主. 六函子 (第二部分)

这一部分承接上一部分, 讲述具体的构造以及一些应用

主.1过渡到叠

注 主.1.1. 对于下降并不熟悉的读者请先阅读第 36 章. 本节默认读者会一些可表现 $\infty$-范畴的内容 (或许会在下一章中补充这些内容)

回忆到在平坦下降中考虑过取函子 $X\mapsto \mathsf{QCoh}(X)$ 这种事情, 其中 $X\in \mathcal{C}$, $\mathcal{C}$ 为 fpqc 景. 此时 $\mathcal{C}$ 上带有拓扑, 因此需要考虑一些下降条件, 即使得上述函子构成叠 (这样相当于说给考虑开覆盖 $\{U_i\to U\}$, $U$ 上的层都可以由 $U_i$ 上的层所粘接起来). 回忆到在前文中我们一直声称六函子理论是将 $\mathcal{C}$ 中的对象 $X$ 映为其上 “层的范畴” $\mathcal{D}(X)$. 本节来探讨当几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 中 $\mathcal{C}$ 变为景而 $E$ 为 $\mathcal{C}$ 上一些态射构成的好的类. 那么六函子理论是否给出 $\mathcal{C}$ 上的叠?

定义 主.1.2 (层性三函子). 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定且 $\mathcal{C}$ 为景. 则称 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论 $\mathcal{D}$ 是层性的是指 ${\mathcal{D}}^{\ast }:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为 $\infty$-范畴层. 类似定义可以推广到 $\mathcal{C}$ 为意象的情况.

命题 主.1.3. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 且 $\mathcal{C}$ 带有次典范拓扑 (定义 36.2.15). 且令

•	$\mathcal{X}=\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ 为 $\mathcal{C}$ 上生象层所构成的意象.
•	$E^{\prime }$ 为 $\mathcal{X}$ 中满足如下条件的 $f^{\prime }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ 构成的集合: 对于 $X\in \mathcal{C}$(后文省略可表函子符号), 任意态射 $g:X\to X^{\prime }$ 都有 $f^{\prime }$ 沿着 $g$ 的拉回落在 $E$ 中.

则

1.	典范态射 $(\mathcal{C},E)\to (\mathcal{X},E^{\prime })$ 为几何设定之间的态射.
2.	对于每个 $(\mathcal{C},E)$ 上的层性三函子, 都具有唯一的延拓

证明.

证明.

1.

首先, $E^{\prime }$ 显然在 $\mathcal{X}$ 的拉回以及复合下稳定. 根据引理 主.4.2, 只需验证 $E^{\prime }$ 具有右可消性即可. 给定 $\mathcal{X}$ 中使得 $f\circ g$ 以及 $f\in E^{\prime }$ 的态射 $f:Y\to X$ 以及 $g:Z\to Y$. 接下来说明 $g\in E^{\prime }$. 给定 $\mathcal{C}$ 中对象 $Y^{\prime }$ 以及态射 $Y^{\prime }\to Y$. 可以得到 $\mathcal{X}$ 中以下图表其中最上方的方块是拉回, 并且左侧的纵向箭头是 $g$ 沿 $Y^{\prime }\to Y$ 的拉回, 说明其在 $E$ 中即可说明 $g\in E^{\prime }$. 底部的右侧纵向箭头为 $f$ 沿 $Y^{\prime }\to X$ 的拉回, 因此根据 $f\in E^{\prime }$ 可知其在 $E$ 中. 不难发现右侧纵向箭头的复合 $Z\underset{X}{\times }{Y}^{\prime }\to X\underset{X}{\times }{Y}^{\prime }$ 为 $f\circ g$ 沿 $Y^{\prime }\to X$ 的拉回, 因此其也在 $E$ 中. 根据 $E$ 的右可消性可知 $Z\underset{X}{\times }{Y}^{\prime }\to Y\underset{X}{\times }{Y}^{\prime }$ 在 $E$ 中. 从而得证. 然后来说明其为几何设定之间的态射, 由于 $\mathcal{C}$ 是次典范的, 而 $\mathcal{X}:=\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$. 从而 $\mathcal{C}\hookrightarrow \mathcal{X}$ 是全忠实的. 接下来只需证明其保持 $\mathcal{C}$ 中形如 $X\stackrel{g\in E}{\to }Y\leftarrow Z$ 的拉回, 这当然是显然的.

2.

根据引理 36.2.6 可知 $\mathcal{X}$ 以及 $\mathcal{C}$ 的层范畴的一致性. 此外, 有 $\mathcal{C}$ 上层到 $\mathcal{X}$ 上层的函子由嵌入 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\mathcal{X}}^{\mathrm{op}}$ 的右 Kan 延拓给出 (或者说这是延拓, 见 [nLab, restriction and extension of sheaves]). 因此约化为 [Ma22, Proposition A.5.16.].

$\square$

注 主.1.4. 上述设定同样可以使得在 $\mathcal{D}$ 为可表现六函子理论 (将在下一章中着重介绍) 时 ${\mathcal{D}}^{\prime }$ 也为可表现六函子理论.

现在我们来解释命题 主.1.3 都干了些什么, 由 Yoneda 嵌入的稠密性, 我们知道每个 $X^{\prime }\in \mathcal{X}$ 都可以写为可表函子 $X_i\in \mathcal{C}$ 的余极限 $X^{\prime }=\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{X}_i$ 比如说给定 $X^{\prime }$ 的覆盖 $X_0\twoheadrightarrow X^{\prime }$, 其中 $X_0\in \mathcal{C}$, 并且使得全体拉回 $X_0\underset{X^{\prime }}{\times }\cdots \underset{X^{\prime }}{\times }{X}_0$ 都在 $\mathcal{C}$ 中. 则可以考虑 $X_0\twoheadrightarrow X$ 的 Čech 脉 $X_{\bullet }$(定义 36.1.1), 进而得到 $X^{\prime }=\underset{[n]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}$. 由于 ${\mathcal{D}}^{\prime \ast }$ 为 $\mathcal{X}$ 上 $\infty$-范畴值的层, 因此只能定义$${\mathcal{D}}^{\prime }(X^{\prime })=\underset{i}{\lim }{\mathcal{D}}^{\ast }(X_i).$$根据上述 Čech 脉的例子, 将 ${\mathcal{D}}^{\prime }(X^{\prime })$ 定义为 $\mathcal{D}$ 沿 Čech 脉 $X_{\bullet }$ 的下降信息所构成的 $\infty$-范畴 (定义 36.1.2). 这样我们就解释了如何去构造函子 ${\mathcal{D}}^{\prime \ast }:{\mathcal{X}}^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 接下来只剩一步, 即定义紧合前推函子. 令 $f^{\prime }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ 为 $E^{\prime }$ 中的任意态射, 且令 $X^{\prime }=\underset{i}{\mathrm{colim}}{X}_i$. 定义 $Y_i:=X_i\underset{X^{\prime }}{\times }{Y}^{\prime }$ 因此 $Y^{\prime }=\underset{i}{\mathrm{colim}}{Y}_i$. 此外, 对于任意 $i$ 都有 $Y_i\in \mathcal{C}$ 且诱导的态射 $f_i:Y_i\to X_i$ 在 $E$ 中, 因此 $(f_i{)}_{!}:\mathcal{D}(Y_i)\to \mathcal{D}(X_i)$ 存在. 可以将紧合前推 $f_{!}^{\prime }$ 定义为$$f_{!}^{\prime }=(f_{\bullet }{)}_{!}:\mathcal{D}(Y^{\prime })=\underset{i}{\mathrm{colim}}{\mathcal{D}}^{\ast }(Y_i)\to \underset{i}{\mathrm{colim}}{\mathcal{D}}^{\ast }(X_i)=\mathcal{D}(X^{\prime }).$$由紧合基变换我们可以证明 $(f_i{)}_{!}$ 可以在上述极限中满足基变换.
目前为止, 我们已经说明如何将六函子理论延拓到叠上, 但是此时 $E$ 还是相当严格的: 它只包含可在 $\mathcal{C}$ 中可表的态射, 更复杂的态射无法囊括, 下一则结论将告诉我们如何去延拓 $E$, 这些结果需要使用到六函子理论的下降性质, 我们先来定义这些性质:

定义 主.1.5. 令 $\mathcal{D}$ 为几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论, 则

1.	称 $\mathcal{C}$ 上的筛 $\mathcal{U}$ 是 (万有) ${\mathcal{D}}^{\ast }$-覆盖是指 ${\mathcal{D}}^{\ast }$ 可沿 $\mathcal{U}$ 下降.
2.	若 $\mathcal{D}$ 为六函子, 则称 ${\mathcal{C}}_E$ 中的筛 $\mathcal{U}\subseteq ({\mathcal{C}}_E{)}_{/U}$ 为 小 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖是指其由小集合的态射 $(U_i\to U{)}_i$ 所生成并且 ${\mathcal{D}}^{!}$ 沿其可下降. 称 $\mathcal{U}$ 为小万有 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖是指对于任意 $\mathcal{C}$ 中态射 $V\to U$, 态射族 $(U_i\underset{U}{\times }V\to V{)}_i$ 给出小 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖.

那么若 $\mathcal{C}$ 没有景结构, 则其有以下两种典范的景:

1.	平凡景, 即覆盖形如 ${\mathcal{C}}_{/U}$.
2.	$\mathcal{D}$-拓扑, 即满足泛 $\ast$-下降和泛 $!$-下降的典范拓扑.

注 主.1.6.

1.	一般而言泛 $\ast$-覆盖会被很容易地给出, 但是说明筛是 $!$-覆盖却没那么简单. 我们将在后文说明它.
2.	根据推论 36.2.8 的 1. 可知若想确定某个筛是 $\ast$-覆盖或 $!$-覆盖我们只需找到其内一个万有 $!$-覆盖即可.

现在我们可以说该如何去延拓 $E$ 了.

引理 主.1.7. 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, $(\mathcal{C},E)$ 以及 $(\mathcal{C},E^{\prime })$ 均为几何设定, 且 $E\subseteq E^{\prime }$. 令 $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E)\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为满足以下条件的三函子理论:

1.	$\mathcal{D}$ 是可表现的, 即 $\mathcal{D}$ 穿过 ${\mathsf{Pr}}^L$.
2.	对于任意 $E^{\prime }$ 中的态射 $X\stackrel{f}{\to }Y$. 令 ${\mathcal{I}}_f\subseteq {\mathcal{C}}_{/Y}$ 为由 $g,g\circ f\in E$ 的 $g:Z\to Y$ 以及落在 $E$ 中的 $Y$ 上态射 $Z^{\prime }\to Z$ 所构成的子范畴. 则有自然的等价\mathcal{D}^!(Y){\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\underset{Z\in\mathcal{I}_f^{\operatorname{op}}}\mathcal{D}^!(Z)

则 $E$ 可以唯一的延拓为三函子理论$$\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E^{\prime })\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }.$$

证明. [Ma22, Lemma A.5.11]

$\square$

命题 主.1.8. 令 $\mathcal{D}:\mathrm{Corr}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}^{\times }$ 为几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论. 且 $E\subseteq E^{\prime }$, 为 $\mathcal{C}$ 中的一族使得 $(\mathcal{C},E^{\prime })$ 为几何设定的态射. 只要其满足以下任意一个条件:

1.	对任意 $E^{\prime }$ 中态射 $f^{\prime }:X\to Y$, 存在 $X$ 上的万有 ${\mathcal{D}}^{\ast }$-覆盖 $\mathcal{U}\subseteq {\mathcal{C}}_{/X}$ 使得 $f$ 沿着 $\mathcal{U}$ 中任意态射的拉回都在 $E$ 中.
2.	$\mathcal{D}$ 是可表现的, 使得对于任意 $E^{\prime }$ 中的态射 $f:Y\to X$, 都存在 $Y$ 上的小万有 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖 $\mathcal{U}\subseteq ({\mathcal{C}}_E)/Y$ 使得 $f$ 与 $\mathcal{U}$ 中态射的复合在 $E$ 中.

则 $\mathcal{D}$ 可以唯一延拓为 $(\mathcal{C},E^{\prime })$ 上的三函子理论.

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

主.2带核范畴

现在, 我们使用带核范畴的语言来梳理一下六函子理论. 所谓带核范畴事实上是一种 $(\infty ,2)$-范畴, 它通过简单的 $(\infty ,2)$-范畴信息来编码

主.3在表示论上的应用