偏微分方程

在分析学中, 偏微分方程是指一类关于未知函数的微分方程, 通常形如$$F(\mathbf{x},u(\mathbf{x}),\frac{\partial u}{\partial x_i}(\mathbf{x}),\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}(\mathbf{x}),\dots )=0,$$其中 $u$ 是未知函数, 常常是从 ${\mathbb{R}}^n$ 中的区域出发到 $\mathbb{R}$ 的函数; $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ 是 $u$ 的定义域的坐标; $F$ 是一个给定的表达式.

例如, Laplace 方程$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$$是著名的偏微分方程, 这里写下的是三维空间中的形式. 该方程的解称为调和函数.

术语翻译

偏微分方程 • 英文 partial differential equation (PDE) • 德文 partielle Differentialgleichung (PDG) • 法文 équation aux dérivées partielles (EDP)