极大模原理

本文介绍的是全纯函数的性质. 关于偏微分方程论中的一般性质, 请参见 “最大值原理”.

极大模原理, 或称最大模原理, 是复分析中的结论. 它大致说明, 若一个全纯函数不是常值函数, 则其模最大的点不可能在其定义域的内部取到, 只能在其边界取到.

1陈述

定理 1.1 (极大模原理). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是连通开集, $f:U\to \mathbb{C}$ 是全纯函数. 如果存在 $z_0\in U$, 使得 $|f(z_0)|\ge |f(z)|$ 对任何 $z\in U$ 成立, 则 $f$ 是常值函数.

下面的推论说明如果全纯函数在边界有定义, 则最大模应该在边界取到.

推论 1.2 (极大模原理). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是有界连通开集, 映射 $f:\bar{U}\to \mathbb{C}$ 在 $\bar{U}$ 上连续, 在 $U$ 上全纯, 且不是常值函数. 则 $|f(z)|$ 的最大值必然在 $\partial U$ 内取到.

对 $1/f$ 使用极大模原理得到下面的推论.

推论 1.3 (极小模原理). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是有界连通开集, 映射 $f:\bar{U}\to \mathbb{C}$ 在 $\bar{U}$ 上连续, 在 $U$ 上全纯, 不是常值函数, 且没有零点. 则 $|f(z)|$ 的最小值必然在 $\partial U$ 内取到.

2证明

用平均值原理

不妨设 $f(z_0)\ge 0$. (否则, 设 $f(z_0)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }|f(z_0)|$, 考虑 $g(z)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }f(z)$ 即可) 记 $S=\{z\mid f(z)=f(z_0)\}$, 因为 $f$ 是连续的, 所以 $S$ 是闭集. 下面证明 $S$ 是开集. 对任意的 $w\in S$, 取 $r>0$ 使得 $B_r(w)\subseteq U$. 再取 $0<r^{\prime }<r$. 由平均值原理: $$f(z_0)=f(w)=\left|\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(w+r^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t})\mathrm{d}t\right|\le \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|f(w+r^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t})|\mathrm{d}t\le f(z_0).$$因此, 不等式的等号应该成立, 即$$f(w+r^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t})=|f(w+r^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t})|=f(z_0)$$对任何 $t\in \mathbb{R}$ 和 $0<r^{\prime }<r$ 成立. 故 $B_r(w)\subseteq S$, 也就证得 $S$ 是开集. 如此, $S$ 在连通的 $U$ 中同时是开集和闭集, 所以 $S=U$. 故 $f$ 为常值函数.

$\square$

用开映射定理

假设 $f$ 不是常值函数, 根据开映射定理, $V=f(U)$ 是开集. 令 $w_0=f(z_0)\in V$, 则存在 $\delta >0$ 使得 $B_{\delta }(w_0)\subset V$. 如此必有 $w_1\in B_{\delta }(w_0)\subset V$ 使得 $|w_1|>|w_0|$. 设 $w_1=f(z_1),z_1\in U$, 则$$|f(z_1)|=|w_1|>|w_0|=|f(z_0)|,$$矛盾.

$\square$

3应用

定理 3.1 (Schwarz 引理). 设 $D=B_1(0)$ 为 $\mathbb{C}$ 中的单位圆盘. 如果全纯函数 $f:D\to D$ 满足 $f(0)=0$, 且对任意 $z\in D$ 有 $|f(z)|\le 1$, 则下列结论成立:

1.	对任意 $z\in D$, 有 $|f(z)|\le z$.
2.	$|f^{\prime }(0)|\le 1$.
3.	若存在点 $z_0\in D\setminus \{0\}$ 使得第一项等号成立, 或者第二项等号成立, 则存在 $\theta \in \mathbb{R}$ 使得 $f(z)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z$.

证明. 将 $f$ 展开为 Taylor 级数$$f(z)=a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots =z(a_1+a_{2}z+\cdots )=zg(z),$$其中 $g$ 为全纯函数, 且 $g(0)=a_1=f^{\prime }(0)$. 对任意 $r\in ]0,1[$, 当 $|z|=r$ 时, 有$$|g(z)|=\frac{|f(z)|}{|z|}\le \frac{1}{r},$$由极大模原理, 对任意 $z\in B_r(0)$, 有 $|g(z)|\le 1/r$. 令 $r\to 1^{-}$, 得到 $|g(z)|\le 1$ 在 $D$ 中成立, 即 $|f(z)|\le z$. 第一项得证. 进一步: $|f^{\prime }(0)|=|g(0)|\le 1$, 第二项得证.

现在考虑第三项. 如果所说的 $z_0$ 存在, 则 $|g(z_0)|=1$, 即 $g$ 在内点处取最大模 $1$, 从而是常数. 所以 $g(z)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$. 而 $|f^{\prime }(0)|=1$ 也就是 $|g(0)|=1$, 所以同理可得第三项.

$\square$

借助 Schwarz 引理, 可以进一步地求出单位圆盘的全纯自同构群 $\mathrm{Aut}(D)$. 这引出单位圆盘的 Poincaré 度量问题.

也可以用极大模原理证明代数基本定理.

定理 3.2 (代数基本定理). 设 $p(z)$ 是次数大于零的复系数多项式, 则存在 $z_0\in \mathbb{C}$ 使得 $p(z_0)=0$.

证明. 反设 $p$ 没有零点. 因为 $p$ 的次数大于零, 所以 ${\lim }_{z\to \infty }p(z)=\infty$. 于是, 存在 $r>0$, 使得 $|z|\ge r$ 时, $|p(z)|>|p(0)|$. 令 $D=B_r(0)$, 则 $f$ 在 $\bar{D}$ 内的最小模必然在 $\partial D$ 取到, 但这与假设矛盾, 因为 $|p(0)|$ 更小.

$\square$

术语翻译

极大模原理 • 英文 maximum modulus principle • 德文 Maximumprinzip • 法文 principe du maximum • 日文 最大絶対値の原理 • 韩文 최대 절댓값 원리