满足定理 主.4.5 中条件 1. 和 2. 的函子 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CMon}$. 则对于任意如 3. 所示的图表以及任意 $M\in \mathcal{D}(U^{\prime })$ 都存在 $N\in \mathcal{D}(U)$ 以及 $N^{\prime }\in \mathcal{D}(X^{\prime })$ 使得 $M=f^{\prime \ast }N\otimes j^{\prime \ast }{N}^{\prime }$ , 有自然同构$$j_{!}{f}_{\ast }^{\prime }M\stackrel{\sim }{\to }{f}_{\ast }{j}_{!}^{\prime }M$$

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

脚注

1.	^ 由此可以发现在使用六函子理论实现 Poincaré 对偶的过程中需要给出某种光滑性的刻画.
2.	^ [LZ12a, Lemma 6.1.2.] 的证明中引用错误.

术语翻译

几何设定 • 英文 geometric setup

六函子理论 • 英文 6-functor formalism

交换代数对象 • 英文 commutative algebra object

反常前推 • 英文 exceptional pushforward

反常拉回 • 英文 exceptional pullback

上同调光滑 • 英文 cohomologically smooth

右可消 • 英文 right cancellative

合适的分解 • 英文 suitable decomposition

层性 • 英文 sheafy